六 时代之星第三讲变换与操作.doc

南京创新专修学校2012“时代之星”数学探索能力与创新素质比拼（六年级）第三讲 变换与操作一、专题精析例1 在一张44的方格纸上表有16个字母，将它平放在桌上，然后按下列顺序对折4次，（1）将下半截盖住上半截，（2）将半上截盖住下半截，（3）将左半截盖住右半截，（4）将右半截盖住左半截，这时，从上往下数的第6层上是什么字母？答案：M 方法一动手实际操作；方法二倒推例2 用8张完全相同的正方形纸，叠放在一张边长是它2倍的正方形 桌面上，标有字母A的纸片是最后一次（第8次）放上去的。那么标有B字母的正方形纸片是第几次放上去的？答案：第五次 倒推例3 黑板上写有1、2、3、2012、2013这2013个自然数，任意擦去若干个数，并添上被擦去的这些数的和被7除的余数，称为一次操作。如果经过若干次操作后，黑板上还剩下两个数，一个是987，那么另一个数是几？答案：最简单的想法是第一次操作就擦去了2012个数（除987外），（1+2013）20132987=2027091987=20261043（mod7）所以写上的数是3。例4 如图有一块直角木板，如何用一刀将它分为面积相等的两部分？有几种分法？答案：先分成两块长方形，取出每个长方形的中心点，连接中心点即可，有3种分法例5 在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个换成其他两个数的和减1，这样连续操作下去，最后得到15、35、49。如果要求原来写的三个自然数的和尽量小，那么它们是哪三个自然数？答案：倒推，15、35、4915、35、2115、7、2115、7、93、7、93、7、53、3、53、3、11、3、1例6 150号运动员按顺时针方向围成一圈，从1号起按“1、2”报数，报到1的留下，报到2的离开，这样一直转圈报下去，最后只剩下一个人，此人原来是几号？答案：当圆圈上正好有32个人时，重新编号后留下的就是最后一个32号，因此要去掉50-32=18人，当去掉18人时，正好去到35号，留下36号，接着要去37号，此时重新编号37号就相当于1号，36号就相当于32号，所以最后留下的就是36号二、巩固训练1将右图分成两块，然后拼成一个正方形。答案：如图250枚棋子围成一个大圈，依次编上号码1、2、3、50，按顺时针方向，每隔一枚就拿掉一枚，直到剩下最后一枚棋子为止。如果剩下的这枚棋子的号码是39号，那么第1个被取走的棋子的号码是多少？答案：借鉴例6可知若第一个拿走的是1号，则留下的为36号，现在留下的是39号，往后挪了3位，说明第一个取走的不是1号而是4号3写出一个自然数A，把A的十位数字与百位数字相加，再乘以个位数字，把所得的积的个位数字续写在A的后面，称为一次操作。如果开始时A=1999，对A进行一次操作后得到19992，再对19992进行一次操作得到199926，如此进行下去直到得出一个2013位数为止，这个2013位数的各位数字之和是几？答案：操作后可以发现规律：199926686460000所以结果为664在圆周上写上数1、2、4，然后在每两个相邻的数之间写上它们的和（于是得到6个数：1、3、2、6、4、5）。再重复这一过程5次，圆周上共出现192个数，则这些数的和是多少？答案：每次结果为前一次和的3倍，所以结果为（1+2+4）333333=51035黑板上写着1、2、3、98、99、100这100个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和加1。例如擦掉9和13，要写上23。经过几次操作后，黑板上就会只剩下一个数？这个数是几？答案：每擦一次少一个数，总和增加1，原来有100个数，最后剩一个，少了99个，所以擦了99次，总和增加了99，所以最后那个数十5050=99=514966个自然数的和为100，对这6个数进行如下变换：找出其中一个最大数和一个最小数，求出两个数的平均数，如果平均数是整数，那么这个最大数和最小数均用此平均数代替；如果平均数不是整数，那么分别用这个平均数相邻的两个整数（过剩近似值与不足近似值）来代替。例如，6个数为7，7，13，19，20，34，最大数34与最小数7的平均值为20.5不是整数，则34与7就分别用21与20代替，原来的6个数变为20，7，13，19，20，21。 将上述变换连续进行下去，直到这些数不再发生变化为止，问最后得到的是哪6个数？答案：16、16、17、17、17、17三、延伸拓展1对自然数n，作如下操作：各位数字相加，得到另一个自然数，若新的自然数为一位数，那么操作停止；若新的自然数不是一位数，那么对新的自然数继续上面的操作，直到得到一位数为止。现在对1、2、3、2013如此操作，最后得到的一位数是7的数有多少个？答案：最后操作得到7的数就是原来除以9余7的数，而在1-2013中除以9余7的数共有223个，所以最后得到7的数共有223个2一个长方体，它的长，宽和高分别为a厘米，b厘米，c厘米（a、b、c均大于等于2）。将它的表面涂上红色，然后切割为棱长为1厘米的小正方体，问在这些小正方体中，只有1面涂红色，两面涂红色，三面涂红色和无色的各有多少个？答案：一面a2b2a2c2b2c2 2 两面a2b2c2 4 三面8个无色a2b2c23在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下的运算：如果输入的数是偶数，就把它除以2；如果输入的数是奇数，则将它加上3。同样的运算算了8次，得出的结