多项式长除法精讲精练.docx

多项式长除法 是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。例计算写成以下这种形式：然后商和余数可以这样计算：1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x3 x = x2).2. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下 (x2 (x 3) = x3 3x2).3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（注意减一个负项相当于加一个正项），结果写在下面。(x3 12x2) (x3 3x2) = 12x2 + 3x2 = 9x2)然后，将分子的下一项“拿下来”。4. 重复前三步，只是现在用的是刚写作分子的那两项5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。横线之上的多项式即为商，而剩下的 (123) 就是余数。算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。除法变换使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 (D)的系数），这种变换叫做除法变换，是从算数等式 .1 得到的。应用:多项式的因式分解有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用 rational root theorem 得到的。如果一个 n 次多项式 P(x) 的一个根 r 已知，那么 P(x) 可以使用多项式长除法因式分解为 (x-r)Q(x) 的形式，其中 Q(x) 是一个 n-1 次的多项式。简单来说，Q(x) 就是长除法的商，而又知 r 是 P(x) 的一个根、余式必定为零。相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知 r 和 s 这两个，那么可以先从 P(x) 中除掉线性因子 x-r 得到 Q(x)，再从 Q(x) 中除掉 x-s，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子 x2-(r+s)x+rs。使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果 rational root theorem 可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。寻找多项式的切线多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。2 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)2 的余式也即，除以 x2-2rx+r2那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。2 一元多项式及整除性下面主要讨论带余除法，最大公因式，互素的性质，因式分解，重根判定，求有理根的方法。学习本章应掌握：求最大公因式，求有理根的方法。定义4 设是一个数域，是一个文字，形式表达式其中是数域中的数，是非负整数）称为数域上的一元多项式，通常记为。称为次项的系数。例如： 是多项式不是多项式，因为不是非负整数。定义5 如果数域上多项式，同次项系数都相等，称与相等记为：=一个多项式里可以人员添上系数为0的项，约定定义6 在（1）中如果，称为多项式的次数，记为。零多项式不定义次数。下面给出多项式加法与乘法：设是数域是的多项式。规定。易验证多项式加法与乘法满足下列算律：加法交换律：加法结合律：乘法交换律乘法结合律乘法对加法的分配律关于多项式次数，我们有定理2 设，是数域上的两个多项式，则(1) 当+时+(2) 当时证明：略。明显地利用定理5不难证明推论：若 则Top of Form一个三位数 1：三个数相加为20。2：百位上的数字比十位上的数大5。3：个位上的数是十位上数的3倍，这个3位数是什么？Bottom of FormTop of Form设十位数为x，百位数（x+5），各位3x。相加为20，所以x+x+5+3x=20。所以x=3，也就是839.第五讲 多项式1.(一、多项式的整除概念)2.(二、最大公因式)(本页)3.(三、多项式的因式分解) 4.(四、重因式 五、多项式的函数)5.(六、复与实系数多项式的因式分解)6.(七、有理数域上的多项式)如果多项式 既是 的因式, 又是 的因式, 那么 称为 与 的公因式.定义 3设 . 如果 上多项式 满足以下条件:(1) 是 与 的公因式;(2) 与 的任何公因式都是 的因式,则称 是 与 的一个最大公因式.引理如果有等式成立, 那么 , 和 , 有相同的公因式.由于在上述引理中, 我们可得到次数比 的次数小的 . 因此求, 的最大公因式的问题可转化为求次数低一些的一对多项式 , 的最大公因式的问题. 如此下去, 这就是下面辗转相除法的思想.定理 3数域 上任意两个多项式 与 一定有最大公因式, 且除相差一个非零常数倍外, 与 的最大公因式是唯一确定的, 且 与 的任意最大公因式 都可以表示成 与 的一个组合, 即有 中的多项式 , 使得 当 与 不全为零时, 其最大公因式 , 而 与 的任一最大公因式必为 的形式, 其中 为 上非零数. 在这些最大公因式中有唯一的一个首项系数是1, 我们用 来表示. 如果 , 则最大公因式只有一个零多项式, 记作 (0,0)=0.例 2 设求 , 并把它表示成 , 的一个组合.解 用辗转相除法:第一步: 用 除 , 得商 , 余式 .第二步: 用 除 , 得商 , 余式 .第三步: 用 除 , 得商 , 余式 .最后一个不为0的余式是 , 所以最终得:定义 4如果 的最大公因式 , 则称 与 互素.