系统仿真导论复习.doc

概述01 系统、模型与仿真011 系统系统定义为“按照某些规律结合起来，互相作用、互相依存的所有实体的集合或总和”。一个理发店定义为一个系统。实体有服务员和顾客。顾客按某种规律到达，服务员根据顾客要求，按一定程序为其服务，服务完毕后顾客离去。在该系统中，顾客和服务员相互作用，顾客到达模式影响着服务员的工作忙闲状态和理发店的排队状态，而服务员的多少和服务效率也影响顾客接受服务的质量。实现电机调速的各个实体定义为一个系统，称之为电动机调速系统。系统包括电动机、测速元件、比较元件以及控制器等，他们相互作用以实现按给定要求调节电动机的速度。在定义一个系统时，首先要确定系统的边界。边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以外的环境的作用称为系统的输出。描述系统三要素，即实体、属性、活动。实体确定了系统的构成，也确定了系统的边界，属性也称为描述变量，描述每一实体的特征；活动定义了系统内部实体之间的相互作用，从而确定了系统内部发生变化的过程。012 模型为了研究、分析、设计和实现一个系统，需要进行试验。试验的方法基本上可分为两大类：一种是直接在真实系统上进行，另一种是先构造模型，通过对模型的试验来代替或部分代替对真实系统的试验。传统上大多采用第一种方法，随着科学技术发展，尽管第一种方法在某些情况下仍然是必不可少的，但第二种方法日益成为人们更为常用的方法，主要原因在于：1） 系统还处于设计阶段，真实的系统尚未建立，人们需要更准确地了解未来系统的性能，只能通过对模型的试验来了解；2） 在真实系统上进行试验可能会引起系统破坏或发生故障，例如对一个处于运行状态的化工系统或电力系统进行没有把握的试验将会冒巨大的风险；3） 需要进行多次试验时，难以保证每次试验的条件相同，因而无法准确判断试验结果的优劣；4） 试验时间太长或费用昂贵。因此，在模型上进行试验日益为人们所青昧，建模技术也随之发展起来。模型分成两大类，一类是物理模型，就是采用一定比例尺按照真实系统的样子制作，沙盘模型就是物理模型的典型例子。另一类是数学模型，就是用数学表达式形式来描述系统的内在规律。系统模型的一般描述：一个系统可以定义为如下集合结构：S=（T，X，Q，Y，）其中：T：时间基，描述系统变化的时间坐标，它为整数称为离散时间系统，为实数则称为连续时间系统。X：输入集，代表外部环境对系统的作用。通常X被定义为Rn，代表n个实值的输入变量：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式Q：内部状态集Y：输出集，系统通过它作用于环境：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的：输出函数在实际建模时，要求不同，模型描述的详细程度也不同，具体有：1） 行为水平，也称输入输出水平，该水平的模型将系统视为一个黑盒，在输入信号的作用下，只对系统的输出进行测量2） 分解结构水平，将系统看成若干个黑盒连接起来，定义每个黑盒的输入和输出，以及它们相互之间的连接关系3） 状态结构水平，不仅定义系统的输入输出，还定义系统内部的状态集及状态转移函数。人们经过长期研究和应用，创造适应不同对象研究分析要求的模型描述形式，总结后模型形式分类如表0。1。表0。1 模型分类 模型描述变量的轨迹模型的时间集合模型形式变量范围连续离散空间连续变化模型空间不连续变化模型连续时间模型偏微分方程常微分方程离散（变化）模型离散时间模型差分方程有限状态机马尔可夫链连续时间模型活动扫描事件调度进程交互013 仿真1961年, 仿真指在实际系统尚不存在的情况下对于系统或本质的实现.1978年, 仿真用能代表所研究的系统的模型作实验1982年, 所有支持模型建立与模型分析的活动即为仿真活动1984年, 给出仿真的基本概念框架”建模实验-分析”的基础上,提出“仿真是一种基于模型的活动”的定义。综上所述，系统、模型、仿真三者之间有密切关系。 系统是研究的对象，模型是系统的抽象，仿真是通过对模型的实验到达研究系统的目的。现代仿真技术均是在计算机支持下进行的，因此系统仿真也称计算机仿真。系统仿真有三个基本活动，即系统建模、仿真建模和仿真实验，联系三个活动的是系统仿真的三要素，即系统、模型、计算机（软件和硬件）。 图0。1计算机仿真三要素及三个基本活动传统上，“系统建模”这一活动属于系统辩识技术范畴，技术仿真则侧重在“仿真建模”，即针对不同形式的系统模型研究其求解算法，使其在计算机上得以实现。至于“仿真试验”这仪活动，往往注重“仿真程序”的检验。在系统建模方面，除了传统的基于物理学、化学、生物学、社会学等基本定律及系统辩识等方法外，现代仿真技术提出了用仿真方法确定实际系统的模型。