常微分方程数值解法

第九章常微分方程数值解法,常微分方程(ODEs未知函数是一元函数)偏微分方程(PDEs未知函数是多元函数),微分方程,常微分方程,一阶方程：如二阶方程：如,同一个微分方程,具有不同的初始条件,(1)用差商近似导数,差分方程初值问题Euler方法,微分方程离散化的方法,若用向后差商近似导数，即,向后Euler方法,（2）用数值积分方法,若对积分用梯形公式，则得,梯形公式,（3）用Taylor多项式近似,Euler方法,1Euler方法,的解作为微分方程初值问题的数值解，即,以差分方程初值问题,1.Euler方法,x0,x1,x2,x3,y0,h,h,h,用分段折线逼近曲线,解：Euler公式为,当h=0.5时,当h=0.25时,0,0.5,0.75,1.0,1,0.25,h=0.5,h=0.25,1.2Euler方法的误差估计,对Euler方法，局部截断误差,Euler方法的整体截断误差,2改进Euler方法,2.1梯形公式,求解公式,或用梯形公式的误差,2.2改进Euler法,称为Euler公式与梯形公式的预测校正系统。,实际计算时，常改写成以下形式,predictor,corrector,3RungeKutta法,1.RK方法的构造,RK公式的一般形式为,K1,K2,xn+a2h,xn+1=xn+h,加权平均斜率,c1K1+c2K2,xn,这就是改进Euler公式，故其为二阶方法。,K1,K2,xn,xn+1/2,xn+1,经典三阶RK公式（右端类似Simpson公式）,经典四阶RK公式,xn,xn+h/2,xn+h,K1,K2,K3,K4,经典四阶RK公式的几何意义,说明：,4阶Runge-Kutta方法,EulerEuler_modmidpointRK4,n=10,EulerEuler_modmidpointRK4,n=20,4线性多步法,单步法的一般形式：,xn-2,xn-1,xn+1=xn+h,xn,4.1线性多步公式的导出,利用Taylor展开,结论：,4.2常用的线性多步公式,四阶Adams显式公式,四阶Adams隐式公式,1.Adams公式,（二）Milne公式,（三）Hamming公式,2.一般地，同阶隐式公式比显式公式精确，但隐式公式计算复杂，需用迭代法求解。,线性多步公式不能自启动，一般需用同阶单步法求得初值后再用线性多步公式计算；,说明,4.3预测校正系统,MilneHamming预测校正公式：,Adams预测校正公式：,5相容性、收敛性与稳定性,5.1相容性与收敛性,问题：,单步法离散方程：,原方程：,相容性:,则称单步法与问题（*）相容，也称问题（*）与（*）相容。,注对形式简单的方程，可以由差分方程解的表达式取极限导出收敛性。,用Euler法得近似解表达式,例如对初值问题：,5.2稳定性,故Euler法的绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,故隐式Euler法的绝对稳定区域为：,将改进Euler法用于试验方程，则有,故改进Euler法的绝对稳定区域为：,梯形公式用于模型方程则为,故其绝对稳定区域为,因此梯形公式是A稳定的。,对四阶RK方法，有,其绝对稳定区域为,6一阶微分方程组和高