第5章-弯曲变形

第5章弯曲变形,位移的度量,1梁的位移-挠度及转角,挠度,转角,挠曲线梁变形后各截面形心的连线,挠度向下为正，向上为负.,转角绕截面中性轴顺时针转为正，逆时针转为负。,2梁的挠曲线近似微分方程及其积分,曲率与弯矩间的物理关系,曲率与曲线方程导数间的关系,梁的挠曲线精确微分方程,梁的挠曲线近似微分方程,梁挠曲线近似微分方程,在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线在该截面处的切线斜率。,通过积分求弯曲位移的特征：,1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。,2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。,3、积分常数由位移边界条件确定。,积分常数C1、C2由边界条件确定,求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。,边界条件,求图所示悬臂梁B端的挠度与转角。,边界条件,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。,AC段,CB段,求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。,最大转角,力靠近哪个支座，哪边的转角最大。,最大挠度,令x=a,转角为零的点在AC段,一般认为梁的最大挠度就发生在跨中,画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。,两根梁由中间铰连接，挠曲线在中间铰处，挠度连续，但转角不连续。,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,全梁仅一个挠曲线方程,共有两个积分常数,边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件,挠曲线方程应分两段AB,BC.,共有四个积分常数,边界条件,连续条件,3按叠加原理计算梁的挠度和转角,叠加法计算位移的条件：,1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的；,2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线性关系；,3、梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。,试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度c和梁端截面的转角AB.,AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.,计算C点挠度,将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半,查表,试用叠加法求图示梁C截面挠度.EI为已知。,变截面梁如图示，试用叠加法求自由端的挠度c.,多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度E.,图示简支梁AB，在中点处加一弹簧支撑,若使梁的C截面处弯矩为零,试求弹簧常量k.,C处挠度等于弹簧变形。,根据对称关系,平衡关系,叠加法求挠度,悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?,AB,CD段弯矩为零，所以这两段保持直线不发生弯曲变形。AB,BC,CD三段变形曲线在交界处应有共切线。,一、纯弯曲,梁弯曲后圆弧所对的圆心角为：,功能原理=,4梁内的弯曲应变能,三角形面积就代表外力偶所作的功,二、横力弯曲,弯曲应变能：,往往跨高比10，略去剪切应变能,弯曲应变能,剪切应变能,一、梁的刚度条件,其中称为许可转角；w/l称为许用挠度与跨长之比。由具体工作条件定,可查手册.通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸；、设计载荷。,(但：对于一般工程结构，强度常处于主要地位。特殊构件例外）,5梁的刚度校核.提高梁的刚度的措施,悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力=160MPa，梁的许可挠度/L=1/500。试选择工字钢的型号。,1.按强度选择,查表：选16号工字钢,2.按刚度选择,查表：选22a号工字钢,例下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的w=0.00001m,B点的=0.001弧度,试校核此杆的刚度。,=,+,+,=,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单载荷变形。,x,y,=,+,+,图1,图2,图3,x,y,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,二、提高梁弯曲刚度的主要措施,提高刚度主要是指减小梁的弹性位移,弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的弯曲刚度(EIZ)有关,对于梁,其长度对弹性位移影响较大.,因此减小弹性位移除了采用合里的截面形状以增加惯性矩IZ外,主要是减小梁的长度,当梁的长度无法减小时,则可增加中间支座.,（一）、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,一般的合理截面,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似。,2、根据材料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,（二）、采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,（三）、合理布置外力（包括支座），使Mmax尽可能小。,（四）、梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,2.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷,由上可见，Iy过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。,（五）、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100MPa.试校核该梁的强度.,列静力平衡方程,变形协调方程,试求图示梁的支反力,在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.,结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.,将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。,当系统的温度升高时,下列结构中的_不会产生温度应力.,图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,_是错误的.,A.若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度B=0;,B.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1=0;,C.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1等于弹簧的变形;,D.若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠度c等于弹簧的变形。,图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接.在截面C上_.,A.有弯矩，无剪力；,B.有剪力，无弯矩；,C.既有弯矩又有剪力；,D.既无弯矩又无剪力；,等直梁受载如图所示.若从截面C截开选取基本结构,则_.,A.多余约束力为FC，变形协调条件为C=0;,B.多余约束力为FC，变形协调条件为C=0;,C.多余约束力为MC，变形协调条件为C=0;,D.多余约束力为MC，变形协调条件为C=0;,图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100MPa.试校核该梁的强度.,列静力平衡方程,变形协调方程,试求图示梁的支反力,在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.,结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉压刚度EA为已知,求拉杆BC的轴力.,将杆CB移除，则AB,CD均为静定结构，杆CB的未知轴力FN作用在AB,CD梁上。为1次超静定。,当系统的温度升高时,下列结构中的_不会产生温度应力.,图示静不定梁承受集中力F和集中力偶Me作用,梁的两端铰支,中间截面C处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,_是错误的.,A.若取支反力FB为多余约束力，则变形协调条件是截面B的挠度B=0;,B.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1=0;,C.若取支承面C1对弹簧底面的作用力Fc1为多余约束力，则变形协调条件为C1面的铅垂线位移C1等于弹簧的变形;,D.若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在C截面的挠度c