在仿真建模方面，除了适应计算机软硬件环境的发展而不断研究和开发出许多新算法和新软件外，现代仿真技术采用模型与实验分离技术，即模型的数据驱动。任何一个仿真问题分为两部分：模型和实验。现代仿真技术和传统仿真技术定义是一致的，区别在于：现代仿真技术将模型分为参数模型和参数值两部分，参数值属于实验框架的内容之一。这样，模型参数与其对应的参数模型分离开来。在仿真实验方面，现代仿真技术将实验框架与仿真运行控制区分开来。一个实验框架定义一组条件，包括模型参数、输入变量、观测变量、初始条件、终止条件、输出说明。除此之外，与传统仿真区别在于，将输出函数的定义也与仿真模型分离开来。总结后现代仿真技术的概念框架如图。0。2现代仿真技术的概念框架在这个框架中，“仿真问题描述”对应于图1中“仿真建模”，“行为产生”对应于图1中的“仿真试验”，“模型行为及其处理”相对应输出处理。02 系统仿真的类型比较典型的系统仿真分类方法有：根据模型的种类分类、根据仿真所采用的计算机类型分类、根据仿真时钟与实时时钟的比例关系分类、根据系统模型的特性分类。1、 根据模型的种类分类根据模型的种类不同，系统仿真分为三种：物理仿真、数学仿真和半实物仿真。1) 按照真实系统的物理性质够造系统的物理模型，并在物理模型上进行实验的过程称为物理仿真。物理仿真优点直观形象，缺点模型改变困难，实验限制多，投资较大2) 对实际系统进行抽象，并将其特性用数学关系加以描述而得到系统的数学模型，对数学模型进行实验的过程称为数学仿真。计算机技术的发展为数学仿真创造了环境，使得数学仿真变得方便、灵活、经济，因而数学仿真也称为计算机仿真。数学仿真的缺点是受限于系统建模技术，系统的数学模型不易建立。3) 半实物仿真，即将数学模型和物理模型甚至实物联合起来进行实验。对系统中比较简单的部分或对其规律比较清楚的部分建立数学模型，并在计算机上加以实现，而对比较复杂的部分或对规律尚不十分清楚的系统，其数学模型的建立比较困难，则采用物理模型或实物。仿真时将两者连接起来完成整个系统的实验。2、根据仿真计算机类型分类根据使用的仿真计算机类型将仿真分为3类：模拟计算机仿真、数字计算机仿真和数字模拟混合仿真。1) 模拟计算机仿真本质上是一种通用的电气装置，将系统数学模型在模拟机上加以实现并进行实验称为模拟机仿真。是一种并行仿真。2) 数字计算机仿真将系统数学模型用计算机程序加以实现，通过运行程序来得到数学模型的解，从而达到系统仿真的目的。是一种串行仿真。3) 数字模拟混合仿真将系统模型分为两部分，一部分放在模拟计算机上运行，另一部分放在数字计算机上运行，两个计算机之间利用模数和数模转换装置交换信息。随着数字计算机技术发展，计算速度和并行处理能力的提高，模拟计算机仿真和数字模拟混合仿真已经逐步被全数字仿真取代，因此今天的计算机仿真一般指的是数字计算机仿真。3、 根据仿真时钟与实际时钟的比例关系分类实际动态系统的时间基称为实际时钟，而系统仿真时所采用的时钟称为仿真时钟。根据仿真时钟与实际时钟的比例关系，系统仿真分类如下：（1） 实时仿真：仿真时钟与实际时钟完全一致，模型仿真的速度和实际系统运行的速度相同。当被仿真的系统中存在物理模型或实物时，必须进行实时仿真，有时也称在线仿真。（2） 亚实时仿真：仿真时钟慢于实际时钟，模型仿真的速度慢于实际系统运行的速度。当对仿真速度要求不苛刻的情况下均是亚实时仿真，有时也称离线仿真。（3） 超实时仿真：仿真时钟快于实际时钟，模型仿真的速度快于实际系统运行的速度。4、 根据系统模型的特性分类从仿真实现的角度看，系统模型特性可分为两大类，一类为连续系统，另一类为离散事件系统。相应地系统仿真技术也分为两大类：连续系统仿真和离散事件系统仿真。（1） 连续系统仿真：连续系统是指系统状态随时间连续变化的系统。连续系统的模型按其数学描述可分为：（1）集中参数系统模型，一般用常微分方程描述（2）分布参数系统模型，一般用偏微分方程描述。（2） 离散事件系统仿真：离散事件系统是指系统状态在某些随机时间点上发生离散变化的系统。它与连续系统的主要区别在于：状态变化发生在随机时间点上。这种引起状态变化的行为称为事件，因而这类系统是由事件驱动的；事件往往发生在随机时间点上，也称随机事件，离散事件系统一般具有随机特性；系统的状态变量往往是离散变化的。03 系统仿真的一般步骤系统仿真的一般步骤图3描述。 03 仿真的一般步骤系统仿真的一般步骤：1. 针对实际系统，建立系统模型。包括建模与形式化、形式建模、可信性检验等。根据研究和分析的目的，确定模型的边界，对模型进行形式化处理，得到计算机仿真要求的数学描述，模型可信性检验是仿真的基础。2. 仿真建模。