调和函数与解析函数的关系研究.doc

学学 生生 毕毕 业业 论论 文文 课题名称课题名称调和函数与解析函数的关系研究调和函数与解析函数的关系研究 姓姓 名名 学学 号号 2626 院院 系系数学与计算科学学院数学与计算科学学院 专专 业业信息与计算科学信息与计算科学 指导教师指导教师 20152015年年 5 5月月 2222日日 20152015届学生届学生 毕业论文材料毕业论文材料 （四）（四） 湖南城市学院本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的 指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争 议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法 律结果由本人承担。 本科毕业论文作者签名： 二一五年五月二十二日 目 录 摘要.1 关键词.1 ABSTRACT.1 KEY WORDS.2 1.1.解析函数解析函数.3 3 1.1 解析函数的概念.3 1.2函数解析的充要条件.3 2 2. .调和函数调和函数.4 4 2.1 调和函数的定义.4 2.2 共轭调和函数.6 3 3. .调和函数和解析函数之间的关系调和函数和解析函数之间的关系.6 6 3.1从调和函数观点研究解析函数的性质.6 3.1.1 调和函数的性质.6 3.1.2 解析函数的性质.6 3.2解析函数的等价刻画及应用.8 3.3由调和函数构造相关解析函数的方法.9 3.4调和函数与解析函数的关系.12 3.4.1 解析函数与调和函数的关系.12 3.4.2 调和函数与共轭调和函数的关系.12 3.4.3 解析函数与共轭调和函数的关系.12 结论.12 参考文献.13 致谢.13 0 调和函数与解析函数的关系研究调和函数与解析函数的关系研究 熊熊 瑶瑶 （湖南城市学院数学与计算科学学院2015届信息与计算科学专业，益阳，413000） 摘 要：解析函数作为复变函数研究的主要对象，与调和函数有着深刻的内在联系.主要论述 了解析函数、调和函数的定义；通过引入共轭调和函数的概念，将解析函数和调和函数联 系在一起；从调和函数的观点出发，探讨了解析函数的某些性质并由具体实例做其等价刻 画；在此基础上通过实际问题介绍了四种由调和函数构造解析函数的方法，分别是偏积分 法、线积分法、不定积分法和变量替换法. 关键词：解析函数、调和函数、共轭调和函数 Study on the relationship between the Harmonic function and the Analytic function Xiong Yao (The 2015 Information and computing Science, School of mathematics and computational science, Hunan City University, Yiyang, 413000) Abstract: As the main object of the Complex Variable Function, Analytic Functions has a profound connection with the Harmonic Functions. it mainly discusses the definition of the Analytic Functions and the Harmonic Functions; by introducing the concept of the Conjugate Harmonic Functions, contact the Analytic Functions with the Harmonic Functions; from the point of view of the Harmonic Functions, discusses some properties of the Analytic Functions, and meanwhile, does its equivalent descriptions by the concrete examples; on the basis of the actual problem introduces four kinds of method of constructing the Harmonic Function by the Analytic 1 Functions, which are the methods of Partial Integration, Liner Integration, Indefinite Integration and Variable Replacement. Keywords: Analytic Functions, Harmonic Functions, Conjugate Harmonic Functions 2 解析函数作为复变函数的主要研究对象，有着许多性质，归纳出解析函数 、调和函数及共轭调和函数三者之间的推导关系. 