第二章-弹性力学基础知识

1,第二章弹性力学基础知识,教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、应力边界条件。教学难点：两类平面问题的区分。,2,-研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。,弹性力学,定义,研究弹性体的力学，有材料力学、结构力学、弹性力学。它们的研究对象分别如下：,3,材料力学-研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。,弹性力学-研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。,结构力学-在材料力学基础上研究杆系结构（如桁架、刚架等）。,研究对象,4,：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程;在边界s上考虑受力或约束条件，建立边界条件;并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。,弹力研究方法,在研究方法上，弹力和材力也有区别：,研究方法,5,材力也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的：常常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似的处理。,第一节弹性力学的内容,研究方法,因此材料力学建立的是近似理论，得出的是近似的解答。从其精度来看，材料力学解法只能适用于杆件形状的结构。,6,弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。,弹性力学是工程结构分析的重要手段。尤其对于安全性和经济性要求很高的近代大型工程结构，须用弹力方法进行分析。,弹性力学在力学学科和工程学科中,具有重要的地位：,地位,7,任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素,从而建立计算模型,并归纳为学科的基本假定。,为什么要提出基本假定？,2.1弹性力学的基本假定,8,（1）连续性-假定物体是连续的。因此，各物理量可用连续函数表示。,弹性力学中的五个基本假定。,关于材料性质的假定及其在建立弹性力学理论中的作用：,9,（2）完全弹性-假定物体是,因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示（物理线性）。,a.完全弹性外力取消，变形恢复，无残余变形。b.线性弹性应力与应变成正比。,10,（3）均匀性-假定物体由同种材料组成。,因此，E、等与位置无关。,（4）各向同性-假定物体各向同性。,因此，E、等与方向无关。,符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。,由（3）,（4）知E、等为常数,11,（5）小变形假定-假定位移和形变为很小。,变形状态假定：,例：梁的1031,1弧度（57.3）.,a.位移物体尺寸,例：梁的挠度v梁高h.,12,小变形假定的应用：a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。,b.简化几何方程：在几何方程中，由于可略去等项,使几何方程成为线性方程。,第三节弹性力学中的基本假定变形状态假定,13,弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:,理想弹性体的小变形问题。,14,15,2.2弹性力学中的几个基本概念,基本概念：,外力、应力、形变、位移,1.外力：,体力、面力,(1)体力,弹性体内单位体积上所受的外力。,体力分布集度,（矢量）,符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影,单位：,N/m3,kN/m3,如：重力，磁场力、惯性力等,正负号：X、Y、Z的正负号由坐标方向确定。,16,(2)面力,作用于物体表面单位面积上的外力。,面力分布集度（矢量）,面力矢量在坐标轴上投影,单位：,1N/m2=1Pa(帕),1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕),正负号：的正负号由坐标方向确定。,符号：,17,例：表示出下图中正的体力和面力,18,2.应力,内力,(1)物体内部分子或原子间的相互作用力;,(2)由于外力作用引起的相互作用力.,(不考虑),(1)P点的内力面分布集度,(2)应力矢量.,-P点的应力,的极限方向,由外力引起的在P点的某一面上内力分布集度,应力分量,应力的法向分量,正应力,应力的切向分量,剪应力,单位：,与面力相同,MPa(兆帕),19,(2)一点的应力状态,通过一点P的各个面上应力状况的集合,称为一点的应力状态,x面的应力：,y面的应力：,z面的应力：,20,用矩阵表示：,其中，只有6个量独立。,剪应力互等定理,应力符号的意义(P8),第1个下标x表示所在面的法线方向；,第2个下标y表示的方向.,应力正负号的规定(P8),正应力拉为正，压为负。,剪应力坐标正面上，与坐标正向一致时为正；,坐标负面上，与坐标正向相反时为正。,21,与材力中剪应力正负号规定的区别：,规定使得单元体顺时的剪应力为正，反之为负。,在用应力莫尔圆时必须按材料力学的规定求解问题,22,例：正的应力,23,在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。,应力与面力,24,材力：以拉为正,材力：顺时针向为正,弹力与材力相比，正应力符号，相同切应力符号，不同,25,3.形变,形变物体形状的改变,（1）线段长度的改变,（2）两线段间夹角的改变。,P,B,C,A,用正（线）应变度量,用剪应变度量,（剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）,三个方向的线应变：,三个平面内的剪应变：,(1)一点形变的度量,应变的正负：,正应变：,伸长时为正，缩短时为负；,剪应变：,以直角变小时为正，变大时为负；,26,(2)一点应变状态,代表一点P的邻域内线段与线段间夹角的改变,其中,应变无量纲；,4.位移,注：,一点的位移矢量S,应变分量均为位置坐标的函数，即,S,位移分量：,ux方向的位移分量；,vy方向的位移分量；,wz方向的位移分量。,量纲：m或mm,27,28,思考题,试画出平面问题正负y面上正的应力和正的面力。2.试画出C点正的位移。,C,29,前面的主要内容：,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1）连续性假定；,（2）完全弹性假定；,（3）均匀性假定；,（4）各向同性假定；,（5）小变形假定。,（注意：应力正负号规定）,（了解这些假定的作用）,基本概念：,30,弹性力学问题：,已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,应力与体力、面力间的关系；,（2）几何学关系：,形变与位移间的关系；,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,31,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,2.3弹性力学的基本方程与求解,32,一平衡微分方程,从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性体内一点的应力分量与体力分量之间的关系。,33,取微小的六面体PABC（P点附近），,Z方向取一个单位长度。,设PA、PB面的应力为：,体力：X，Y,AC面：,BC面：,注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,对于平面问题,分析平衡方程,34,由微元体PABC平衡，得,整理得：,剪应力互等定理,35,两边同除以dxdy，并整理得：,两边同除以dxdy，并整理得：,36,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,37,三个力矩平衡方程只是再次证明剪应力的互等关系由三个投影的平衡方程则不难得到空间问题的三个平衡微分方程:,38,二几何方程,建立：平面问题中应变与位移的关系,几何方程,1.几何方程,一点的形变,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,39,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,40,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）,以两线段夹角减小为正，增大为负。,41,得到几何方程:,注意：从几何方程（2-2）可以看到，三个应变分量由两个位移分量表示，这说明三个应变分量之间要满足一定的协调关系，不能任意选取。这个协调关系称为应变协调方程：,42,2几何方程,三个应变分量与两个位移分量之间的关系,43,三物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1.