根据系统的特点和仿真的要求选择合适的算法。3. 程序设计。将仿真模型用计算机能执行的程序来描述。4. 程序检验。一方面是程序调试，更重要是检验所选仿真算法的合理性。5. 对模型进行实验，根据仿真的目的对模型进行多方面的实验，相应地得到模型的输出。6. 对仿真输出进行分析。对离散事件系统来说，其输出分析决定仿真的有效性。输出分析既是对模型数据的处理，同时也是对模型的可信性在实际仿真时，上述每个步骤往往需要多次反复。04 仿真技术的应用04.1 仿真技术在系统设计中的应用04.2 仿真技术在系统分析中的应用04.3 仿真技术在教育与训练中的应用04.4 仿真技术在产品开发及制造过程中的应用04.5 仿真技术在CIMS中的应用练习1：系统是指相互联系又相互作用的（实体）的有机组合 P12：系统的三大要素为：（实体）、（属性）和（活动）。P13：计算机仿真的三个要素为（系统）、（模型）与（计算机） P34：计算机仿真是指将（模型）在计算机上进行试验的过程5：（亚实时）仿真是指仿真时钟慢于实际时钟的仿真。 P56：实时仿真是指仿真时钟和实际时钟的比例关系为（1：1） P57：根据模型的种类不同，系统仿真分为三种：物理仿真，（数学）仿真和半实物仿真8：系统模型按（描述变量的函数关系）分类，可分为连续变化模型和离散变化模型9：根据系统的（物理特征）可将系统分成两大类：工程系统及非工程系统10：模型按（描述变量的函数关系）分类，可分为线性模型和非线性模型11：根据使用的仿真计算机类型将仿真分为3类：模拟计算机仿真、数字计算机仿真和数字模拟混合仿真。12：在定义一个系统时，首先要确定系统的（边界）13：试简述由于什么原因一般会采用系统仿真方法对系统进行实验？P21. 在系统建成前或设计中，系统没有建立起来，因此不可能在真实系统上进行试验2. 如果在真实系统上作试验会破坏系统的运行时，可采用仿真方法3. 如果在真实系统上作试验，难以保证试验结果的真实性和再现性时，可采用仿真方法4. 如果在真实系统上试验，会导致时间太长或费用太大或有危险时，可选用仿真方法。14：试简述系统仿真的一般步骤 P6-7 1. 针对实际系统，建立系统模型。包括建模与形式化、形式建模、可信性检验等。根据研究和分析的目的，确定模型的边界，对模型进行形式化处理，得到计算机仿真要求的数学描述，模型可信性检验是仿真的基础。2. 仿真建模。根据系统的特点和仿真的要求选择合适的算法。3. 程序设计。将仿真模型用计算机能执行的程序来描述。4. 程序检验。一方面是程序调试，更重要是检验所选仿真算法的合理性。5. 对模型进行实验，根据仿真的目的对模型进行多方面的实验，相应地得到模型的输出。6. 对仿真输出进行分析。对离散事件系统来说，其输出分析决定仿真的有效性。输出分析既是对模型数据的处理，同时也是对模型的可信性在实际仿真时，上述每个步骤往往需要多次反复。15：简单介绍仿真程序的基本功能，并画出仿真程序结构图1. 主程序：实现仿真运行的控制功能，以便修改参数，选择仿真算法，重新运行仿真程序等。2. 置初值：设置初始条件，系统参数3. 模型运行：调用相应的仿真算法程序，完成仿真运算功能4. 输出处理：输出仿真结果及仿真结果的处理第一章 连续系统仿真概论按系统模型的特征分类，可以有连续系统仿真及离散事件系统仿真两大类。本章讨论连续系统仿真问题。过程控制系统、调速系统、随动系统等这类系统称做连续系统，共同之处是系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式（常微分方程，偏微分方程，差分方程）描述系统模型。11 连续系统模型描述连续系统仿真中的数学模型有很多种，但基本上可分成三类：连续时间模型、离散时间模型以及连续-离散混合模型。111 连续时间模型系统的连续时间模型通常有以下几种表示方式：常微分方程、传递函数、权函数和状态空间描述。1、 常微分方程常微分方程可表示为2、 传递函数以上模型只描述系统输入与输出之间的关系，没有描述系统内部的情况，所以称为外部模型。3、 状态空间描述在计算机上复现模型内部变量，即状态变量，仿真要求采用系统内部模型，即状态空间模型。仿真时，必须将系统的外部模型转换成内部模型，建立与输入-输出等价的状态方程。112 离散时间模型系统的离散时间模型通常有以下几种表示方式：差分方程、Z传递函数、全序列和离散状态空间模型。1、 差分方程2、 Z传递函数3、 离散状态空间模型113 连续-离散混合模型图1-1 计算机控制系统对这类系统，它的离散部分可用离散时间模型来描述，连续部分可用连续时间模型来描述。图1-5 计算机控制系统的数学模型12 模型结构变换对一个连续系统进行仿真时，把这个系统模型在计算机上实现出来，把系统各种描述形式转换成内部模型状态空间模型，我们称其为模型结构变换。