1.解析函数 1.1 解析函数的概念 解析函数是复变函数研究中最重要的基础定理，先引入复变函数的导数概 念再来讨论解析函数.下面给出导数定义： 定义定义1.1.11.1.1 设函数在点的某邻域内有定义，是邻域内任一点，)(zf 0 zzz 0 ，如果)()( 00 zfzzf z zfzzf z zz )()( limlim 00 00 存在有限的极限值，则称在处可导，记作或，即A)(zf 0 zA)( 0 z f 0 zz dz d , z zfzzf zf z )()( lim)( 00 0 0 或 ,)()( 0 zzzf)0(z 也称或为在处的微分，故也称在处可zzfzdf)()( 00 dzzf)( 0 )(zf 0 z)(zf 0 z 微. 由定义可知，如果在处可导(或可微)，则在处连续.下面给出解)(zf 0 z)(zf 0 z 析函数的概念： 定义定义1.1.21.1.2 3 如果在及的邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区)(zf 0 z 0 z)(zf 0 z)(zf 域内每一点解析，则称在内解析，或说是内的解析函数；如果D)(zfD)(zfD 在处不解析，则称为的奇点.)(zf 0 z 0 z)(zf 1.2 函数解析的充要条件 一般地，作为解析函数的实部和虚部都是二元函数，而研究他们的特性要基于 柯西-黎曼方程（简称方程），有以下定理：)(RiemannCauchyRC 定理定理1.2.11.2.1 函数在处可导的充要条件是),(),()(yxivyxuzfiyxz ，在点处可微，而且满足柯西-),(yxu),(yxv),(yx 黎曼方程（简称方程）：)(RiemannCauchyRC ， . y v x u x v y u 定理定理1.2.21.2.2 函数在区域内解析（即在内可导）的充要条件是),(),()(yxivyxuzfDD 和在内处处可微，而且满足方程.),(yxu),(yxvDRC 推论推论 函数在区域内有定义，如果在内和的),(),()(yxivyxuzfDD),(yxu),(yxv 四个偏导数，存在且连续，并且满足方程，则在内 x u y u x v y v RC )(zfD 解析. 由上述定义可知函数的解析与可导存在密切联系，而可导又与连续密切相关， 4 其三者之间的关系可由下图清晰表出： 在内解析 在内可导)(zfD)(zfD 在点解析 在点可导 )(zf 0 z)( 0 Dz )(zf 0 z)( 0 Dz 在点连续 )(zf 0 z)( 0 Dz 2.调和函数 2.1调和函数的定义 定义定义2.1.12.1.1 如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯）（y, xD 方程)(Laplace ，0 2 2 2 2 yx 则称为区域内的调和函数，或说函数在区域内调和.）（y, xD）（y, xD 定理定理2.1.22.1.2 设函数在区域内解析，则的实部),(),()(yxivyxuzfD)(zf 和虚部都是区域内的调和函数.),(yxu),(yxvD 证明： 因在区域内解析，所以，在内满足方程)(zfDuvDRC ， . y v x u x v y u 当解析时，有任意阶连续偏导数.)(zfuv 在上述二式中分别对和求偏导数，得yx ， . 2 22 y v yx u 2 22 x v xy u 5 因 ，于是 xy u yx u 22 .0 22 2 2 2 2 xy u yx u y v x v 这就是说，是区域内的调和函数.同理，也是区域内的调和函),(yxvD),(yxuD 数. 另证定理 2.1.2的逆不真. 即证：若的实部和虚部都是区域内的调),(),()(yxivyxuzf),(yxu),(yxvD 和函数，函数在区域内不一定解析.)(zfD 反例： ， 均为调和函数， 22 ),(yxyxu 22 ),( yx y yxv 但不解析. 22 22 )(),(),()( yx y iyxyxivyxuzf 由于 ， x x u 2 y y u 2 222 )( 2 yx xy x v 222 22 )(yx yx y v 而 ， y v x u x v y u 即不满足方程.)(zfRC 2.2 共轭调和函数的引入 定义定义2.2.12.2.1 设函数及均为区域内的调和函数，且满足）（y, x）（y, xD 方程RC ， . yx xy 则称是的共轭调和函数.),(yx),(yx 定理定理2.2.22.2.2 复变函数在区域内解析的充分必要条件是在区域内),(),()(yxivyxuzfDD 6 ，的虚部是实部的共轭调和函数.)