现代数字信号处理课后习题解答.doc

习 题 二1、求证：。证明：2、令和不是相关的随机信号，试证：若，则和。证明：(1)(2) 即3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：当时，；当时,。证明：（1） （2） 4、设随机信号，为正常数，A、B为相互独立的随机变量，且,.试讨论的平稳性。解：（1）均值为（2）自相关函数为相互独立故：与起始时间无关（3）可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。5、设随机信号，A、B是两个相互独立的随机变量，且。求的均值、方差、相关函数和协方差函数。解：（1）（2） （3）6、若两个随机信号，分别为，其中,是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明是广义平稳的。证明：均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的7、设随机信号，式中A、为统计独立的随机变量，在0，上均匀分布。试讨论的遍历性。解：（1）首先讨论的平稳性 与t无关故是平稳随机信号（2）遍历性故不具有广义遍历性8、随机序列，在0，上均匀分布，是否是广义平稳的？解：由已知得 均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳9、若正态随机信号的相关函数为：； 试分别写出随机变量，的协方差矩阵。解：由已知得当时，当时，10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数？； ； ； ； 解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足：则可批判断为功率谱函数，其中不满足（d）；不满足（a）；不满足（c）；不满足（b）；不满足（a）。11、设，是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为，新的随机信号。求：的功率谱；和的互谱密度。解：由已知得 ，独立且平稳平稳12、已知平稳高斯信号的自相关函数为。求的一阶概率密度函数及二阶概率密度函数，其中，。解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得则一阶概率密度函数对于二阶概率密度函数其中为x的协方差矩阵，为均值 13、令表示白噪声序列，表示一个与不相关的序列，。试证明序列是白色的，即，式中A是常数。证明：由已知得为一与不相关的序列为一常数令即得证。14、设随机信号，其中是一个平稳信号，y是一个与无关的随机变量。试讨论的遍历性。解：由已知得，令 平稳性与n无关与n无关 平稳 遍历性 不为常数，则信号不具有遍历性。习 题 四1、令x(n)是一个平稳白噪声过程，它的均值为零，方差为。又令y(n)是冲激响应为h(n)的线性非移变系统在输入为x(n)时的输出。证明：（1）； （2）证明：（1）由题条件：是一平稳白噪声， 可知：其自相关函数，经过线性非移变系统得到的输出也是一个广义平稳信号。则：； （2）因为 2、令x(n)是白色随机序列，其均值为零，方差为。设有一个级联系统，由两个线性非移变时域离散系统按图46的形式构成，x(n)是它的输入。（1）是否正确？（2）是否正确？（3）令和。试确定图46的整个系统的单位取样响应，并由此求出。如果你认为问题（2）是正确的，那么它与问题（3）的答案是否一致？x(n)y(n)w(n)图46 习题2用图解：（1）正确 为白噪声，互不相关，即为因果序列时，（2）不正确由（1）中推导知，由于不是白色序列，所以它不满足不成立（3）对上式两边作Z变换得 若按（2）来计算，则与上面计算结果不符，故结论（2）不正确。3、考虑一个时域连续的随机过程，它有如图47(a)所示的限带功率谱。假设对x(t)采样，得到了一个时域离散的随机过程。