复变函数论第2章

1,第二章解析函数,1解析函数的概念与柯西黎曼方程2初等解析函数3初等多值函数,2,2.1解析函数的概念与柯西黎曼条件,1、复变函数的导数与微分,2、解析函数及其简单性质,3、柯西黎曼方程,4、小结与思考,3,1、复变函数的导数与微分,(1)导数的定义:,4,注:,5,例1,解,6,(2)可导与连续的关系:,函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.,7,证明：,8,例2,解(1)f(z)=z的连续性显然,9,例3,解,10,11,例4,解,12,13,(3)求导法则:,14,(4)微分的概念:,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,15,特别地,16,(1)解析函数的定义,定义,记作：f(z)A(D),2、解析函数及其简单性质,17,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,即函数在z0点解析,函数在一点处解析与在一点处可导不等价,函数在z0点可导,函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价,即函数在闭区域上解析,函数在闭区域上可导,18,(2)奇点的定义,定义,例如:,以z=0为奇点。,19,例5,答案：,20,21,22,例6,解,23,例7,解,24,25,课堂练习,答案,处处不可导,处处不解析.,26,定理,以上定理的证明,可利用求导法则.,27,根据定理可知:,(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.,通过上述用定义讨论函数的解析性，,28,29,3、柯西黎曼方程,(1)函数w=f(z)在一点处的可微与u(x,y),v(x,y)的关系,定理2.1(可微的充要条件),30,31,(2)函数w=f(z)的在区域的可微性（解析性）(x,y),v(x,y)之间的关系,定理2.2(函数在区域D内可微的充要条件),32,定理2.3函数在区域D内解析的充要条件,33,(3)例题选讲,解,不满足柯西黎曼方程,34,四个偏导数均连续,指数函数,35,四个偏导数均连续,36,例10,证,37,38,例11,解,39,例12,解,40,课堂练习,答案,41,4、小结与思考,在本课中我们得到了一个重要结论函数解析的充要条件:,42,思考题,43,思考题答案,44,2.2初等解析函数,1、指数函数,*3、双曲函数,4、小结与思考,2、三角函数,45,1、指数函数,(1)指数函数的定义:,定义2.4对于任何复数z=x+iy,规定,46,(2)指数函数的性质,(4).加法定理,(5)ez是以2i为基本周期的周期函数,47,(1)证明加法定理,证,48,因为：当z沿实轴趋于+时ez;当z沿实轴趋于-时,ez0.,49,例1,解,50,例2,解,求出下列复数的辐角主值:,51,52,53,2、三角函数,(1)三角正弦与余弦函数,将两式相加与相减,得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,54,定义2.5,对任意的复数z,规定z的,性质:,(2)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,55,遵循通常的三角恒等式，如,56,57,例3,解,58,注：这是与实变函数完全不同的,sinz的零点(i.e.sinz=0的根)为z=n,cosz的零点(i.e.cosz=0的根)为z=(n+1/2),n=0,1,2,n,(5),(6),sinz,cosz在复数域内均是无界函数,59,(2)其他复变数三角函数的定义,60,例4,解,61,例5,解,62,63,(1)双曲函数的定义,3、双曲函数,(2)双曲函数的性质,64,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以为周期的周期函数,65,例13,解,66,4、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:,1.指数函数具有周期性,2.三角正弦与余弦不再具有有界性,3.双曲正弦与余弦都是周期函数,67,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,68,2.3初等多值函数,1、根式函数,2、对数函数,3、一般幂函数与一般指数函数,4、具有多个有限支点的情形,5、反三角函数和反双曲函数,6、小结与思考,69,定义2.8(单叶函数）设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)f(z2),则称函数f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域.显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z)就是D到G的一一变换.f(z)=z2不是C上的单叶函数.f(z)=z3是C上的单叶函数,70,1、根式函数,定义2.9若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：,i.e.根式函数,为幂函数z=wn的反函数.,(1)根式函数的多值性.,71,(2)分出根式函数的单值解析分支.,1)多值的原因,72,2)解决的办法.,限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz2,理论上的的做法：,从原点O起到点任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz2，从而可将其转化为单值函数来研究,常用的做法：,从原点起沿着负实轴将z平面割破：,z,G,73,结论：,从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:,分成如下的n个单值函数：,定义域为,wk在Gk上解析,且,74,2、对数函数,(1)定义,说明：,w=Lnz是指数函数ew=z的反函数,Lnz一般不能写成lnz,计算公式及多值性说明：,75,由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数,规定：,为对数函数Lnz的主值,于是：,76,特殊地,77,例4,解,注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,78,例5,解,79,例6,解,80,81,(2)性质,82,(3)分出w=Lnz的单值解析分支,从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将,对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支：,定义域为,wk在Gk上解析,且,83,3、一般幂函数与一般指函数,(1)一般幂函数,称为z的一般幂数函数,(2)一般指数函数,称为z的一般指数函数,84,对于,85,86,特殊情况:,87,88,例7,解,89,例8,解,90,(3)幂函数的解析性,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,91,它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,92,4、具有多个有限支点的情形,93,5、反三角函数和反双曲函数,(1)反三角函数的定义,两端取对数得,94,同样可以定义反正弦函数和反正切