导数的定义ppt课件

,第二章,导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,2.1导数的概念,问题:高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求瞬时速度呢?,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,导数概念的引入,割线的极限位置切线位置,播放,2.切线问题,曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,瞬时速度,切线斜率,两个问题的共性:,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,导数概念,定义2.1设函数,在,的邻域,内有定义，,当,时,有函数增量,如果,存在，则称函数,在,可导,在,处的导数,记作,极限为函数,注:1）若,处的导数为,在,也说函数,的变化快慢程度。,3）导数定义的几种等价形式。,无穷大。,(式中h的只要是无穷小即可),存在，求,已知,解,例1,解原式=,原式,是否可按下述方法作:,例3.证明函数,在x=0不可导.,证:,不存在,例4.设,存在,求极限,解:原式,求,在,已知,例5,连续，且,解,一、引例,导函数,注意:,2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数.,函数求导举例,由定义求导数（三步法）,步骤:,例7求函数,解:,说明：,对一般幂函数,(为常数),（以后将证明）,例如，,例8求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例9,解,例10求函数,的导数.,例11,解,单侧导数,1.左导数:,2.右导数:,函数在点处可导的充要条件是左右导数都存在并且相等.,导数的几何意义与物理意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,切线方程:,法线方程:,例12,解,由导数的几何意义,得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.物理意义,非均匀变化量的瞬时变化率.,变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,交流电路:电量对时间的导数为电流强度.,非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,可导与连续的关系,证,定理2.2若函数,在点,处可导，则必在点,处连续。,注意:该定理的逆定理不成立.,连续函数不存在导数举例,例如,例如,例如,例13,解,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,5.已学求导公式:,解答,练习提高,1.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否