11 0 0 图47 习题3用图（1）该时域离散随机过程的自协方差序列是什么？（2）对于上述的模拟功率谱，应如何选择T才会使时域离散过程为白色的？（3）如果模拟功率谱如图47(b)所示，应该如何选择T才会使时域离散过程为白色的？（4）欲使时域离散过程为白色，应对模拟过程和采样周期提出哪些一般要求？解：（1）该时域离散随机过程的自协方差序列是抽样序列。（2）使时域离散过程是白色的，因为时域采样后，信号功率谱变为周期序列，如图所示，要想使时域为白噪声，周期功率谱叠加应为常数。1 0 （3）或使时域离散过程是白色的。 （4）欲使时域离散过程为白色，模拟功率谱应是限带的，且功率谱幅度应是线性的，采样周期（为功率谱的最高频率），若功率谱为矩形的，采样周期还可为4、将零均值与方差为的白噪声通过一线性系统，其传递函数为H(z)，试求此系统输出的方差。又若等于什么？解：由第2题结论可知5、在图48所示的反馈系统中，N(t)为白噪声，,随机信号X(t)与N(t)不相关。设的傅里叶反变换为。试证Y(t)与N(t)的互相关函数。X(t) + Y(t)-N(t)图48 习题5用图证明：图中反馈系统有两个输入X(t)、N(t)。故 解法2：因与不相关，则同理故 6、某系统的传递函数。若输入平稳随机信号的自相关函数为，输出记为Y(t)，试求互相关函数。解：7、某系统的传递函数。若输入平稳随机信号的自相关函数为，输入记为Y(t)，试求互相关函数。解：8、两个串联系统如图49所示。输入X(t)是广义平稳随机信号，第一个系统的输出为W(t)，第二个系统的输出为Y(t)，试求W(t)和Y(t)的互相关函数。X(t)W(t)Y(t)图49 习题7用图解：输入X(t)是广义平稳随机信号，经串联系统后输出Y(t)。输入X(t)线性系统，输出为W(t)。因为与t无关，可知W(t)也是广义平稳随机信号。9、假定MA(1)模型为，求与它等价的AR模型。解：代入（1）得所以与之等价的AR模型为：10、已知ARMA(2,1)模型为，求其前5个格林函数值及，和。解： 比较式中等号两边的同次幂系数，得：11、设ARMA(n,m)模型的格林函数为，且已知，u(n)为n 0 1 2 3 4 5 0 0.5 -1 1 -2 2（1）计算；（2）求出相应的ARMA模型及其参数。解：（1） （2） 又 即该ARMA（1，1）模型为：12、设平稳随机信号，具有下列自相关函数（1）（2）试求产生此随机信号的模型。解：（1）求出选用AR模型：故得信号的模型：（2）求出选用AR模型：故得信号的模型：13、用AR()表示MA(2)。解：MA（2）的传递函数为AR（）的传递函数为令比较同次幂系数得到模型可表示为：其中 14、设AR(2)模型为。（1）求x(n)的功率谱。（2）求x(n)的自相关函数。（3）写出相应的Yule-Walker方程。解：（1）由AR（2）模型可得系统函数为：而 即 ： 又：（2）AR（2）模型的自相关函数为：取m0,1,2得方程组：（3）其Yule-walker方程：15、计算二阶MA(2)模型的自相关函数及功率谱密度。解：由Yule-Walker方程知 16、如图410所示，x(n)为的白噪声，a1, b0时 其中k=m+n当m0时 其中l=-m故结合式4.2，利用褶积定理可得5 设有零均值平稳序列，将其分为K段，每段有点数据，各段的周期图为。平均周期图为。试证明：如果当时很小，因而各周期图可认为是彼此独立的，则。其中，这一结果说明了什么？证明：其中说明功率谱估计的均值是真实功率谱与三角窗的卷积。6 对于确定信号，也可以使用线性预测，N阶线性预测定义为，预测误差能量为。试证明：若，则最小二乘估计满足尤利-沃克方程，但其中，且。证明：为N阶前向线性预测。已知预测误差为预测均方误差为时，对的最小二乘估计有即又与AR模型尤利-沃克方程类似得证最小二乘估计满足尤利-沃克方程类似。7 试证明后向预测滤波误差的正交性。证明： 当k=1,2,p时，误差：则： 要使均方误差最小，则令即k=1,2,p时，与观测数据正交。 当k=0时， 故 k=0,1,2,p时，均与观测数据正交。