2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示.doc

2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示1 填空题（共17小题）1（2014北京）已知向量，满足|=1，=（2，1），且+=（R），则|=_2（2014临汾模拟）已知向量，且，则的最小值为_3（2014泰州模拟）如图，直线l1，l2交于点A，点B、C在直线l1，l2上，已知CAB=45，AB=2，设=，点P为直线l2上的一个动点，当=_时，|2+|的最小值是34（2013杭州模拟）已知非零向量满足|=1，与的夹角为120，则|=_5（2012盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，则向量与的夹角大小为_6（2012江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=_7（2012安徽模拟）已知向量、的夹角为，且，则向量的模等于_8（2012荔湾区模拟）已知|=|=|=2，则|2|的值为_9（2011江苏模拟）已知向量=（x，3），=（2，1），若，则实数x的取值范围是_10（2011黄冈模拟）不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则=_11（2010镇江模拟）设向量与的夹角为，则sin=_12（2014四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=_13（2014盐城二模）已知|=1，|=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为_14（2013宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为_15（2014烟台三模）设，x1，2），且，则函数的最大值为_16（2014浙江二模）设向量=（1，cos），=（，tan），（，），且，则=_17已知=（1，4），=（m，n），且m0，n0，若=9，则的最小值为_二解答题（共13小题）18（2014南通一模）设向量=（cos，sin），=（cos，sin），其中0（1）若，求的值；（2）设向量=，且+=，求，的值19（2012南京二模）设向量=（2，sin），=（1，cos），为锐角（1）若=，求sin+cos的值；（2）若，求sin（2+）的值20在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，=（a+c，b），=（ca，bc），且，（1）求A的大小；（2）若B=，求的值21已知=（t，2），=（t3，t+3）（1）设f（t）=，求f（t）的最值；（2）若与的夹角为钝角，求t的取值范围22（2011杭州一模）已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由23（2010杭州一模）已知点P（2cos，2sin）和Q（ a，0 ），O为坐标原点当（0，）时（）若存在点P，使得OPPQ，求实数a的取值范围；（） 如果a=1，求向量与的夹角的最大值24已知a、b都是非零向量，且（+3）与（75）垂直，（4）与（72）垂直，求与的夹角25已知向量=（1，2），=（2，2），（1）设，求（）（2）若与垂直，求的值（3）求向量在方向上的投影26已知向量（1）求；（2）若，求k的值27已知，且与的方向相同，求的取值范围28（2011江苏模拟）在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，2sinA），=（sinA，1+cosA），满足，b+c=a（）求A的大小；（）求sin（B+）的值29已知点A、B、C的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cos，sin）（1）若|=|，（，）求角的值；（2）若，求的值30已知向量，（1）求； （2）求与的夹角的余弦值；（3）求向量的坐标 （4）求x的值使与为平行向量2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示参考答案与试题解析一填空题（共17小题）1（2014北京）已知向量，满足|=1，=（2，1），且+=（R），则|=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：设=（x，y）由于向量，满足|=1，=（2，1），且+=（R），可得，解出即可解答：解：设=（x，y）向量，满足|=1，=（2，1），且+=（R），=（x，y）+（2，1）=（x+2，y+1），化为2=5解得故答案为：点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题2（2014临汾模拟）已知向量，且，则的最小值为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用向量垂直与数量积的关系可得x，再利用向量模的计算公式即可得出解答：解：，=2x2=0，解得x=1=（2，1）+（1，2）=（2+，21）=，当且仅当=0时取等号因此的最小值为故答案为：点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式，属于基础题3（2014泰州模拟）如图，直线l1，l2交于点A，点B、C在直线l1，l2上，已知CAB=45，AB=2，设=，点P为直线l2上的一个动点，当=1或5时，|2+|的最小值是3考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：如图所示，建立直角坐标系设C（c，c），P（x，x）由=，可得=（c+2，c）可得=（c3x+2+4，c3x）设c3x=t，化为=（t+2+4，t）由向量数量积的性质及其题意可得可得=，解出即可解答：解：如图所示，建立直角坐标系AB=2，B（2，0）设C（c，c），P（x，x）=，=（c+2，c）又=（2x，x）=（c3x+2+4，c3x）设c3x=t，则=（t+2+4，t）=，