121 外部模型到内部模型的转换有连续系统，数学模型如下：引进个状态变量：将上述个一阶微分方程写成矩阵形式可得用图形方式表达出来如图6。图1-6在计算机上仿真的模型补充外部模型变换到内部模型不是唯一的，所以仿真模型也并不唯一。既然一个系统有多种实现，必有一部分的A是最小维数的，在控制理论中称为最小实现。由图1-6可知，A的维数直接对应仿真模型中的积分器的个数，我们希望采用系统的最小维数（实现）来作为仿真模型。由给定的传递函数或脉冲过渡函数阵来建立与输入输出特性等价的状态方程，在控制理论中把这类问题称为实现问题。例1：参照补充，有状态矩阵因为A是3维矩阵，所以有3个积分器。对传递函数分解化简有有状态矩阵因为A是2维矩阵，所以最小实现有2个积分器。例2：多输入多输出系统表面上看和为2阶，和为3阶，所以需要10个积分器构造仿真模型，分解化简，求为的最小实现。因此有可以画出图1-7。图1-7 多输入多输出系统仿真模型根据图有状态空间模型为122 面向结构图的模型变换本节介绍一个面向结构图的线性系统模型变换方法，以便通过计算机自动将结构图模型转换成一阶微分方程组。1 典型环节的选择结构图是由各种典型环节构成的。通常一个系统中比较常见的动态环节如下：积分环节：比例积分环节：惯性环节：一阶超前（或滞后）环节：二阶振荡环节：选择典型环节的原则是要有典型性，即由它可组成各种动态环节，而且组成系统简便，由计算机将它转换成系统的微分方程组容易实现。 图1-8所示。图1-8一阶领先滞后环节2 面向结构图系统方程描述假定有一个图1-9所示的系统，其中用方块表示都是典型环节，每个环节有一个输入信号，有一个输出信号，对每一个环节它们的方程是 写出系统的动态方程为：方程W和W0阵均为系统的连接矩阵，描述了系统各环节之间连接关系。 W称为系统的连接矩阵，它描述了系统内部各环节连接情况，W0称为外部输入的连接矩阵，它描述外部输入对系统的作用情况。将方程展开，得3 系统方程转换系统状态初始值变换前两节讨论系统零初始条件的情况，如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换到内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件（通常是给定y(t) u(t)及其各阶导数的初始值）转变为相应的状态变量的初始值.若系统是如下一般形式的阶微分方程来描述:系统初始条件为: 现将其转换成个一阶微分方程,如果他们满足如下关系:j=1,2,.n-1则称该状态方程与原方程等价。这种变换称为伴随方程法。下面简要证明。将1.44两边分别进行微分n次，得到将1.45两边分别进行微分n-1次，得到将1.46引入微分算子、将1.48,1.49,1.50所包含的n+1个等式左右两边分别相加，消去同类项，整理后有高阶微分方程，表明两者之间的等价关系。(1.48)*（-1）+（j=1）+(j=2).+(j=n-1)+1.50有伴随方程法显示地表示了状态变量与原输入变量及其高阶导数之间的关系，因而易于进行初始值的转换，这样得到状态方程及输出方程。对1.45式，取j=1,2,n-1有加上1.46式，有其中带入方程式右边有写成状态方程有：当时其中其初值转换方程推导：由1.44左右求导有由1.45式取j=1，2，n-1有变形后有最终初值转换方程为（）例1.1 设有一系统,它的微分方程为:已知系统的初始条件为，试确定该系统的内部模型，并给出状态变量的初值。解 的初值为:练习1：系统的离散时间模型通常有以下几种表示方式：差分方程、Z传递函数、全序列和离散状态空间模型2：由给定的传递函数或脉冲过渡函数阵来建立与输入输出特性等价的状态方程，在控制理论中把这类问题称为实现问题。3：描述系统的微分方程为，已知Y（t） u(t)及各阶导数为零，试将其转换为状态空间表达式 P20 P304：描述系统的微分方程为，已知Y（t） u(t)及各阶导数为零，试将其转换为状态空间表达式 P20 P305：为编程方便，在面向结构图的数字仿真程序中通常选用 环节作为典型环节。6：已知系统的结构图如下，试写出其连接矩阵W和W0 P247：已知系统的结构图如下，试写出其连接矩阵W和W0 P24已知系统的结构图如下，试写出其连接矩阵W和W0 P248：已知系统的结构图如下，试写出其连接矩阵W和W0 P24已知系统的结构图如下，试写出其连接矩阵W和W0 P249：已知系统结构如下图，若用面向结构图的数字仿真方法进行仿真，典型环节取，零初值，H=0。1，试求系统的状态方程和输出方程 P25-2810已知系统结构如下图，若用面向结构图的数字仿真方法进行仿真，典型环节取，零初值，H=0。