第一类曲面积分ppt课件

.,第十章,第四节,机动目录上页下页返回结束,第一类曲面积分,二、第一类曲面积分的概念与性质,一、问题的提出,三、第一类曲面积分的计算,.,例：设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,“分割，近似,求和,取极限”,的方法,求质量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,机动目录上页下页返回结束,一、问题的提出,.,二、第一类曲面积分的概念,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,说明：,则对面积的曲面积分存在.,在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,.,线性性质.,机动目录上页下页返回结束,对积分域的可加性.,则有,若是分片光滑的,例如分成,两片光滑曲面,.,机动目录上页下页返回结束,中值定理.,保号性.,.,关于曲面的轮换对称性：,曲面具有轮换对称性是指：曲面关于直线x=y=z对称。,如果曲面有轮换对称性，它的方程F(x,y,z)=0有如下特征：将F(x,y,z)中的变量x,y,z的位置任意互换，不会改变F的表达式。,机动目录上页下页返回结束,对称性.,.,机动目录上页下页返回结束,1、如果曲面有轮换对称性，那么被积函数f(x,y,z)中的变量x,y,z无论怎样互换，积分值不会改变。即,2、如果曲面关于平面y=x对称，则,曲面关于平面y=z或z=x对称有类似的性质。,.,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,三、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:,机动目录上页下页返回结束,.,(光滑),机动目录上页下页返回结束,.,则,按照曲面的不同情况分为以下四种情形：,机动目录上页下页返回结束,则,则,.,机动目录上页下页返回结束,.,解：,机动目录上页下页返回结束,例1：,由对称性，易知,.,（前后两片投影相同）,机动目录上页下页返回结束,奇函数,单位圆的面积,.,例2：,解,机动目录上页下页返回结束,.,例3：,设,计算,解:锥面,与上半球面,的交线为,为上半球面夹于锥面间的部分，,则它在xoy,面上的投影域为,机动目录上页下页返回结束,则,.,机动目录上页下页返回结束,思考:若此例中被积函数改为,计算结果如何?,.,机动目录上页下页返回结束,解：,球面的参数方程为：,.,四、物理应用,机动目录上页下页返回结束,称为形心,.,机动目录上页下页返回结束,特别地,.,机动目录上页下页返回结束,.,例5：计算,其中是球面,由轮换对称性：,解:显然球心为,半径为,利用质心公式,机动目录上页下页返回结束,.,解：,机动目录上页下页返回结束,柱面的参数方程为：,.,机动目录上页下页返回结束,.,例7：,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h=36000km,机动目录上页下页返回结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,(地球半径R=6400km),解：,建立坐标系如图,覆盖曲面的,半顶角为,利用球面参数方程，则,卫星覆盖面积为,.,机动目录上页下页返回结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明:此题也可用二重积分求A(见下册P188例1).,.,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意：要充分利用球面参数方程、柱面参数方程、,对称性、质心公式等简化计算。,机动目录上页下页返回结束,.,习题9-4(P276)3，5，6，9，10，11,第五节目录上页下页返回结束,作业,.,备用题1.已知曲面壳,求此曲面壳在平面z1以上部分,的面密度,的质量M.,解:在xoy面上的投影为,故,机动目录上页下页返回结束,.,2.设是四面体,的表面,计算,解:在四面体的四个面上,同上,机动目录上页下页返回结束,.,机动目录上页下页返回结束,.,3、,解：,机动目录上页下页返回结束,.,解：,机动目录上页下页返回结束,依对称性知,.,机动目录上页下页返回结束,.,5、计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析:若用直角坐标将曲面分为前后,解1:利用参数方程计算,(或左右)两片,则计算较繁.,机动目录上页下页返回结束,柱面的参数方程为：,.,机动目录上页下页返回结束,.,5、计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,则,解2:微元法，取曲面面积元素,机动目录上页下页返回结束,.,6、计算,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,机动目录上页下页返回结束,.,思考:,若是球面,被平行平面z=h,截出的上下两部分,则,机动目录