定理 4两个多项式 互素的充分必要条件是存在 , 使得证明 必要性 如果 与 互素, 那么 . 由定理3, 存在 , 使得充分性. 如果 令 是 与 的最大公因式. 于是从而, . 故 必为零次多项式. 所以 与 互素.互素多项式的一些性质(1) 若 , 且 , 则 .(2) 若 , , 且 , 则(提示5.2)我们可以自然地把最大公因式及互素等概念推广到任意多个多项式的情况.定义 5设 (). 如果多项式 满足以下两个条件:(1) ;(2) 的任何公因式都是 的因式. 则称 是 的最大公因式.如果 全等于0, 则其最大公因式等于0, 否则, 它们的最大公因式不等于0. 与 的情况一样, 可知它们的任意两个最大公因式只差一个非零常数倍. 我们仍用 表示它们中首项系数为1的最大公因式. 则有定理 5该定理告诉我们, 求多个多项式的最大公因式问题最终可归结为求两个多项式的最大公因式问题.例 3 设 , , . 求 解 利用定理5来计算. 由计算可知所以, .第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解2.5 重因式2.6 多项式函数多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式返回教案总目录22多项式的整除性一、教学思考1、在内，除法不是永远可以施行的，因此关于多项式的整除性的研究，也就是一个多项式能否除尽另一个多项式的研究，在多项式理论中占有重要地位。本节限于数域上讨论多项式的整除性，其与整数的整除性类似，注意对照学习。2、多项式的整除性是多项式之间的一种关系（等价关系），为加深对此概念的理解，需掌握一些特殊多项式（零多项式，零次多项式）间的整除关系及整除的性质。3、数域上任意两个多项式总有带余除法结论成立，其证法思想是在中学代数中多项式的长除法的运算表示实质的一般化，唯一性用同一法。4、证明的思想可从定义、带余除法得到的充要条件以及将分解成两项之和而每一项能被整除，或将分离出作为一个因子来考虑。5、整除性不随数域扩大而改变是由带余除法得到的一个非显而易见的结论。二、内容、重点、要求1、内容：一元多项式整除的定义、性质，带余除法。2、重点：整除的定义、带余除法定理。3、要求：正确理解掌握整除概念、性质，掌握带余除法定理。三、教学过程约定：2.2-2.5节在数域中讨论多项式，是上一元多项式环。1、多项式的整除及性质（1）定义1：设若使得（1） 则称整除（除尽）；用符号表示。用符号表示不整除当时，称是的一个因式，是的一个倍式。注：（1）整除是多项式之间的一种关系，非多项式的运算。（2）符号“”不要与“”混淆，后者是分式，后者中；而前者中由定义，即零多项式整除零多项式。（3）多项式整除性与整数的整除性非常相似，而不同的是：在多项式整除定义中，只要求存在适合条件（1）的，不要求是否唯一，这就使得多项式整除比整数整除有更广的含义，如在多项式整除意义下。（2）性质A）若、，则；（传递性）B）若、，则；C）若，则对有；特别，；D）由B、C若，则对，有；E）零次多项式整除任一多项式；F）对，有；特别；（1）本章讨论不涉及分式，有时用表示非零多项式整除所得的商，即若时，用表示。（2）因在数域中，一般不绝对唯一（可差常数因子）。（3）整数整除不同。G）若、，则。以上性质由定义容易证明，下面仅证G）：由条件，使得（1），则有（2）。若，由（1）得；若，则由（2）及消去律得，于是，从而，；这样是F中非零常数。注：1）由A、F、G知“整除关系”是一种“等价关系”；2）B、C提供了证明的两个思路：一、要证，若能将表示为，而；二、要证，若能将表示为而或。3）为理解概念、性质，注意如下问题：A）（因对，有）；B）零多项式是否整除任意多项式？若，由A）；若，对。（可知零多项式仅能整除零多项式）C）任意多项式是否整除零多项式？，使。D）性质B之逆是否成立？即若，是否且。（不真。如：）E）性质C之逆是否成立？即若，是否或。（不真。如：）2、带余除法引例：中学代数里，用长除法求一个多项式去除另一个多项式得商式及余式。即对，求使， 其中或。如：作法： 今写为： 则商式为，余式为。有上述过程具体可总结为：第一步：将写成降幂的形式，缺项补0；第二步：消最高次项（首项）；为此商，作差，得。 （第三步：消的首项；为此商，作差，得。 （结束）（1）注意格式，降幂排列，缺项补0。由此，一般地可作如下：设，令若，设，同样消首项，作得，且具有性质：或者或者。重复对的讨论，由于，即，的次数是递减的，而是有限数，因此有限步（步）后可得这样一个多项式 （为首项系数），而或者。这样得一串等式：把这些等式加起来得：，于是有，满足要求。（1）降幂排列；（2）消项： 作商，作差（3）讨论。上述结论叙述为：定理2.2.1（带余除法）设，且，则（1）使得； （）其中或。（2）满足（）式及条件的只有一对。（分析：定理要求满足（）式及条件的存在且唯一，上述一般讨论已说明存在性，下重点证唯一性，注意条件，用同一法。）证明：（1）存在性：若或，取便满足（）式；若，由上述讨论可得成立。（2）唯一性：假设还有使得，且或，上式与（）式相减得：。若，则，此时，而，矛盾；因此（即），又，所以，即。注：（1）定理的证明过程给出了求商式与余式的方法，实质为作长除法的过程。（2）注意定理唯一性的条件是在或下。（3）定理的理论意义及作用在下面讨论多项式的整除性及最大公因式时有重大作用。注：设；（1）；（2）除的余式为0。事实上：（1）由定义及零多项式的特征显然；（2）若由TH2.2.1使得，因此。问题：设是两个数域，且，显然，若，且 （在内）；问题在内是否？（下答）推论2：设是两个数域，且，若，且在内 ，则在内。（即多项式的整除性不随数域的扩大而改变。）证明：若因在内，所以故在内显然。（因0仅整除0）若，则在内使得，且，；而，即上式在内仍成立，于是由的唯一性及推论1得在内。例1：当适合什么条件时：。解：（法一）作带余除法由推论1：；故当时。（法二）（待定系数法）由整除的定义： 由多项式相