2013年高考湖南文科数学试题及答案(word解析版).docx

精品文档2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2013年湖南，文1，5分】复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】B【解析】，故选B（2）【2013年湖南，文2，5分】“”是“”成立的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”能推出“”成立，但“”不能推出“”成立，故选A（3）【2013年湖南，文3，5分】某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ）（A）9 （B）10 （C）12 （D）13【答案】D【解析】抽样比为，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，故选D（4）【2013年湖南，文4，5分】已知是奇函数，是偶函数，且，则 等于（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1【答案】B 【解析】是奇函数，是偶函数，即 ，即 由+得，故选B（5）【2013年湖南，文5】在锐角中，角，所对的边长分别为若，则角等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】，故选A（6）【2013年湖南，文6，5分】函数的图像与函数的图像的交点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】利用图象知，有两个交点，故选C（7）【2013年湖南，文7，5分】已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）（A） （B）1 （C） （D）【答案】D【解析】如图所示，正方体的俯视图为，侧视图为，此时满足其面积为，故该正方体的正视图应为又因，故其面积为，故选D（8）【2013年湖南，文8，5分】已知是单位向量，若向量满足，则|的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C 【解析】可利用特殊值法求解可令，由，得，即为，可看成上的点到原点的距离，故选C（9）【2013年湖南，文9，5分】已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】如图，设，由于为最大边的概率是，则在上运动满足条 件，且，即或，即，即，又，故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡的相应位置（10）【2013年湖南，文10，5分】已知集合，则 【答案】【解析】，（11）【2013年湖南，文11，5分】在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（ 为参数）平行，则常数的值为 【答案】4【解析】的普通方程为：，的普通方程为：，即，（12）【2013年湖南，文12，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的的值为 【答案】9【解析】输入，不满足a8，故；不满足，故；不满足，故；不满足，故，满足，终止循环输出（13）【2013年湖南，文13，5分】若变量满足约束条件，则的最大值为 【答案】6【解析】画出可行域，令，易知在处取得最大值6（14）【2013年湖南，文14，5分】设是双曲线， (，)的两个焦点若 在上存在一点，使，且，则的离心率为 【答案】【解析】如图所示，可得由双曲线定义知，由得，即，即，（15）【2013年湖南，文15，5分】对于的子集，定义的“特征数列”为 ，其中 ，其余项均为0，例如子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，0 （1）子集的“特征数列”的前三项和等于 ；（2）若的子集的“特征数列” 满足，；的子集的“特征数列”满足，则的元素个数为 【答案】（1）2；（2）17【解析】（1）的特征数列为1，0，1，0，1，0，0，前3项和为2（2）根据题意知，P的特征数列为1，0，1，0，1，0，则有50个元素， 的特征数列为1，0，0，1，0，0，1，则有34个元素，共有个三、解答题：本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）【2013年湖南，文16，12分】已知函数（1）求的值；（2）求使 成立的的取值集合解：（1）=（2）等价于，即于是解得故使成立的x的取值集合为（17）【2013年湖南，文17，12分】如图，在直棱柱中，是的中点，点在菱上运动（1）证明：；（2）当异面直线所成的角为时，求三棱柱的体积解：（1）证明：因为，是的中点，所以又在直三棱柱 中，平面，而平面，所以由，得平面由点在棱上运动，得平面，所以（2）因为，所以是异面直线，所成的角，由题设，因为，所以，又，从而平面，于是故，又，所以，从而（18）【2013年湖南，文18，12分】某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率解：（1）所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为：= （2）由（1）知，故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为（19）【2013年湖南，文19，13分】设为数列的前项和，已知，（1）求，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和解：（1）令，得，即因为，所以令，得解得当时，由两式相减得即于是数列是首项为1，公比为2的等比数列因此，所以数列的通项公式为（2）由（1）知，记数列的前项和为，于是 -得：从而（20）【2013年湖南，文20，13分】已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，当最大时，求直线的方程解：（1）由题设知，的坐标分别为，圆的半径为2，圆心为原点关于直线 的对称点设圆心坐标为，由得，圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离所以由得设与的两个交点坐标分别为，则，于是从而当且仅当，时等号成立故当时，最大，此时，直线的方程为或，即，或（21）【2013年湖南，文21，13分】已知函数 （1）求的单调