概率论 第8章 假设检验

第8章假设检验,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,2,第8章假设检验,8.1假设检验的基本思想8.2正态总体均值的假设检验3.3正态总体方差的假设检验3.4分布的拟合优度检验,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,3,第8章假设检验,统计推断的另一基本问题是假设检验.它与参数估计类似，但是考虑问题角度不同.参数估计是利用样本信息推断未知的总体参数，而假设检验则是对总体分布中的未知参数或未知分布形式作出一个假设，然后利用样本信息判断假设是否成立.假设检验包括参数假设检验和非参数假设检验。参数假设检验是对总体分布函数中的未知参数提出的假设进行检验，非参数假设检验是对总体分布函数形式或类型的假设进行检验。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,4,8.1假设检验的基本思想,在实际问题中，人们经常要对某个“假设”作出判断，确定它是真的还是假的.,8.1.1假设检验问题陈述,例1设有两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球；乙箱中有1个白球，99个黑球现随机取出一箱，连续放回抽样三次，结果都是黑球.问能否认为抽取到的黑球是来自乙箱？,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,5,分析：1这不是一个参数估计的问题.2这是在给定的条件下，要求对命题“抽取到的黑球是来自乙箱”作出回答:“是”还是“否”？这类问题称为统计假设检验问题，简称假设检验问题.,3用P表示一次抽样得到黑球的概率，则当抽取到的黑球是来自乙箱时，p=0.99，则命题“抽取到的黑球是来自乙箱”正确与否仅仅涉及p，从而此命题正确与否将涉及如下关于参数的两个集合：H0:p=0.99,H1:p0.99.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,6,命题成立时对应于H0，命题不成立时对应于H1，在数理统计中这两个参数集合都称为统计假设，简称假设.并且称H0为原假设，H1为备选假设.4当H1成立的时，连续三次抽到黑球的概率为，这是一个很小的概率，根据“小概率事件在一次试验中几乎不会发生”原理，我们有理由推测H1成立.这种根据试验的样本对假设正确与否作出判断的过程，在统计学中称为检验.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,7,5如果假设可以用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则称为非参数假设检验问题.例1显然是一个参数假设检验的问题，如果是要对总体服从什么分布作出假设检验，就是非参数假设检验问题.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,8,8.1.2设检验的基本步骤,通过一个正态总体的例子，来说明假设检验的基本步骤.,例2根据经验某一门课考试的成绩X可以认为服从正态分布N(,2)，已知标准差=5.现在从中随机地抽取10个学生的成绩，得到如下一组样本值：72，65，81，81，63，52，75，69，70，86，其平均值=71.4，问能否认为这门课考试的平均成绩是71分？,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,9,建立假设根据实际问题，确立原假设和备选假设.在例2中，原假设和备选假设如下：,在建立假设时，应该注意以下几点：（1）原假设和备选假设是对立的.（2）通常备选假设是我们所关心的，是想予以支持或者证实的.（3）在假设检验中，等号“=”通常放在原假设中.例如，问题问题问题（4）原假设和备选假设的提出有一定的主观性.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,10,2.选择检验统计量，给出拒绝域的形式,在例2中统计量,拒绝域形式为,若,则认为原假设不成立，,反之，认为原假设不成立。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,11,11,3.选择显著性水平，给出拒绝域,在检验过程中，我们作出判断的根据是随机样本，因此，检验结果与真实情况有可能吻合，也有可能不吻合.就是说，检验是有可能犯错误的.即为真的时候，仍可能作出拒绝的判断.,在例2中，给出一个较小的数,为了使得犯这类错误的概率不超过，即,称为显著性水平，通常可选取0.01，0.05，0.10等。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,12,由于允许犯这类错误的概率最大为由,可得拒绝域的具体形式表示为,注：在统计学上可能犯两类错误：1.弃真错误-称为第一类错误2.取伪错误-称为第二类错误,在“显著性检验”中，常常只控制第一类错误发生的概率,若的观测值满足,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,13,4.根据样本观测值作出判断,而当,则拒绝；,；,时，则接受。,（临界点）,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,14,在例2中取显著性水平，则,而,于是接受。,.,即，可以认为这门课考试的平均分为71。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,15,其他情况：,双边假设检验,单边检验,右边检验,左边检验,.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,16,8.2正态总体均值的假设检验,8.2.1单个正态总体均值,的假设检验,由于对总体均值进行检验设时，该总体中的另一个参数，即方差是否已知会影响到对于检验统计量的选择，故下面分两种情形进行讨论.,1方差,已知情形（,检验法）,检验假设,.其中,为已知常数。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,17,当为真时,故选取,作为检验统计量。,拒绝域形式为,对于给定的显著性水平,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,18,由此得拒绝域为,根据一次抽样后得到的样本观测值,计算出,的观测值。,若,则拒绝原假设,则接受原假设,若,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,19,例3糖厂用自动包装机包糖，要求每袋0.5公斤，,假定该机器包装糖重量,，,现从生产线上随机取9袋称重得,问该包装机生产是否正常（显著性水平为0.05）？,解：依题意建立如下的原假设和备择假设,由于,已知，可用,检验法，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,20,它的拒绝域为,由,，查表得,，,因,，,没有落入拒绝域内,故接受原假设，即认为生产正常。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,21,类似地，对单边检验有:,(i)右边检验：,，,其中,为已知常数，,拒绝域为：,(ii)左边检验：,，,其中,为已知常数，,拒绝域为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,22,例4设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，,现从一大批产品中抽出12件试验结果如下：,5059，3897，3631，5050，7474，5077,4545，6279，3532，2773，7419，5116.,假设该产品的寿命,，,问这批产品是否合格？（显著性水平）,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,23,解：由题意建立原假设和备择假设,而,已知，因此采用,检验法，,，,拒绝域为,计算知,.