高三数学等比数列的概念及基本运算

(必修5)第二章数列,第34讲,等比数列的概念及基本运算,1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.,1.已知数列an的前n项和Sn=an-3(a为不等于零的实数),那么数列an（）,D,A.是等比数列B.当a1时是等比数列C.从第2项起是等比数列D.从第2项起是等比数列或等差数列,由Sn=an-3,可得an=a-3(n=1)(a-1)an-1(n2).当a=1时，数列-3,0,0,0，为从2项起的等差数列；当a1时，为从第2项起的等比数列.,2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a2011=（）,A,A.22010B.22011C.32010D.32011,令an的公比为q，则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6，则a1=1，q=2，所以a2011=a1q2010=22010.,3.若数列an成等比数列,则“a2010a2012=16”是“a2011=4”的（）,B,A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,由a2010a2012=16,则a2011=4，充分性不满足;由a2011=4，则a2010a2012=a20112=16.,4.等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，S3=3a3，则公式q=.,-或1,当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意.当q1时,=3a1q2,解得q=-或1(舍去).所以q=-或1.,5.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为km.,1000,设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年），则an=an-1，a1=1000，所以an=1000()n-1，a10=1000()9.,等比数列(1)等比数列定义.(nN*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由anan+2=an+12来判断.(2)等比数列的通项公式为.(3)对于G是a、b的等比中项,则G2ab,G=.,=q(非零常数),an=a1qn-1,(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q两类.当q=1时,Sn=;当q时,Sn=.,na1,或,题型一等比数列的基本运算,例1,在等比数列an中，已知a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.,利用等比数列的性质，将a2an-1转换成a1an，从而求出a1和an，再根据等比数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解.,因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.a1an=128a1+an=66,a1=64a1=2an=2an=64将代入Sn=,得q=,由an=a1qn-1,得n=6.将代入Sn=,得q=2,由an=a1qn-1，得n=6.,解方程组,解得,或,(1)对于“知三求二”问题，通常是利用通项公式与前n项公式列方程组求解，但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数列的性质解题，就可化繁为简.(2)当已知a1、q(q)、n时，用公式Sn=求和较为方便；当已知a1、q（q）、an时，则用公式Sn=求和较为方便.,题型二等比数列的判定及证明,例2,已知数列an满an+n(n为奇数）an-2n(n为偶数).(1)求a2,a3,a4,a5；(2)设bn=a2n-2,求证:数列bn是等比数列；(3)在(2)的条件下，求数列an的前100项中所有偶数项的和.,足:a1=1，an+1=,(1)因为a1=1,当n=1奇数,a2=a1+1=;当n=2偶数，a3=a2-22=-;同理，a4=，a5=-.,(2)证明：因为bn=a2n-2，所以=.又b1=a2-2=-，所以数列bn是以b1=-为首项,公比为的等比数列.,(3)由(2)得bn=(-)()n-1=-()n=a2n-2,所以a2n=2-()n,所以S=a2+a4+a100=(2-)+2-()2+2-()50=250-=99+.,本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证=q(q是非零常数）；另一种是等比中项法，即证an2=an-1an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.,题型三等比数列的最值,例3,等比数列an的首项为a1=2010，公比q=-.（1）设bn表示数列an的前n项的积，求bn的表达式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列bn有最大项？,(1)因为an=2010(-)n-1,所以bn=a1a2an=2010n(-)0+1+2+(n-1)=2010n.,(1)求出an的通项公式，再由bn=a1a2an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.,(2)因为=,所以，当n10时，=1，所以|b11|b10|b1|；当n11时，=|b12|,又因为b110，b120，所以bn的最大值是b9和b12中的最大者.因为=20103()30=2010()1031.所以当n=12时,bn有最大项为b12=201012(-)66.,等比数列的通项公式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性:a10a1100q10q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.,或,当,当,或,1.方程思想的应用.在等比数列的