1，试求系统的状态方程和输出方程 P25-28将上图变换成典型环节11已知系统，若用面向结构图的数字仿真方法进行仿真，典型环节取，零初值，H=0。1，试求系统的状态方程和输出方程 变换成典型环节 12: 课后练习1和2（模型转换习题）、3（连接矩阵）、4（非零初始模型转换）第二章 经典的连续系统仿真建模方法学本章讨论经典的连续系统数字仿真的原理与方法，内容包括连续系统数字仿真的基本概念、经典的数值积分法、经典的线性多步法等。在数字计算机上进行连续系统仿真，先将连续模型离散化，这是连续系统仿真的基础，2。1节讨论离散化原理及要求。2。2节对经典的数值积分法-龙格库塔法及其他典型的数值积分法仿真建模原理进行分析，2。3节对经典线性多步法进行介绍。2。4节讨论稳定性分析。21 离散化原理及要求在数字计算机上对连续系统进行仿真时，遇到问题是数字计算机的数值及其时间均具有离散性，而被仿真系统的数值及时间均具有连续性，后者如何用前者来实现。数字计算机所进行的数值计算，它表示的数值的精度受限于字长，引起舍入误差，另一方面，这种计算是按指令一步一步进行的，必须对时间离散化，这样只能得到离散时间点上系统性能。用数字仿真的方法对微分方程的数值积分是通过某种数值计算方法来实现的。任何一种计算方法只是原积分的一种近似。因此连续系统仿真从本质上是从时间、数值两方面对原系统进行离散化，并选择合适的数值计算方法来近似积分运算，因此得到离散模型来近似原连续模型。设系统模型如图2。1图2。1 相似原理示意图当，则认为两模型等价，称为相似原理。事实上，要完全保证是很难，随着计算机技术发展，由于计算机字长引入的舍入误差可以忽略，关键是数值积分算法，也称仿真建模方法。相似原理用于仿真时，对仿真建模方法有三个基本要求：（1） 稳定性。若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应该是稳定的。（2） 准确性。有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：绝对误差：相对误差：（3）快速性。数字仿真是一步一步推进的，由某一初始值出发，逐步计算，每一步计算所需时间决定了仿真速度。如果第步计算对应的系统时间间隔为，计算机由计算所需的时间为，那么如果，称为实时仿真，称为超实时仿真，称为离线仿真连续系统数字仿真中最基本的算法是数值积分算法。对于的系统，已知系统变量的初始条件，现在要计算随时间变化的过程。 由于难以得到积分的数值表达式，人们对数值积分方法进行长期探索，其中欧拉法是最经典的近似方法。欧拉法用矩形面积近似表示积分结果 若积分过程中步距不变，欧拉法的截断误差正比于。提高精度，提出梯形法。 它是隐函数形式。采用这种积分方法，其最简单的预报-校正方法是用欧拉法估计初值，用梯形法校正 2。5 2。62-6称为预报公式，2-5为校正公式。用欧拉法估计值，代入校正公式得到校正值。通过反复迭代，直到满足允许误差条件，这时得到校正值是满足误差要求的。上述方法是针对微分方程在已知初值情况下进行求解，因此也称为微分方程初值问题数值计算法，本书中称为数值积分法。连续系统数字仿真的离散化方法有两类：数值积分方法和离散相似方法。本章讨论数值积分方法。选择合适的算法、合适的软硬件环境，在保证精度的前提下，考虑怎样提高仿真的速度。经典的数值积分方法分为单步法和多步法。22 龙格-库塔法221龙格-库塔法基本原理在连续系统仿真中，主要的数值计算工作是对的一阶微分方程进行求解。二阶龙格-库塔法：这种递推公式的截断误差正比于的三次方。四阶龙格-库塔法这组计算公式有较高的精度，在数字仿真中应用普遍。这种递推公式的截断误差正比于的五次方。所有龙格-库塔公式都有以下特点：（1） 在计算时只用到，不直接等项。仅利用前一步的计算结果，所以称为单步法。此法可以自启动，已知初值后，不必别的方法来帮忙，能由初始值逐步计算得到后续各时间点上的仿真值。（2） 步长在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，但在一步中，为计算若干个系数，则必须用同一个步长。（3） 龙格-库塔的精度决定于步长大小及方法的阶次。（4） 在展开泰勒级数时，只取这一项，可得欧拉公式，因此它可看作一阶龙格-库塔公式，截断误差正比于，是精度最低的一种数值积分公式。222龙格-库塔法的误差估计及步长控制龙格-库塔数值积分方法的误差估计和步长控制的基本思想图2-3图2。3 龙格-库塔法步长控制示意图每积分一步都设法估计出本步的计算误差，然后判断是否满足允许误差，据此选择相应的步长控制策略，调整步长，再作下一步积分运算。