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文档简介

3.4奇解,/Singularlysolution/,3.4奇解,包络和奇解,克莱罗方程（ClairantEquation）,本节要求：1了解奇解的意义；2掌握求奇解的方法。,主要内容,一包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。,例单参数曲线族,R是常数，c是参数。,x,y,o,显然，,是曲线族的包络。,一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。,二求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去C而得到的曲线中。,设由,能确定出曲线为,则,对参数C求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线L在其上每一点(x(C),y(C)处均与曲线族中对应于C的曲线相切。,注意：C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例1求直线族,的包络，这里是参数，p是常数。,解：,对参数求导数,联立,相加，得,，经检验，其是所求包络线。,例2求直线族,的包络，这里c是参数。,解：,对参数c求导数,联立,得,从得到,从得到,因此，C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验，是所求包络线。,2p-判别曲线,结论：方程的奇解包含在下列方程组,消去p而得到的曲线中。,注意：p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验。,例3求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。,因为易求得原方程的通解为,而是方程的解，且正好是通解的包络。,例4求方程,的奇解。,解：,从,消去p，得到p-判别曲线,经检验，不是方程的解，故此方程没有奇解。,注意：以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。,3克莱罗方程,形式,其中,是p的连续函数。,解法,通解,奇解,例5求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去c，得到奇解,从,例6求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2。,解设要求的曲线为,过曲线任上一点的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。,课堂练习：,1求一曲线，使在其上每一点的切
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