数学分析 第二十二章 课件 各种积分间的关系与场论的初步

第二十二章各种积分间的联系与场论初步,1各种积分间的联系,1、格林公式,区域D分类,单连通区域(无“洞”区域),复连通区域(有“洞”区域),区域D边界L的正向:域的内部靠左,定理22.1（格林公式）,设区域D是由逐段光滑闭曲线L围成的平面单连通闭区域，函数,则有,(格林公式),在D上具有连续一阶偏导数,或,证明：见380页,说明,1)对复连通区域，公式也成立。强调：(i)所有边界.(ii)每段的方向,2)记忆：,其中:为切向量（与同向）;,为外法线,2、高斯公式,定理22.2.设空间闭区域V由分片光滑的双侧闭曲,函数P,Q,R在V及S上具有连续的一阶,面S所围成,偏导数数，则有,(Gauss公式),证明：P377仿照格林公式的证明，先对简单的区域证明,高斯公式。,其中V如图22-9，它的边界由下，上，中三部分S1，S2，S3构成。上部为S2，由方程,下部为S1，由方程,给出，,给出，中间由母线,平行于Z轴的柱面S3构成。S1与S2在Oxy平面上由公式投影D.V可表为,考虑,V的边界曲面S的外侧可表为,下侧，,上侧，,以D的边界为准线夹在S1与S2之间的柱面外侧,由三重积分的积算方法及第二型曲面积分的积算方法得：,上面第四个等式成立是因为S3在Oxy面上得投影面积为零，所以,同理可证,3、stokes公式,光滑曲面,的边界为光滑曲线L,，函数,在,及,上具有连续的一阶偏导数，则,其中,的侧与,的方向按右手法则确定,证明：先证,设曲面S的方程为,它在Oxy面上得投影为,与过,的点且平行于z轴的直线只交于以点。L是S的边界，它,它在Oxy面上的投影为l.取S的上侧为正侧，则单位法向量为,因此,因为L在曲面,上，所以由格林公式，有,同理可证,把三个公式加起来，便得斯托克斯公式。证毕！,说明：,记忆：,公式的推广,格林公式的推广，即格林公式为其特例,斯托克斯公式建立了函数在空间曲面S上的第二型曲面积分与其“原函数”在S的边界曲线L上的第二型曲线积分之间的联系，因此也是牛顿莱布尼茨公式的一种高维的推广。利用两种曲面积分之间的关系，常把它写成如下便于记忆的形式：,背景：在力学里，质点在保守力场中移动时，场力场所做的功和所走的路径无关，而只与质点运动的起点和终点有关，而此时功可用第二型曲线积分表示。因此，要讨论问题：在什么条件下，第二型曲线积分与积分路径无关（只依赖曲线的端点）,第二节曲线积分与路径无关,定理22.4设D是平面单连通区域,在D上,有连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个断言等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理22.4的证明,14：设D是平面单连通区域,在D内,具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线L,有,(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分,(3),(4)在D内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在D内是某一函数,的全微分,即,说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为,证明(1)(2),设,为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明(2)(3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B(x,y),与路径无关,有函数,证明(3)(4),设存在函数u(x,y)使得,则,P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明(4)(1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得,所围区域为,证毕,在区域,上考察积分,（1）,其中,为,从,到,沿上半圆周,（2）,从,到,沿下半圆周,解：,（1）,（2）,在区域,上考察上述积分：,这时,是单连通的，为什么仍有,实际上：不满足,定理中关于及其偏导数的连续性,条件。我们注意：若有破坏连续性条件的“奇点”，我们将,这些点从区域中除去，于是区域,就变为含有点“洞”的,区域,而在,上具有了连续性。从而,可化为上面的情形,圆的方程：,例.,意义,对,内任一条不包含奇点,的闭曲线,，由格林公式，有,环绕奇点,的任意两条简单闭曲线和的正向的积分,相等，即,环绕某一奇点n圈的光滑闭曲线L，其中n1圈是正向，n2圈是负向,则积分,等于该点循环常数的,倍。,(iii),(iv),若不自相交光滑闭曲线L包围了k个奇点，则沿L正向的积分,等于这k个奇点的循环常数之和。,第三节、场论初步,1.梯度场,梯度:,称为函数的梯度，它定义了一个向量场，,称为梯度场，,又称,为梯度场的势函数，,则,记,函数,沿,的方向导数，,利用梯度得：,其中,为,与梯度,之间的夹角。,2.散度场,散度:,设,是空间区域,上的向量场，在,上,每一点,，定义向量场的散度为,，记为,散度构成了,的一个数量场。利用,算子有,公式可写成,物理意义：,就是流体在,点的单位体积的流量，即流量密度。,向量场,定义,公式可写成：,3.旋度场,小结,格林公式单连通区域积分与路径无关,习题,1、设L是一条分段光滑的闭曲线,证明,证:令,则,利用格林公式,得,2、计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.,解:令,则,利用格林公式,有,3、计算,其中L为上半,从O(0,0)到A(4,0).,解:为了使用格林公式,添加辅助线段,它与L所围,原式,圆周,区域为D,则,4、验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数.,证:设,则,由定理2可知,存在函数u(x,y)使,。,。,5、设质点在力场,作用下沿曲线L:,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,取圆弧,5、质点M沿着以AB为直径的