8 题目见书， 题解：尤利-沃克方程：可得： 则有求解即可9 设N=5的数据记录为，AR模型的阶数p=3，试用莱文森递推法求AR模型参量及的预测值。解：利用已知数据求得：一阶时： 二阶时： 三阶时： 故 AR模型得参数为：因为 故 10 利用题9所给N=5的数据记录，试用伯格算法求参数。解：（1） 前、后向预测误差分别为（2） （3） （4）模型为：11 推出随机初相（在0至区间上均匀分布）的复（实）正弦加白噪声的自相关序列值公式。解：当信号为复正弦加白噪声时，设其中是在中均匀分布的随机变量，为白噪声均值0，方差。当信号是实正弦加白噪声时，设12 设上题中共有M复正弦加白噪声。请写出它的（p+1）阶自相关矩阵。并证明该自相关阵可以分解为如下形式：解：上题中M个随机初相在0，2内均匀分布的复正弦加白噪声，设令则 式中，是的共轭转置，I为（p+1）阶单位矩阵，为白噪声方差。13 设邻均值单位方差随机过程的自相关，求出阶数为1，2，3的线性预测器增益。解：一阶时： 故 一阶线性预测器为： 二阶时： 故 二阶线性预测器为： 三阶时： 故 三阶线性预测器为： 14 已知滑动平均（MA）过程，其中为零均值单位方差白噪声，求出其10阶线性预测的增益。解：由kolmogorov定理：MA序列可由AR（）序列来表示。题目中MA（T）传递函数为AR（）传递函数为 令，即模型为P阶AR模型与p阶线形预测器等价，取p=10，则10阶线形预测为其增益：习题61. 设噪声中存在L个具有随机相位的复正弦信号如下：式中，L为均匀分布的随机相位，它们是互相独立的；为零均值与方差的白噪声，且与互相独立。证明；证明的自相关函数；将通过一个传递函数为的滤波器滤波，滤波后的输出为，证明输出功率为式中证明：已知是均匀分布的随机相位，且相互独立，则而利用正交性：根据的结论，且与相互独立令 则2. 设信号的功率谱为，噪声的功率谱为，信号与噪声互不相关，求因果连续维纳滤波器的传递函数。解：已知信号与噪声互不相关，则由Viner-Hopf方程：又则，所以因果维纳滤波器的传递函数： 3. 设系统模型为，观测方程为，其中为方差的白噪声，为方差的白噪声，与不相关。试求其离散维纳滤波器。解：系统模型为： ，与不相关其中 故 故 4. 由式，推导： 解： 同理可求5. 考虑图6-36所示单权自适应线性组合器。设开关S是断开的，试导出性能函数表达式，并给出性能函数的图形。0 1 43解：当开关S断开时， 此时，误差性能函数：6. 如图6-36所示，设开关S闭合，按上题要求再做一次。图6-36 习题5、6用图解：当开关S闭合时，7. 试证明：当只有两个权因子时，表示一个椭圆。 当只有一个权因子时，上式表示什么类型的曲线？证明：R的特征矩阵为Q，由于只有两个权因子，则： 其中设有整理得： 为一椭圆当只有一个权因子时， 为一维轴上的两点8. 设一单变量性能表面为，试问收敛参数在何范围时可得一条过阻尼权调整曲线？解：故：若权调整为过阻尼，需 即 9. 给定初值，收敛因子。写出上题性能表面学习曲线的表达式。解：性能表面：此处为单权值，； 得 ；由，得10所以，（2）(3)11(2)(3)LMS算法已知12、即：13故其中u 为参数a 的收敛因子，是参数的收敛因子14.解 即取则令式中，与互不相关，故故可解出15.解：设则即其中将上面各值代入，有16题 解（1） 求因为为白噪声序列，且（即单位功率），故（2） 求 （3） 求 17题题目：如图（见课本204页图6-43），信号有一部分泄露到参考通道，设n0(n)是总功率为N的白噪声（独立）。试用输入功率谱表示最佳。解答：由 其中所以原解： 其中 需要掌握的相关概念1. 掌握自相关函数和功率谱的性质，能够利用性质进行判断；2. 掌握投影算子在直和的两子空间上分解公式，及其几何解释；3. 掌握收敛规律近似为指数规律时的时间常数，解释步长因子和特征值为什么会影响收敛时间常数；4. 能写出LMS算法中梯度估计的表示式；5. 掌握额外均方误差的定义、失调与步长因子关系的表示式，解释步长因子和信号功率为什么对失