当且仅当t+2=0时取等号22+8+8=18，化为2+45=0解得=1或5当=1或5时，|2+|的最小值是3故答案为：1或5点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、二次函数的单调性、换元法等基础知识与基本技能方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题4（2013杭州模拟）已知非零向量满足|=1，与的夹角为120，则|=1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：把平方，并代入已知数据易得+2=0，解之即可解答：解：由题意可得=1+=3，即+2=0，分解因式可得（1）（+2）=0，解得=1，或=2（舍去）故答案为：1点评：本题考查向量的数量积的应用，涉及模长的求解，属基础题5（2012盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，则向量与的夹角大小为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：设向量与的夹角为，可得=2cos，再根据，得2=2cos1=0，最后结合0，可得向量与的夹角的大小解答：解：设向量与的夹角为，=cos=12cos=2cos，=2=0，得2cos1=0，所以cos=，0，=故答案为：点评：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量，求与的夹角大小，着重考查了平面向量的数量积运算和向量的夹角等知识，属于基础题6（2012江苏一模）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，则=0考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题；平面向量及应用分析：根据条件求出然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出解答：解：=22（3，1）=（4，2）=（1，2）（4，2）=4+4=0故答案为0点评：本题主要考查了平面向量的数量积，属常考题，较易解题的关键是求出以及熟记平面向量数量积的坐标计算公式！7（2012安徽模拟）已知向量、的夹角为，且，则向量的模等于考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意，首先由数量积公式可得，又由|2=（）2=2+22，代入数据可得|2的值，开方可得|2的值，即可得答案解答：解：，向量、的夹角为，则=|cos=1，|2=（）2=2+22=3，则|=；故答案为点评：本题考查数量积的应用，求|时，一般用公式|2=2平方法求模是常用思路8（2012荔湾区模拟）已知|=|=|=2，则|2|的值为2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：由向量数量积的运算性质，结合题意可算出=2，从而得到|2|2=12，得到|2|的值解答：解：|=2，|2=2+=4又|=|=2，=2，|2|2=44+=168+4=12因此，|2|=2故答案为：2点评：本题在已知两个向量模和它们差的模的情况下，求另一个向量的模着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角等公式，属于基础题9（2011江苏模拟）已知向量=（x，3），=（2，1），若，则实数x的取值范围是考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：由可得且向量不能共线根据向量的数量积及向量平行的坐标表示可得2x+30且x230，从而可求解答：解：且向量不能共线2x+30且x230且x6故答案为：x|x点评：本题主要考查了由向量的夹角的范围确定向量的坐标的范围，此类问题的容易出错的点是漏掉“向量不能共线”的限制10（2011黄冈模拟）不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则=2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意，由于三个平面向量两两所成的角相等可得任意两向量的夹角是120，由于三个向量的模已知，可采取平方的方法求三个向量的和向量的模解答：解：由题意三个平面向量两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是120又=2故答案为2点评：本题考查求平面向量的模，解题的关键是理解模的定义及向量数量积的运算律，本题的难点是用平方法求和与差的向量的模，平方法是求向量的模的常用方法11（2010镇江模拟）设向量与的夹角为，则sin=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意，易得的坐标，进而由向量模的计算可得、的模，再根据向量的数量积的计算，可得cos，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案解答：解：根据题意，由，可得，=（+3）=（1，1），则|=，|=，cos=，则sin=点评：本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角12（2014四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），且与的夹角等于与的夹角，则m=2考点：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出解答：解：向量=（1，2），=（4，2），=m+（mR），=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）=m+4+2（2m+2）=5m+8，=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20，=2与的夹角等于与的夹角，=，化为5m+8=4m+10，解得m=2故答案为：2点