1、龙格-库塔法的误差估计2、步长控制（1）加倍-减半法设定一个最小误差限和最大误差限，当估计的局部误差大于最大误差时将步长减半，并重新计算这一步；当误差在最小误差和最大误差之间时，步长不变，当误差小于最小误差时，将步长加倍。（2）最优步长法为了使每个积分步在保证精度的前提下能取最大步长，可以设法根据本步误差的估计，近似确定下一步可能的最大步长，由于这种方法可以作到在规定的精度下取得最大步长，因此减少了计算量。223 实时龙格-库塔法仿真模型的运行速度往往与实际系统的运行速度不同。当有实际的装置或被训练的人介入仿真过程时，就要求仿真模型的运行速度与实际系统运行的速度保持一致，称为实时仿真。一般数值积分法难以满足实时仿真的要求，因为由由这些方法所得的模型的执行速度较慢，而且这些方法的机理不符合实时仿真的特点。以二阶龙格-库塔法分析。假如如下一般形式的系统进行仿真：二阶龙格-库塔法：在一个计算步内分两步：首先在时刻利用当前的，计算。假定在的时间内计算机正好计算一次右端函数，然后在时刻计算，尽管此时已经得到，但无法得到。实时仿真除了要满足执行速度的要求外，还要求实时接收外部输入，并实时产生输出。为此，或对进行预报，或将仿真执行延迟。流程如图2-4，输出要滞后半个计算步距。与此相类似，四阶龙格-库塔法也不适用于实时仿真。图2。4 RK-2的计算流程为此提出如下形式实时二阶龙格-库塔法：计算流程如图2-5。图2-5 实时RK-2计算流程在时刻利用，计算，然后在时刻计算，此时已经得到，由于计算一次右端函数需要时间，也可得到，的计算就不会引入新的误差，并能实时输出。23线性多步法龙格-库塔法也称单步法，因为是在计算时只用到，而不直接用等项。在后一步的计算中，仅利用前一步的计算结果。从信息利用的观点看，单步法对信息的利用率是不高的。线性多步法是利用多步信息来计算下一步的值。231线性多步法基本原理线性多步法的基本原理是利用一个多项式去匹配变量的若干已知值和它们的导数值。设已知时刻的和，而未知，若由和来计算，则称为预报，若也已知，由它们来计算，则称为校正。 设采用多项式具有以下形式:公式2-39其中是待定系数，。显然在时刻，可得到由和确定,需要个独立方程。这些方程可以根据以下等式导出: （2-42）1:预报公式由和来预报,可令,从公式2-42得到如下方程组:写成矩阵形式: （2-43）记为： （2-44）上标表示预报。形式上其解为 （2-45）为常数阵,其逆存在,向量中的各元素为已知值，因而向量的各元素值可计算得到，从而由, , 得到下一时刻的预报值.利用公式（2-45）来预报有两个缺点: 每次计算得到的向量各元素只有是需要的，其它元素的计算成为多余，第二每一步的值均发生变化,得不到与和的显示表达式。 为此对公式（2.44）做适当变换。定义:为的列向量，表示转置。将它乘以公式（2-45）有 （2-46）再定义辅助变量此式可改写成 （2-48）向量的元素可划分为两组：假设，则公式（2-48）为 可计算得到值得注意的是只依赖于，即本步之前的个数，与它们的数值无关。通过求解公式（2-48）并代入公式（2-46）得从而得到的显示表达式： （2-51）例2-1 试推导用 预报公式. （由给出3个条件，故用二阶多项式来近似，且，由，可列出计算得到从而有由该例可以看到，多步法公式是十分灵活的，它并不要求变量值的个数及其导数值的个数相同，因而可得到不同形式的多步法公式。 2.校正公式前面讨论多步法预报公式，是显示公式，它未包含。在高精度仿真时，对该预报值应进行校正，即先预报得到，然后再用此值推出。由和来预报,可令，从公式（2-42）得到如下方程组:写成矩阵形式:2-52记为:2-53 上标表示校正。形式上其解为 （2-54）定义：为的列向量, 表示转置.将它左乘以公式（2-54）有再定义辅助变量此式可改写成 向量的元素可划分为两组：值得注意的是只依赖于，即本步之前的个数，与它们的数值无关。从而得到例2-2 用已知值预估，然后用 推导的校正公式。预估公式的矩阵表达式为计算得到从而有对校正公式，矩阵方程变为计算得到从而有校正公式2.4 稳定性分析利用数值积分方法进行仿真常常发现本来稳定的系统，仿真结果却得出不稳定的结论，这种现象是由于计算步长选得太大而造成的，因为当步长选得过大时，计算误差较大数值积分方法会使各种误差传播出去，以致引起计算不稳定。下面以一阶显示阿达姆氏法为例,讨论数值积分稳定域问题.假定系统的微分方程为： （2-67）原系统是稳定的。若用一阶显示阿达姆氏法来对它进行仿真，则有如下递推公式:故有假定为它一个仿真解,设为其准确解，即其特征方程为显然，为了使误差序列不随增加而增长，必须要求它的特征根在单位圆内，即我们称它所对应的域就是该算法的稳定域,图2-8所示.