高数导数公式.doc

【导数】一、 导数的定义设函数在点x的某个邻域内有定义，当x在x处取得增量（点x仍在该邻域内）时，相应的函数y取得增量，如果当时，增加量与之比的极限 存在，则称此极限值为函数在点x处的导数，并称函数在x处可导，记作： 如果不存在，则称函数在x处不可导二、 左右导数1） 左导数若当时，的极限存在，则称此极限值为函数在x处的左导数，即：2） 右导数若当时，的极限存在，则称此极限值为函数在x处的右导数，即：定理1：函数在x处的可导的充要条件是，在x处左右导数均存在，且三、 可导与连续的关系若在x处可导，则在x处必定连续，可导连续，反之不对。四、 求导公式1） 基本初等函数的导数公式 （C为常数） （n为任意常数） （a0，a1）特别的： （a0，a1） 特别的： （-1x1） （-1x1） 2） 导数四则运算公式 （C为常数） 3） 复合函数求导公式如果 ，且和均可导，则符合函数也可导，其导数为五、分段函数的导数设分段函数，则求其导数的步骤：1） 当时，按导数公式求的导数当时，按导数公式求的导数2） 判断函数在分段点处的连续性，若在处不连续，则在处不可导3） 函数在点处的连续，此时计算极限和，若这两个极限存在且相等，则在处可导，否则在处不可导4） 若在处不可导，则 若在处可导，则六、隐函数的导数（即二元方程）1）若能从方程中解出，则用前面所提方法求导；若不能解出，或解出后表达式复杂，则采用下列方法。2）将二元方程两边分别对x求导，表达式中的y做中间变量，用符合函数求导公式计算，最后解出的表达式（在的表达式中允许保留y）七、对数求导法1）函数式两边分别取对数2）再用隐函数求导法求导此法多用于，多个函数的连续乘除求导数，通过取对数可达到简化计算的目的。或用于幂指函数的求导数八、高阶函数的导数在x处可导，就称的导数为的二阶导数，记作： 或 或 或 依此类推三阶导数，四阶导数，n阶导数即： （n=1,2,3，）九、导数的应用1、函数单调性设在(a,b)内可导，则 若在(a,b)内任意一点x处恒有则 在(a,b)内严格单调增加 若在(a,b)内任意一点x处恒有则 在(a,b)内严格单调减少l 利用的导数判断函数单调性的步骤：确定函数定义域求导 求时x的取值范围，此范围就是单调增加的范围，可能是一个区间么也可能是若干区间，求时x的取值范围，即单调减少的范围2、函数的极值设在点某个邻域有定义若对于该邻域内任何一个异于的点x，恒有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点若对于该邻域内任何一个异于的点x，恒有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。1）极值的必要条件：在处可导，且为函数的极值点，则必有 2）极值的第一充分条件 设在点某个邻域内可导（此时不存在，或为0） 若时，当时，则 为的极大值，为的极大值点 若时，当时，则为的极小值，为的极小值点3）极值的第二充分条件设在点存在二阶导数，且，则若，则为极大值，为极大值点若，则为极小值，为极小值点若，则用极值第一充分条件判断3、函数的凹凸性 如果在区间(a,b)内，区县弧位于曲线上每一点切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的。 如果在区间(a,b)内，区县弧位于曲线上每一点切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。1） 凹凸的充分条件设在(a,b)内二阶可导若在(a,b)内每一点x，恒有，则曲线在(a,b)内是凹的若在(a,b)内每一点x，恒有，则曲线在(a,b)内是凸的4、曲线的拐点（即凹与凸的分界点）1）拐点的充分条件设在(a,b)内有二阶导数，若在的左右两侧异号时，点（，）是的拐点，此时 若在的左右两侧异号时，点（，）不是拐点2） 求曲线的凹凸区间及拐点的步骤： 求的二阶导数求使的点以及二阶导数不存在的点x对上述x检验各点两侧的二阶导数的符号，若异号，则（x，）为拐点，若符号不同，则不是拐点使的x的取值范围是的凹区间，曲线在此区间内是凹的使的x的取值范围是的凸区间，曲线在此区间内是凸的。5、曲线的渐近线若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时，该点与某条直线的距离趋于0，此直线为曲线渐近线 水平渐近线若或则称为曲线渐近线 铅直渐近线若或则称为曲线铅直渐近线6、曲线的最大值与最小值 在a,b上有定义，若对任意恒有，则为函数在a,b上的最大值，为在a,b上的最大值点。若，则为函数在a,b上的最小值，为在a,b上的最小值点。1） 在a,b上的连续函数，求最值得步骤： 求在(a,b)内所有驻点（即方程的解）和所有导数不存在的点 比较（x为驻点或导数不存在的点），值的大小，最大者为在a,b内的最大值；最小者为在a,b