课01-第一章复变函数1

复变函数与积分变换,课程介绍内容与进度学习方法参考书,2,复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。,3,复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。,4,复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。,5,从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。,6,内容与进度复变函数形式上与高等数学相似，皆研究函数或变量（微积分、级数等），但前者研究复函数，后者研究实函数。学习方法思维方法与学习方法不同于高等数学，注意调整适应。要突破传统“一维”思维方法，建立“二维和多维”的思维方法。参考书,7,第一章复数与复变函数,1.1复数,向量与复数,8,实数x复数纯虚数yi虚数非纯虚数x+yi,x+yi（虚数似乎不可理解）有序数组(x,y)平面上的点矢量或向量,9,一、复数的概念,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,10,2.复数:,11,例1,解,令,12,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.,13,二、复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,14,例1化简解：,15,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例2,解,16,5.共轭复数的性质:,以上各式证明略.,17,例3,解,18,例4,解,19,例5,解,20,例6,解,21,例7,证,22,例8,解,23,24,思考题,复数为什么不能比较大小？,25,思考题答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,放映结束，按Esc退出.,26,三、复平面,1.复平面的定义,27,2.复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,28,3.复数的辐角,说明,辐角不确定.,29,辐角主值的定义:,看课本p6例1.3,30,4.利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,31,5.复数和差的模的性质,32,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,6.复数的三角表示和指数表示,33,例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,34,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,35,故三角表示式为,指数表示式为,36,例2,解,(三角式),(指数式),37,例3,证,38,两边同时开方得,39,例4,证,40,两边平方,并化简得,下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,41,例6,解,所以它的复数形式的参数方程为,42,43,例7,证,44,两边同时平方,45,例8,求下列方程所表示的曲线:,解,46,化简后得,47,四、复球面,1.南极、北极的定义,48,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,2.复球面的定义,49,3.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,50,51,思考题,是否任意复数都有辐角?,52,思考题答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,放映结束，按Esc退出.,53,1.2复数的乘幂与方根,一、乘积与商,二、幂与根,54,一、乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,证,55,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,证毕,56,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,例如，,57,由此可将结论推广到n个复数相乘的情况:,58,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,证,按照商的定义,证毕,59,例1,解,60,例2,解,如图所示,61,62,二、幂与根,1.n次幂:,63,棣莫佛公式,棣莫佛介绍,推导过程如下:,2.棣莫佛公式,64,根据棣莫佛公式,65,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,66,从几何上看,67,例3,解,68,69,例4,解,70,即,71,例5,解,即,72,73,例6,解,故原方程可写成,74,故原方程的根为,75,例7,证,利用复数相等可知:,76,等式得证.,77,1.3平面点集,一、区域的概念,二、单连通域与多连通域,78,一、区域的概念,1.邻域:,说明,79,2.去心邻域:,说明,80,3.内点:,4.开集:,如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.,81,5.区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.,(1)D是一个开集；,(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,6.边界点、边界:,设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.,82,D的所有边界点组成D的边界.,说明,(1)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(2)区域D与它的边界一起构成闭区域,83,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,7.有界区域和无界区域:,84,(1)圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2)上半平面:,(3)角形域:,(4)带形域:,答案,(1)有界;(2)(3)(4)无界.,85,二、单连通域与多连通域,1.连续曲线:,平面曲线的复数表示:,86,2.光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,87,3.简单曲线:,没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).,88,换句话说,简单曲线自身不相交.,简单闭曲线的性质:,任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,89,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,90,4.单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,单连通域,多连通域,91,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,92,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,93,表示到1,1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,94,有界的单连通域.,95,例2,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,96,是多连通域.,不是区域.,97,98,单连通域.,99,需熟记的重要性质和公式（1）复数的模的性质和公式。(p.4)（2）复数的加，减，乘，除的