由,，得,，,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,24,故可接受,，认为这批产品合格。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,25,2方差未知情形（检验法）,由于,未知，显然此时不能再用,检验法了，,但是我们注意到样本方差,是,的无偏估计，,因此我们可以用样本标准差,来代替,检验假设,其中,为已知常数.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,26,当,为真时,故选取T作为检验统计量,记其观测值为t，,相应的检验法称为t-检验法.,由于,是,的无偏估计量，,是,的无偏估计量,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,27,故拒绝域形式为,对于给定的显著性水平,，由,得拒绝域为,.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,28,根据一次抽样后得到的样本观测值,计算出T的观测值t,若,则拒绝原假设,若,则接受原假设,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,29,类似地，对单边检验有：,(i)右边检验：,(ii)左侧检验：,拒绝域为：,拒绝域为：,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,30,例5某部门对当前市场的价格情况进行调查.,以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上，,售价分别为（单位：元/500克）,3.053.313.343.823.303.163.843.103.903.183.883.223.283.343.623.283.303.223.543.30,一般可认为全省鸡蛋价格服从正态分布,，,已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，,在显著性水平,下能否认为全省当前的,鸡蛋售价明显高于往年？,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,31,解由题意建立原假设和备择假设,：,用,检验法，检验统计量为,，,并且拒绝域为,根据题意可得,查表得,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,32,于是,故拒绝,即鸡蛋的价格较往年明显上涨。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,33,8.2.2两个正态总体均值差的假设检验,设,为来自总体,的样本，,为来自总体,的样本，,两个总体的样本之间独立，关于,求假设,；,的显著性水平为,的检验。,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,34,1方差已知情形（检验法）,当,为真时,故选取,作为检验统计量.记其观测值为,相应的检验法为,检验法,由于,与,是,与,的无偏估计量,成立时,拒绝域形式为,当,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,35,拒绝域形式为,对于给定的显著性水平,由,得拒绝域为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,36,根据样本观测值,和,计算出,的观测值,，,若,则拒绝原假设,若,则接受原假设,类似地，有对单边的检验问题,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,37,2.方差未知,但,当,为真时,统计量,其中,和,分别为总体,和,得样本方差,选取,作为检验统计量.,记其观测值为t.相应的检验法称为t检验法,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,38,对于给定的显著性水平,由,得拒绝域为,根据样本观测值,和,计算出T的观测值t,若,则拒绝原假设,，否则接受原假设,类似地，有对单边问题的检验,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,39,例6用两种方法测定冰自0.72C转变0的水的融化热（以cal/g计）.测得以下的数据：,方法A：79.98，80.04，80.02，80.04，80.03，80.03，80.04，79.97，80.05，80.03，80.02，80.00，80.02,方法B：80.02，79.94，79.98，79.97，79.97，80.03，79.95，78.97,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,40,设这两个样本相互独立，且分别来自正态总体,均未知.试检验假设.(取显著性水平,),解因为,故拒绝,，认为方法A比方法B测得的融化热要大.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,41,8.3正态总体方差的假设检验,8.3.1单个正态总体方差的假设检验（,检验）,设总体,是取自X的一个样本,与,分别为样本均值与样本方差。,由于,的无偏估计，,是参数,因此对于,的假设检验，,着手研究。,我们从,由于在实际应用中，绝大部分问题中参数,的值都是未知的，因此我们这里仅仅,讨论参数,未知时，对,进行检验,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,42,检验假设,其中,为已知常数,由于,是,的无偏估计量,当,成立时,故选取,作为检验统计量。,相应的检验法称为,检验法.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,43,对于给定的显著性水平,由此得拒绝域为,或,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,44,根据一次抽样后得到的样本观测值,计算出,的观测值。,若,或,则拒绝原假设；,反之,则接受原假设.,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,45,例7根据长期资料的积累，某维尼龙厂生产的维尼龙,的纤度服从正态分布，它的方差为,.某日随机,地抽取,根纤维测得其纤度为,，,问该日生产的维尼龙纤度的方差有无显著变化？,解由题意建立原假设和备择假设,拒绝域为,或,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,46,直接计算可得,对于,，查,分布表，可得,因为,因此拒绝,即认为该日生产的维尼龙纤度与往日的方差,有显著差异。,为已知常数.可得拒绝域为,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,47,类似地，对单边检验有:,(i)右边检验：,其中,为已知常数,可得拒绝域为,(ii)左边检验：,其中,问：可否相信该车间生产的铜丝折断力的方差不大于70?,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,48,例8某车间生产的铜丝,其质量一向比较稳定，今从中任,意抽取,根检查其折断力，得数据如下：单位,）：,，,？（,解由题意建立原假设和备择假设,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,49,拒绝域为,直接计算,对于,，查,分布表，可得,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,50,因为,所以接受,即认为该车间生产的铜丝折断力的方差不大于,欧启通主编.概率论与数理统计.浙江大学出版社,2014.2,51,8.3.2两正态总体方差的假设检验,设,为取自总体,的一个样本,为取自总体,的一个样本,并且两个样本相互独立,记,与,分别为相应的