各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（2-13）,其中：E为拉压弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,44,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（2-15）,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,45,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（2-16）,平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,46,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,47,3、物理方程,48,试判断下列应变分量是否可能成为弹性体中的形变,49,回顾:弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,（3）物理方程(平面应力)：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,50,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,边界分类,（1）位移边界,（3）混合边界,三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界位移边界,用us、vs表示边界S上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（2-17）,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,2.5边界条件及其分类,（2）应力边界,51,（2）应力边界条件,给定面力分量的边界应力边界,根据边界上面力与应力的平衡，可推出：,式中：,l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：,平面问题的应力边界条件,垂直x轴的边界：,垂直y轴的边界：,52,应力边界条件方程,53,（3）混合边界问题,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,54,例1:如图设在垂直于x轴的某一边界有连杆支承，写出边界条件。解：在x方向上有连杆支承，则在x方向上有(位移边界条件)，而在y方向上有面力为0，代入应力边界条件方程有，得（应力边界条件）。,位移边界条件,应力边界条件,55,位移边界条件,应力边界条件,例2：如图设垂直于x轴的某一边界是齿槽边，写出边界条件。解：在x方向有已知面力，代入应力边界条件，得（应力边界条件）；在y方向有位移边界条件(位移边界条件)。,56,例1,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y=0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x=l）：,(3),AC段（y=xtan）:,57,例2,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,58,4、空间问题边界条件(应力,位移),位移:,应力:,59,回顾:,（1）平衡方程：,（2）几何方程：,（3）物理方程(平面应力)：,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,边界分类,（1）位移边界,（3）混合边界,三类边界,（2）应力边界,60,2.6弹性力学的两类平面问题,严格地说，实际的弹性结构都是空间结构，并处于空,间的受力状态，属于空间问题。然而，对于某些特定的问,题，根据物体结构和受力情况可以简化为平面问题来处理。平,面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类,是平面应变问题。,返回,61,1.平面应力问题,(1)几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,等厚度薄板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2)受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。,62,(3)应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，根据应力边界条件方程：,因板很薄，且外力沿z轴方向不变,得：,物体内一点的应力状态：,63,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,说明：应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。注意：,物理方程,空间应变,64,2.平面应变问题,(1)几何特征,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。,约束沿长度z方向不变化。,65,(3)变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。,任一横截面均可视为对称面,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于xy平面。,平面位移问题,66,水坝,平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：,仅为xy的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,结论：,67,68,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,69,水坝,滚柱,70,两类平面问题：,平面应力问题,几何特征;,前面的主要内容：,外力、应力、形变、位移。,基本假定：,（1）连续性假定；,（2）完全弹性假定；,（3）均匀性假定；,（4）各向同性假定；,（5）小变形假定。,（注意：应力正负号规定）,（了解这些假定的作用）,基本概念：,（两类平面问题中基本方程的异同）,基本方程：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,71,2.7弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法）,以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（2）按应力求解（力法）,以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,72,一按位移求解平面问题,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,（1）,（2）,73,2.按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（2-19）,（a）,将式(a)代入平衡方程，化简有,（2-20）,74,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,（2-21）,（2-17）,75,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-20）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（2-17）,应力边界条件：,（2-21）,式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程,说明：,对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,76,二按应力求解平面问题相容方程,1.形变协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。,需寻求补充方程，,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程：,作如下运算：,77,显然有：,（2-22）,形变协调方程（或相容方程）,即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：,其中：C为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。,78,2.形变协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,（2-22）,利用平衡方程将上述化简：,（a）,将上述两边相加：,（b）,79,将(b)代入(a)，得：,将上式整理得：,（2-23）,应力表示的相容方程,（2）平面应变情形,将上式中的泊松比代为：，得,（2-24）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,（2-25）,80,3.按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,