图2.8 一阶显示阿达姆氏稳定域由图2.8可知,系统方程的采用一阶显示阿达姆氏,为保证计算稳定,要求，即要求小于系统时间常数的两倍。设系统方程为公式（2-67），常常该方程称为测试方程。练习1：龙格-库塔法的基本思想是用几个点上的函数值的（线性组合）来避免计算函数的（高阶导数），提高数值计算的精度2：数值积分法步长的选择应遵循的原则为计算（稳定）及计算精度3：采用数值积分法时有两种计算误差，分别为（截断）误差和累计误差 P354：如果某数值计算方法的计算结果对初值误差和计算误差（不敏感），则称该算法是绝对稳定的5：二阶龙格-库塔法公式的截断误差为（） P356：四阶龙格-库塔法的局部截断误差为（O（H3） P357：四阶龙格-库塔法公式是自启动算式吗（是） P358： 是数值积分公式多步算式。 P479：是数值积分公式隐式公式。（要迭代法求解）10： 数值积分法为实时仿真算法。 P42 11：数值积分算法中隐式两阶阿达姆氏法是（恒稳法）。12：已知微分方程， 试用欧拉法求Y的差分方程 P3313：已知微分方程， 试用欧拉法求Y的差分方程 P3314：系统的微分方程，试用欧拉法来进行仿真，为保证计算稳定性，对步长h的要求为（0h0.4 ） p53-54特征方程为系统稳定，要求特征根在单位圆内，即15：系统的微分方程，试用欧拉法来进行仿真，为保证计算稳定性，对步长h的要求为（0h1 ） p53-54特征方程为系统稳定，要求特征根在单位圆内，即16： 取计算步距H=0。1，试用欧拉法、四阶龙格-库塔法求T=H时的Y值， 并将求得的Y值与精确解 比较，说明造成差异的原因。 P3438造成差异的原因是欧拉法是一阶算法精度较低，四阶龙格-库塔法是四阶算法精度较高。17： 取计算步距H=0。1，试用欧拉法、四阶龙格-库塔法求T=h的Y值，说明造成差异的原因。 P3438造成差异的原因是欧拉法是一阶算法精度较低，四阶龙格-库塔法是四阶算法精度较高。18： 取计算步距H=0。1，试用欧拉法、四阶龙格-库塔法求T=h的Y值，说明造成差异的原因。 P3438造成差异的原因是欧拉法是一阶算法精度较低，四阶龙格-库塔法是四阶算法精度较高。19: 相似原理用于仿真时，对仿真建模方法的三个基本要求是稳定性、（准确性）和快速性。20：简述对仿真建模方法的基本要求。1. 稳定性。如果被仿真系统模型是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应该是稳定的。2. 准确性。所得仿真结果应满足要求的精度。3. 快速性。应满足要求的仿真速度。21由预报。由公式2-43 有 1+1由公式2-48有解方程有 所以由公式2-51有22由计算。由公式2-52 有 2+1由公式2-57有解方程有 所以由公式2-60有23已知线性定常系统的状态方程为，取计算步距，试分别用欧拉法和四阶龙格-库塔法求时的值，并说明造成两者差异的原因。欧拉法：四阶龙格-库塔法：第三章时域离散相似法用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，必须将这个系统看作一个时间离散系统。斯密斯从控制和工程的概念提出离散相似问题，导出离散相似法。离散相似法将一个连续系统进行离散化处理，求得与它等价的离散模型。由于连续系统的模型可以用传递函数来表示，也可以用状态空间模型来表示，因此与连续系统等价的离散模型可以通过两个途径获得。对传递函数做离散化处理得到离散传递函数，称为频域离散相似模型，基于状态方程离散化，得到时域离散相似模型，本章介绍时域离散相似法。31 时域离散相似法基本原理311基本方法假设有一连续系统，状态方程描述为：对上述描述连续系统进行离散化处理，图3-1图3-1 连续系统的离散化处理在系统的输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器，输出端加一个虚拟采样开关。采样周期为且同步。为系统输入，为加虚拟采样开关后，在时刻的系统输入。是加虚拟采样开关后在时刻的系统输出，和是等价的连续信号。只要能足够精确地表示，那么就能足够精确地表示，这样就能获得与连续系统等价时域离散相似模型。对该连续系统进行离散化后可以得到系统离散相似模型：为采样时间间隔，、 为系统时刻的输入和状态量，、 为离散化后与系统模型有关的系数。称为状态转移矩阵。对它取拉氏反变换，运用卷积公式得对离散化处理后的系统，设及为两个依次相连的采样时刻，则有整理有令，若信号重构器使及之间的不变，即积分式中保持常数，上式可以写成令 则有 （3-11）这是一个离散状态方程。公式（3-11）是在假定信号重构器使输入量在两个采样时刻之间保持不变的前提下推导出来的。