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题13（2014盐城二模）已知|=1，|=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为60考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由题意，先求出两个向量与模与两向量的数量积，再代入公式求出两向量的夹角余弦值即可解答：解：由题意得|=|+|=，=+=cos，=则与的夹角大小为60，故答案为：60点评：本题考查利用数量积求向量的夹角，熟记公式是正确做题的关键14（2013宿迁一模）已知双曲线，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B，F分别是双曲线的左顶点和左焦点若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的简单性质菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用双曲线的简单性质求出A、C、B、F各个点的坐标，再利用两个向量的夹角公式以及=2，求出cos= 的值解答：解：由题意可得由题意得A（0，b），C（0，b），B（a，0），F（c，0），=2=（a，b），=（c，b） 设与的夹角为，则cos=，故答案为 点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，两个向量的夹角公式，属于中档题15（2014烟台三模）设，x1，2），且，则函数的最大值为0考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；函数的值域菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；平面向量及应用分析：先根据数量积判断两个平面向量的垂直关系，得出x与a的关系式，再将其代入函数f（x）的解析式，化简后画出函数的简图，数形结合得出函数的单调性，从而求出函数的最大值解答：解：，且，x2+2（ax）=0，a=，x1，2），则函数=，故f（x）=，x1，2），作出其函数的图象，如图所示由图可得，当x=1时，函数的最大值为0故答案为：0点评：本小题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于难题16（2014浙江二模）设向量=（1，cos），=（，tan），（，），且，则=考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：直接由向量垂直的坐标表示列式求得，然后结合角的范围求得的值解答：解：=（1，cos），=（，tan），且，1（）+cossin，得，故答案为：点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查由三角函数的值求角，关键是注意角的范围，是基础题17已知=（1，4），=（m，n），且m0，n0，若=9，则的最小值为1考点：平面向量数量积坐标表示的应用；基本不等式菁优网版权所有专题：函数的性质及应用；平面向量及应用分析：根据数量积求出m、n的关系，再基本不等式即可求最小值解答：解：=（1，4），=（m，n），且m0，n0，=m+4n=9，m=94n，其中0n；=+=，设y=，y=，令3（9n4n2）（93n）（98n）=0，整理，得4n224n+27=0，解得n=，或n=（不满足题意，舍去）；当n=时，y取得最小值是+=+=1；故答案为：1点评：本题考查了平面向量的数量积的应用以及求函数最小值的问题，是易错题二解答题（共13小题）18（2014南通一模）设向量=（cos，sin），=（cos，sin），其中0（1）若，求的值；（2）设向量=，且+=，求，的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量相等和诱导公式、三角函数的单调性即可得出解答：解：（1）=（cos，sin），=（cos，sin），|=1，|=1 ，=0于是=2故（2）+=，由此得cos=cos（），由0，得0，又0，故= 代入，得而0，点评：本题考查了数量积的运算性质、向量相等和诱导公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题19（2012南京二模）设向量=（2，sin），=（1，cos），为锐角（1）若=，求sin+cos的值；（2）若，求sin（2+）的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简，得sincos=再由同角三角函数的平方关系，可得（sin+cos）2的值，结合为锐角，开方即得sin+cos的值；（2）根据两个向量平行的充要条件列式，化简得tan=2再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出sin2和cos2的值，最后根据两角和的正弦公式，可得sin（2+）的值解答：解：（1）=2+sincos=，sincos= （2分）（sin+cos）2=1+2sincos=又为锐角，sin+cos=（舍负） （5分）（2），2cos=sin1，可得tan=2 （7分）sin2=2sincos=，cos2=cos2sin2=（11分）所以sin（2+）=sin2+cos2=+（ ）= （14分）点评：本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题20在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，=（a+c，b），=（ca，bc），且，（1）求A的大小；（2）若B=，求的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）利用数量积建立条件关系，利用余弦定理即可得到结论（2）利用正弦定理即可得到结论解答：解：（1）=（a+c，b），=（ca，bc），且，=（a+c，b）（ca，bc）=c2a2+b2bc=0，即c2+b2a2=bc，cosA=，即A=（2）若B=，则由正弦定理得=点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用数量积公式进行化简是解决本题关键21已知=（t，2），=（t3，t+3）（1）设f（t）=，求f（t）的最值；（2）若与的夹角为钝角，求t的取值范围考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：（1）利用数量积运算和二次函数的单调性即可得出；（2）由于与的夹角为钝角，可得，解得即可解答：解：（1）=（t，2），=（t3，t+3）f（t）=t（t3）2（t+3）=t25t6=，当t=时，f（t）取得最小值，无最大值（2）与的夹角为钝角，解得1t6且t1t的取值范围是（1，1）（1，6）点评：本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、向量的夹角公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题22（2011杭州一模）已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t解答：解：（1）因为a=，所以=（），则=所以当时，取到最小值，最小值为（7分）（2）由条件得cos45=，又因为=，=，（）（）=5t，则有=，且t5，整理得t2+5t5=0，所以存在t=满足条件（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模本题的易错点在于（）（）=5t中的t5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t523（2010杭州一模）已知点P（2cos，2sin）和Q（ a，0 ），O为坐标原点当（0，）时（）若存在点P，使得OPPQ，求实数a的取值范围；（） 如果a=1，求向量与的夹角的最大值考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：计算题；数形结合分析：（）先求出，的坐标代入x1x2+y1y2=0即可求出实数a的取值范围；（）把a=1代入，的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cos=即可求解解答：解：（）=（2cos，2sin） =（a2cos，2sin），由OPPQ，得=0，由（0，），得cos=，a2或a2（7分）（）当a=1时，当，即时，取等号又cos在（0，）上是减函数，（8分）点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cos=即可求解24已知a、b都是非零向量，且（+3）与（75）垂直，（4）与（72）垂直，求与的夹角考点：数量积表示两个向量的夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用两个向量垂直，数量积等于0，得到两个向量间的关系，代入两个向量的夹角公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角的大小解答：解：由已知，（+3）（75）=0，（4）（72）=0，即 7+1615=0 ，730+8=0 ，得2=，代入式得=，cos=，故与的夹角为60点评：本题考查两个向量垂直的性质以及两个向量的夹角公式的应用，属于中档题25已知向量=（1，2），=（2，2），（1）设，求（）（2）若与垂直，求的值（3）求向量在方向上的投影考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的含义与物理意义菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）利用向量的坐标运算法则求出的坐标；利用向量的数量积公式求出（2）利用向量垂直的充要条件：数量积为0，列出方程求出（3）利用向量数量积的几何意义得到一个向量在另一个向量方向上的投影公式为两个向量的数量积比上第二个向量的模解答：解：（1）=（1，2），=（2，2），=（4，8）+（2，2）=（6，6）=2626=0，（）=0=0（2）=（1，2）+（2，2）=（2+1，22），由于与垂直，2+1+2（22）=0，=（3）设向量与的夹角为，向量在方向上的投影为|a|cos|cos=点评：本题考查向量的坐标运算法则、考查向量的数量积公式、考查两个向量垂直的充要条件、考查利用向量的数量积公式求一个向量在另一个向量方向上的投影26已知向量（1）求；（2）若，求k的值考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：（1）由向量垂直的充要条件可得y的值，进而由模长公式可得；（2）由（1）可得式中向量的坐标，由向量平行的充要条件可得k的值解答：解：（1）由题意可得：，由=0可得33（2y3）=0，解得y=2（3分）=（1，2），由模长公式可得（6分）（2）由（1）知：=（1，2），（9分），16（k+2）+2（2k6）=0，解得k=1（12分）点评：本题考查向量的模长和平行垂直的充要条件，属基础题27已知，且与的方向相同，求的取值范围考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理和数量积运算即可得出解答：解：，点评：熟练掌握向量共线定理和数量积运算是解题的关键28（2011江苏模拟）在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，2sinA），=（sinA，1+cosA），满足，b+c=a（）求A的大小；（）求sin（B+）的值考点：平面向量数量积坐标表示的应用；正弦定理菁优网版权所有专题：计算题分析：（I）根据所给的向量的坐标和向量平行的条件，写出向量平行的充要条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果（II）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和b+c=a根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果解答：解：（）由，得