魏雅薇复变函数论第六章

第六章,留数理论及应用,留数理论及应用,留数的一般理论,留数的应用,南开大学魏雅薇,辐角原理,留数的一般理论,1留数的定义及基本定理,2留数的计算,3函数在无穷远点的留数,南开大学魏雅薇,留数定义及基本定理,.,级数为,在内取分段光滑正向Jordan曲线C,南开大学魏雅薇,0,0Cauchy积分定理,曲线C包含z0在其内部.考虑积分,南开大学魏雅薇,即,定义设z0是f(z)的孤立奇点,C是在z0的充分,小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向Jordan曲,线,积分,称为f(z)在z0点的留数(Residue),记做,函数f(z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以z0,为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数.,南开大学魏雅薇,定理(留数基本定理)设函数f(z)在区域D,内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向Jordan,闭曲线,则,根据留数基本定理,函数在闭曲线f(z)上的积,分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计,算问题.,南开大学魏雅薇,中心,作半径充分小的正向圆周,使得它们中的每个,都在其余的外部,而都在C的内部.,根据复合闭路定理,再由留数的定义,即得,南开大学魏雅薇,留数的计算,成Laurent级数,求,南开大学魏雅薇,证明由于z0是f(z)的1级极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,故,所以,南开大学魏雅薇,在孤立奇点处的留数.,(2)由函数极点和零点的关系的,解：(1)易知z=1和z=2都是f(z)的1级极点，故,南开大学魏雅薇,也是Q(z)的n级零点,则当nm时,z0是f(z)的n-m级,极点;而当nm时,z0是f(z)的可去奇点.”,可知z=0是g(z)的1级极点，于是,的1级极点,并且,证明由条件易知z0是f(z)的1级极点.于是,南开大学魏雅薇,处解析，且,所以是f(z)的1级极点，并且,解显然和都在,南开大学魏雅薇,证明由于z0是f(z)的m级极点，所以在z0的,某个去心邻域内的Laurent级数展开式为,那么,因此,南开大学魏雅薇,+(含有正幂的项),南开大学魏雅薇,解显然z=-1是f(z)的n级极点，所以,南开大学魏雅薇,如果z0是f(z)的m级极点，有时在法则3中取,nm来计算更为方便.,例求在z=0处的留数.,解：根据前例，,可知,z=0是f(z)的3级极点,在,法则3中取n=5,则,如果在法则4.3中取n=3,那么计算就要麻烦得多.,南开大学魏雅薇,的正向.,的1级极点，并且都在C的内部.所以,根据留数基本定理和法则2,解显然是函数,南开大学魏雅薇,极点z=3在的外部.,分别是f(z)的3级和1级极点,都在的内部.而,是的正向.,南开大学魏雅薇,于是，根据留数基本定理,南开大学魏雅薇,例求在z=0处的留数，并求,其中C是的正向.,解易见z=0是函数f(z)的本性奇点，并且,南开大学魏雅薇,例求在z=0处的留数.,解因为,所以,南开大学魏雅薇,例,解：,z=0为一级极点。,南开大学魏雅薇,例,解：,所以原式=,南开大学魏雅薇,函数在无穷远点的留数,定义设z=是f(z)的孤立奇点,即f(z)在,z=的去心邻域内解析,称积分,为f(z)在z=的留数，并记做其中,表示圆周的负向(即顺时针方向).,易见,南开大学魏雅薇,定理设函数f(z)在扩充复平面内只有有限,立奇点留数的总和等于零，即,证明取充分大的正数r,使得在,圆周的内部区域.,根据留数基本定理,南开大学魏雅薇,于是,根据无穷远点的留数定义,所以,南开大学魏雅薇,下面介绍求无穷远点留数的方法.,法则4设f(z)在内解析，则,证明设f(z)在R0,使得当时，,因此，当rR时,利用估值不等式,南开大学魏雅薇,于是,例计算积分其中,C是的正向.,f(z)有7个孤立奇点,5个1级极点在C内部,1个1级,解设在扩充复平面内,极点z=3和可去奇点z=在C外部.