实际上，输入量在两个采样时刻之间是变化的这样就会引起误差。为了减小误差，假定在两个采样时刻之间，信号重构器使为一斜坡函数，如梯形近似。令，则整个离散状态方程为状态转移矩阵输入信号采用零阶重构器引入的系数矩阵输入信号采用三角形信号重构器后叠加的系数矩阵补充：1：矩阵求逆伴随矩阵为矩阵的伴随矩阵. 其中为中元素的代数余子式. 由上述重要恒等式和定理可得求逆公式: 2：拉氏反变换 3：例：设一系统图3-3，开环部分由一非线性环节及一线性环节组成。将线性部分转换成时域离散相似模型。图3-3已知线性部分状态方程为把线性部分转换成典型环节，写成状态方程根据前述，所以有与第二章数值积分法比较，方程系数、可以一次求出，这样每做一步积分只要计算一次右端函数。四阶龙格库塔数值积分方法，每做一步积分要计算4次右端函数。显然用离散相似法做仿真运算比数值积分法做仿真运算量小，对于同一系统做仿真时，离散相似方法运算速度快。离散相似方法基本问题是计算、，而它们的计算主要归结为的计算。32增广矩阵法上节介绍用离散相似法对线性系统进行仿真的方法。对线性定常系统，有如下描述： （3-33）若加虚拟采样器及零阶重构器，则上述系统的等价离散模型为其中为仿真步长，。这种方法误差来源于：1） 的计算误差2） 由于只考虑，近似认为在两个采样间隔中保持不变，所以会引入误差。为了提高仿真计算精度，如果将输入信号也能作为系统的状态对待，那么只需要着眼于提高 的计算精度就能达到仿真精度的提高，基于这个想法，提出增广矩阵法。增广矩阵法是将3-33所表示的系统输入量全部增广为系统的状态量，因而使 这样一个非齐次常微分方程组转化为这样一个齐次常微分方程组 （3-35）其中，既包含原有的状态量，还包括输入量。这样与公式（3-35）等价的离散模型为 （3-36）其中 显然利用公式（3-36）进行仿真将只有一项误差，计算的误差。例为系统输入量，系统是一个单输入系统，当为阶跃输入时，设定义第个状态变量为根据公式（3-33）得到增广后的状态方程及输出方程为初始条件为33 面向结构图的非线性系统仿真对于线性系统采用离散相似方法进行仿真归结为3-11所示的离散状态方程。由于线性系统的数学模型可写成一阶线性微分方程组的形式，所以可以用数值计算的方法，事先计算出整个系统的、，然后利用离散状态方程来进行仿真。实际系统中存在一些非线性，在结构图描述中他们也以典型环节的形式出现。由于这类非线性环节往往位于线性环节之间，不可能统一计算整个系统的、，而只能计算出各个线性部分的、 。这样利用他们只能计算出各线性部分的输出。如果线性环节之间存在非线性环节，为了计算下一步各线性部分的输入，可将各线性环节的输入先进行位于其前面的非线性环节的计算，也可先将线性环节的输出进行位于其后的各非线性部分的计算。图3-6，首先在定义仿真模型时，选择如图的环节作为基本环节。在典型环节的前面和后面均附属了一个非线性环节，可以以被仿真的系统中的线性典型环节为基础确定系统的阶次和结构，包括环节个数、参数和连接矩阵等。计算过程分4步。1） 不考虑非线性，根据连接矩阵计算出各环节的输入2） 根据各环节前的非线性计算出各环节中线性动态部分的输入3） 根据线性部分的离散状态方程计算出各环节线性部分的输出4） 根据各环节后的非线性计算出各环节的输出然后重复上述步骤，直到仿真结束。图3-6 一个完整的动态环节例 图3-7 非线性系统，该系统有一个线性部分 ，有一个非线性部分 表示饱和特性。为了仿真该系统，首先将线性部分的、计算出来，然后按以下步骤计算不同时刻的输出。 1）选择采样周期，给定及的初值，计算和值2）令 按以下公式计算各点的值3），重复步骤2，直到仿真结束。常用非线性环节计算子程序图3-9 图3-10 图3-11为上步输入输出信号的数据练习1: 已知线性定常系统的状态方程为求及离散化方程 P58根据前述，所以有2：已知线性定常系统的状态方程为求及离散化方程 P58根据前述，所以有3：已知线性定常系统的状态方程为求及离散化方程 P58根据前述，所以有4：有一闭环控制系统如图所示，试求的，并列出的差分方程。 在X处断开加虚拟采样开关和零阶信号重构器。参照例题，化成典型环节，5:已知线性定常系统,X为n维状态变量,u为1维输入变量,若输入为,试用增广矩阵法将其转换为齐次方程,并标明初值.6:用增广矩阵法求的增广矩阵,若输入为把系统换成典型环节7：简述用离散相似法对非线性系统进行数字仿真要解决的问题及计算过程 P651. 选择并计算各典型动态环节的2. 编写非线性环节仿真子程序3. 对系统各完整环节编号，这里完整环节是由典型环节和非线性环节组成的，非线性环节是附属部分，在完整环节中是否有非线性环节，由系统结构决定。4. 形成系统的连接拒阵5. 计算过程分四