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文档简介

4.5龙贝方法,梯形法则虽然算法简单，但收敛速度缓慢。如何提高收敛速度以减少计算量，这自然是人们所特别关心的问题。依据梯形法则的余项公式(13)，积分值Tn的截断误差近似地与h2成正比，因此当步长二分后，截断误差将减至原有误差的1/4，即有将上式移项整理，可得：,Foil1,龙贝方法,由此可见，只要二分前后两个积分值Tn与T2n相当接近，就可以保证结果T2n的误差很小。前已说过(见上一章的4)，这种直接用计算结果估计误差的方法称作事后估计法。按照事后估计式(18)，积分近似值T2n的误差大约等于(T2nTn)/3，因此，如果用这个误差值作为T2n的一种补偿，可以期望，所得到的（19式）可能是更好的结果。,Foil2,龙贝方法,考察例4-2-1，用梯形法则求得的两个结果T2=0.9397933与T4=0.9445135的精度都很低(与实际值0.9460831比较，只有一位和两位有效数字)，但如果将它们按(19)作线性组合，则新的近似值却有五位有效数字。按公式(19)组合得到的近似值，其实质是什么?,Foil3,龙贝方法,注意到Tn与T2n的表达式(5)与(8)，代入式(19)的右端，直接验证：易知，即有下列关系式这就是说，用梯形公式二分前后的两个结果Tn与T2n按(20)式作线性组合，所得到的实际上是辛卜生公式的积分值Sn。,Foil4,龙贝方法,下面再研究辛卜生公式的加速问题。根据余项公式(16)，辛卜生公式的截断误差与h4成正比，因此，若将步长折半，则误差将减至原有误差的1/16，即有：由此得到：不难直接验证，上式右端的值就是Cn，就是说，用辛卜生公式二分前后的两个积分值Sn与S2n，再按上式作线性组合，结果得到何特斯公式的积分值Cn，,Foil5,龙贝方法,即此外，利用余项公式(17)，柯特斯公式的误差与h6成正比，因此有整理得令（22式）公式(22)称作龙贝(Romberg)公式。,Foil6,龙贝方法程序框图,在变步长求积的过程中运用加速公式(20)、(21)和(22)，就能将梯形法则的积分值逐步加工成精度较高的结果，这种求积方案称作龙贝方法。龙贝方法的框图如图所示。,Foil7,龙贝方法举例,例4-5-1考察例4-3-1，用龙贝方法求积分,解用龙贝方法加工梯形法则的积分值，结果列于表中。,Foil8,例4-5-1,可以看出，这里利用二分3次的数据，通过简单的线性组合得到了原来(见表)需要二分10次才能获得的结果，计算量因此减少了许多倍？,Foil9,例4-5-1,T1=(b-a)*f(a)+f(b)/2T2=T1/2+1/2*f(a+b)/2)T4=T2/2+1/4*f(a+b)/4)+f(3(a+b)/4)T8=T4/2+1/8*f(a+b)/8)+f(3(a+b)/8)+f(5(a+b)/8)+f(7(a+b)/8)S1=4/3*T2-1/3*T1S2=4/3*T4-1/3*T2S4=4/3*T8-1/3*T4C
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