由f(z)在所有各,南开大学魏雅薇,只需要计算f(z)在z=3和z=的留数.,根据法则5,而,所以根据由f(z)在所有各孤立奇点留数的总和等于零可知和留数基本定理,南开大学魏雅薇,孤立奇点留数的总和等于零可知,例,南开大学魏雅薇,其他奇点.,解,根据定理与法则4:,南开大学魏雅薇,可见,与之前的方法作比较,利用无穷远点的留数更简单.,解,点外,其他奇点为,南开大学魏雅薇,则,所以,南开大学魏雅薇,留数的应用,1三角有理式的积分,2有理函数的无穷积分,3有理函数与三角函数乘积的积分,南开大学魏雅薇,两个重要工作:,(1)被积函数的转化;,(2)积分区域的转化.,利用留数理论，可以计算某些类型的定积分或,广义积分,其基本思想是把实函数的积分化为复变,函数的积分,然后根据留数基本定理,把它归结为,留数的计算问题，这样就可以把问题简化.,南开大学魏雅薇,绕行一周.于是,三角有理式的积分,考虑积分,则,令,南开大学魏雅薇,f(z)是有理函数.如果在,单位圆周内部f(z)的所有孤立奇点.,满足留数基本定理的条件.,单位圆周上分母不为零,南开大学魏雅薇,例计算积分,解积分可以转化为,在复平面内有两个零点:,南开大学魏雅薇,由于因此从而被积函数,1级极点z1.所以,在单位圆周内只有一个,南开大学魏雅薇,证明由于,例证明,在内不为零,故积分有意义.积分转化为,南开大学魏雅薇,被积函数,在复平面内有两个极点,只有1级极点在单位圆周内,于是,南开大学魏雅薇,例设m为正整数,计算积分,解因为都是以为周期的偶函,数，则,积分可以转化为,南开大学魏雅薇,被积函数在复平面内有两个,极点,只有1级极点在单位圆周内,于是,南开大学魏雅薇,有理函数的无穷积分,考虑积分,定理设函数f(z)在实轴上处处解析,在上,半平面内,除有限个孤立奇点，,处处解析,且存在常数使得当,且时，则,南开大学魏雅薇,证明显然,f(x)在上连续，且当,时，所以由比较判别法知,收敛，并且,取充分大为半径,以原点为中心作上半圆周,-R,R,取逆时针方向,使上半平面的,孤立奇点在由实轴和所围的区域内.,南开大学魏雅薇,利用留数基本定理,根据定理的假设和估值不等式,因此,南开大学魏雅薇,2.积分区域的转化:,取一条分段光滑的曲线,使其与实轴的一部,分构成一条简单闭曲线,并使f(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,这种方法称为围道积分法.,1.被积函数的转化:,当z在实轴上时,f(z)=f(x).,f(x),f(z),南开大学魏雅薇,推论设是有理函数,多项式Q(z),的次数比P(z)至少高2次,Q(z)在实轴上没有零点,且,是f(z)在上半平面的全体孤立奇点，则,证明由条件可知存在有限的极限.,于是，存在使得当时,成立,即满足以上定理的条件.,南开大学魏雅薇,例计算广义积分,解记显然f(z)满,足推论的条件，且和是f(z)在上半,平面的孤立奇点，都是f(z)的1级极点.因此，,南开大学魏雅薇,于是，根据推论,南开大学魏雅薇,例计算积分,解因为被积函数是偶函数，所以,是的4个1级极点,其中z0和z1在上半,平面，z2和z3在下半平面.于是，根据推论,南开大学魏雅薇,南开大学魏雅薇,有理函数与三角函数乘积的积分,考虑积分,Jordan引理设f(z)在区域上,解析，且当时,其中,是常数,M(r)是r的实值函数,且则对,任何实数m0,在以原点为中心,RR0为半径的逆,时针方向上半圆周CR,都有,南开大学魏雅薇,证明根据估值不等式,利用不等式可得,南开大学魏雅薇,于是,即,南开大学魏雅薇,Jordan引理的另一种形式,设f(z)在区域上解析,且当,是实常数,M(r)是r的实值函数,且则,时,其中是常数,是,对任何实数m0,其中,逆时针方向,南开大学魏雅薇,定理设是有理函数,Q(z)在,实轴上没有零点，多项式Q(z)的次数至少比P(z)的,次数高1次，是f(z)在上半平面内的所有,孤立奇点，则对任何实数m0,证明由条件可知存在有限的极限.,于是，存在使得当时,成立,即满足Jordan引理的条件.,南开大学魏雅薇,显然,f(x)在上连续，且当时,所以由比较判别法知,取充分大为半径,以原点为中心作上半圆周,-R,R,取逆时针方向,使上半平面的,孤立奇点在由实轴和所围的区域内.,收敛,于是收敛.,南开大学魏雅薇,根据留数基本定理,再由Jordan引理,于是令得,南开大学魏雅薇,例计算积分,解记则,是f(z)在上半平面的全体孤立奇点,都是1级极点.,显然f(z)满足以上定理的条件,所以,南开大学魏雅薇,其实部(虚部为零)就是所要求的积分，即,南开大学魏雅薇,例计算积分,解记则是f(z)在上半,平面内惟一的孤立奇点,且是1级极点.