流体运动连续方程

连续方程描述的是流体力学中的质量守恒规律：流出控制体的质量流量等于控制体内质量随时间的减少率。“物质即不能创造也不能消灭”,2.1.1连续方程的物理意义,在上一章第六节中，我们讨论了几种用来研究流体运动的模型，现在对这些流体模型运用基本的物理原理。和前面推导的物理意义不同，那里采用的是运动的有限控制体，这里我们采用位置在空间固定的有限控制体，即控制体固定在空间某个位置，流体从中穿过。显然，和前面的推导不同，控制体的体积和控制面都不随时间变化，但是由于流场的非定常特性，控制体内所包含的质量是随时间变化的。,在推导这个基本气动方程之前，我们引入质量流量的概念。对位于流场中任意的面A，如图2-1所示。图2-1是面A的侧视图。,图2-1流过面A的质量流量,假设区域足够小，因此面上各点的速度可以认为相同。考虑以速度V穿过面A的流体微团，在穿过面以后的时间dt内，它运动了的距离Vdt，扫过的体积如图2-1阴影部分所示。显然，扫过的体积等于底面积乘以柱体的高度Vndt，这里Vn是速度在面A法向上的分量，即,因此阴影部分的质量是：流过质量=这就是在时间dt内流过面A的质量。定义每秒钟流过面的质量为面的质量流量，其单位是kg/s，记为，从方程（2.1）有,或者,再引入一个相关概念：质量通量。其定义为单位面积上的质量流量，即质量流量和质量通量的概念很重要。,质量通量的单位是：,为了得到连续方程，对空间位置固定的有限控制体运用质量守恒律：质量既不能创造，也不能消灭,设流场特性随空间和时间的变化而变化，比如。在该流场中，考虑如图2-2中所示的有限控制体，在控制面上任取一点，其速度是V，ds是包含该点的面元的外法矢，dv是控制体内流体微团的体积。,对该控制体运用质量守恒律记为B=C,图2-2,穿过面元ds的质量流量是：习惯上ds从控制体内指向外，因此当V也从内指向外时，如图2-2，乘积为正。为正：流出控制体的质量流量。为负：流入控制体的质量流量。质量流量沿整个控制面S求和就是净流出整个控制面S的质量流量。再取极限，和就演变成面积分，也就是上述方程的左边B：,现在考虑方程的右边C。体元dv中包含的质量是：因此，整个控制体内的质量是：那么控制体内的流体质量随时间的增加率是：反过来，控制体内质量随时间的减少率就是上式的相反数：,则由：得到：或者：此方程是对在空间位置固定的有限控制体运用质量守恒率得到的结果，称为连续方程。它是流体力学中最基本的方程之一。,2.1.2连续方程的积分形式,上式就是连续方程的积分形式。很多情况下会运用到这种形式的连续方程，它可以用来解释某个有限区域空间的气动现象，而不必关心流场中某个点的具体细节。然而，有时候我们需要关心流场的细节，就必须对所取定点运用连续方程进行分析。在这种情况下，积分形式的连续方程并不适用。然而从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的连续方程，这种形式的连续方程是与空间具体点的流动特性相连的。,2.1.3连续方程的微分形式,由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求偏导数可以放到体积分符号里面,根据散度定量，上式右边项可以表示为：或者：,分析积分形式中的被积函数，如果被积函数的值是有限的，那么此方程要求它在控制体的一部分区域的积分和剩余的区域的积分大小相等，符号相反，这样在整个控制体内的积分才为零。然而有限控制体是任意的，因此对任意控制体，都要求要此方程的积分为零，唯一方法是被积函数在控制体内所有点值都为零。因此,上式就是连续方程的微分形式。该方程建立了流场中某点的流动变量之间的关系，与积分形式的连续方程相反，后者反应的是流场中一个有限空间的流动变量之间的关系。值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形式都是质量守恒原理的等效的表示。它们只是数学表述方式不同而已，反映的的实质都是“物质即不能创造也不能消灭”。,在连续方程的推导过程中，关于流体性质的唯一假设就是连续性假设。因此，上式对任意流体的三维非定常流动、有粘或是无粘、可压或是不可压，都成立。对定常流动，因此积分与微分形式的连续方程分别简化为：,2.1.4连续方程的物质导数形式,第一章我们学习了物质导数，下面我们把连续方程表示成物质导数的形式。首先引入一个矢量记号：它表示标量和矢量乘积的散度等