显然f(z)满,足以上定理的条件,所以,南开大学魏雅薇,Q(z)的次数至少比P(z)的次数高1次.如果,是f(z)在上半平面内的所有孤立奇点，是,f(z)在实轴上的所有孤立奇点，且都是1级极点,则,定理设是有理函数,多项式,当广义积分收敛时，,南开大学魏雅薇,证明不妨设实轴,上只有一个1级极点,取R0充分大，r0充,分小,分别为半径作圆,周CR和Cr(如图),与实轴一起围成区域D,使得f(z),在上半平面的奇点位于区域D的内部,位于D外部.,根据留数基本定理,南开大学魏雅薇,显然,而且f(z)满足Jordan引理的条件，因此,下面考虑,南开大学魏雅薇,由于是的1级极点，则在的某个,去心邻域内,可以展开成Laurent级数,其中在的邻域内有,界且解析,即存在M0,使得故,南开大学魏雅薇,因此，,南开大学魏雅薇,例设m0,证明,证明记则f(z)在复平面上只有,一个1级极点z=0,且在实轴上，故由以上定理,南开大学魏雅薇,辐角原理,1辐角原理,2儒歇定理,3零点的分布,南开大学魏雅薇,辐角原理,对数留数与辐角原理，形如的积分称为对数留数,南开大学魏雅薇,引理（1）设函数f(z)在分段光滑Jordan曲线C,及其内部解析，且在C上无零点，则,其中N表示f(z)在C的内部零点的总数(约定k级零,点按k个零点计算).,南开大学魏雅薇,回顾：设z=z0是解析函数f(z)的m级零点，则,z=z0是的1级极点，并且,证明因为不恒为零的解析函数的零点是孤立,零点,所以f(z)在C的内部只有有限个零点,记为,它们的级数分别是,南开大学魏雅薇,由回顾知，都是的1级极,点，且,于是，由,南开大学魏雅薇,设为的级极点，则必为函数的一级极点。且,引理(2),南开大学魏雅薇,证明：设b为f(z)的m阶极点，则在点b的去心邻域内有,其中h(z)在点b的邻域内解析，且,。由此易得，,而,在点b的邻域内解析。故b必为,的一阶极点，且,南开大学魏雅薇,定理设是一条围线，满足：（1）在的内部除可能有极点外是解析的。（2）在上解析且不为零。则有,南开大学魏雅薇,证明：回顾之前结论若(1)C是一条周线,f(z)在C的内部亚纯，且连续到C(2)f(z)沿C不为零，则函数f(z)在C的内部至多只有有限个零点和极点。由此可知，函数f(z)在C的内部至多只有有限个零点和极点。设,为f(z)在C内部的不同零点，其阶相应,为f(z)在C内部的不同极点，,的为,；,其阶相应的为,，则根据引理，,在C的内部及C上除去C内部有一阶极点,南开大学魏雅薇,外均解析，由留数定理及引理可得,，及,南开大学魏雅薇,设是一条围线，满足：（1）在的内部除可能有极点外是解析的。（2）在上解析且不为零。则有,定理（辐角定理）,南开大学魏雅薇,设C是一条周线，函数f(z)和g(z)都满足条件：,(1)在C内部解析,并连续到C,则在C的内部和的零点个数相等，即,定理（Rouche定理）,(2)且在C上,南开大学魏雅薇,证明：由假设f(z)及g(z)在C的内部解析，且连续到C,在C上有,由此，f(z)及f(z)+g(z)都满足以上定理的条件，并,由此，f(z)及f(z)+g(z)都满足以上定理的条件，并这两个函数在C的内部解析，由辐角定理，只需证明,由于,南开大学魏雅薇,根据条件(2),当z沿C变动时，,借助函数,将z平面上的周线C变成w平面上的闭曲线L。于是L全在圆周|w-1|=1的内部，而原点w=0又不,在此圆内部，即w不围其原点绕行，故有,南开大学魏雅薇,例设次多项式合条件则在单位圆内有个零点,南开大学魏雅薇,证：取易验证在单位圆周上，有,南开大学魏雅薇,依儒歇定理知在单位圆内的零点，与在单位圆一样多，即个。,南开大学魏雅薇,例求在内根的数.,解令在上,即在上，有,由知,和在内的零点个数相等,而f(z),在内只有一个3级零点z=0,所以,在内有三个零点,即方程,在内有三个根.,南开大学魏雅薇,例如果证明方程在单位圆,内有n(n为正整数)个根.,证明令在单位圆周上,即在单位圆周上,有,由知,和在单位圆内零点个数相等,而f(z),在单位圆内只有一个n级零点z=0,所以,在单位圆内有n个零点,即方程在单位圆内,有n个根.,南开大学魏雅薇,例试证：方程的根全在圆环内。,南开大学魏雅薇,证：由上例知方程在无根。又在圆周上故由儒歇定理，方程的7个根全在环内，,南开大学魏雅薇,留数,计算方法,留数定理,留数在定积分计算中的应用,本章内容总结,零点的分布,儒歇定理,辐角原理,对数留数,南开大学魏雅薇,KarlWeierstrass,(181