(zf),(yxv),(yxu 3.调和函数与解析函数之间的关系 由上知解析函数的实部和虚部都是调和函数，而给出一个调和函数，如果该函 数的定义域是单连通的，则存在一个解析函数以该调和函数为其实部或虚部， 所以说解析函数和调和函数有非常密切的联系. 3.1从调和函数观点研究解析函数的性质 调和函数与解析函数的性质有着很多相似之处，比方说它们都有极值原理、 定理等，现从调和函数的观点来研究解析函数的这两个性质.villeLiou 3.1.1 调和函数的性质 定理定理3.1.1.13.1.1.1 (极值原理) 非常数的调和函数区域内不能达到极大值和极小值.D 定理定理3.1.1.23.1.1.2 (定理) 上的有界调和函数必要为常数.villeLiou 2 R 3.1.2 解析函数的性质 首先给出调和函数和解析函数之间的关系： 定理定理3.1.2.13.1.2.1 设是区域内的解析函数，则和都是内),(),()(yxivyxuzfD),(yxu),(yxvD 的调和函数. 反之，有 7 定理定理3.1.2.23.1.2.2 设是单连通的区域，则对上的任意调和函数，必存在调和函数DD),(yxu ，使得是内的解析函数函数.),(yxv),(),()(yxivyxuzfD 下面从调和函数的观点来看解析函数的极值原理和定理.villeLiou 定理定理3.1.2.33.1.2.3 (极值原理) 设为在区域内非常数的解析函数，则)(zfD 在内无极大值点.)(f zD 证明（方法1）： 设，则和都是上的调和函数，有),(),()(yxivyxuzf),(yxu),(yxv 2 R .02222u)(f 22 22 2 vuvuuuvz）（ 这说明是一个下调和函数，由下调和函数的极值原理知，在内无 2 )(f z 2 )(f zD 极大值点，从而在内无极大值点.)(f zD 证明（方法2）： 设，则和都是上的调和函数，因此),(),()(yxivyxuzf),(yxu),(yxv 2 R 和在内既无极大值也无极小值，从而在内无极),(yxu),(yxvD 22 2 u)(fvzD 大值点，所以在内无极大值点.)(f zD 定理定理3.1.2.43.1.2.4 (定理) 设是复平面有界的解析函数，则villeLiou)(zfC 在内为常数.)(f zC 证明： 设，则和都是上的调和函数，因为),(),()(yxivyxuzf),(yxu),(yxv 2 R)(zf 在区域内有界，所以和在内也有界，这样由调和函数的C),(yxu),(yxvC 8 定理得出在内为常数.villeLiou)(f zC 注：除了上述两个定理之外，解析函数还有一些性质与调和函数性质是相应的 ，比如平均值定理等. 3.2解析函数的等价刻画及应用 定理定理3.2.13.2.1 设是在单连通区域内的调和函数存在由下式),(yxuD ，cdy x u dx y u yx yx yx ),( ),( 00 ),(v 所确定的函数，使是内的解析函数.),(yxvivuzf)(D 定理定理2.2.22.2.2刻画解析函数又一等价条件刻画解析函数又一等价条件. . 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实部（或虚部），由解析函数的 任意阶导数仍解析知，任意二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数. 下面通过具体实例体现解析函数之应用：下面通过具体实例体现解析函数之应用： 例1 证明不能作为解析函数的实部. 2 xy 证明： 设 ， 2 y)u(x,xy 由于 ， ， ， . 2 y x u 0 2 2 x u xy y u 2 x y u 2 2 2 故当 ，不是调和函数，0x),(uyx 虽然在直线上满足方程，但直线不是区域，即在 平面的任一区0xLaplacez 域，不能作为解析函数的实部. 2 xy 例2 证明，都是调和函数， 22 x),(uyyx 22 ),(v yx y yx ),(uf(z)yx 不是解析函数.y)iv(x, 9 证明： 由于 ， ， ， .x x u 2 2 2 2 x u y y u 2 2 2 2 y u , , 222 )( 2 yx xy x v )( 22 22 yx yx y v , 312 32 2 2 )( 26 yx yyx x v 312 32 2 2 )( 26 yx yyx y v 从而 ， 0 2 2 2 2 y u x u 0 2 2 2 2 y v x v 即是平面上的调和函数， 是上的调和函数.),(uyxz),(vyx0C 但 ， y v x u 从而在上与 不满足方程，0CuvRC 故 不是的共轭调和函数，vu 即不是解析函数.),(),(uf(z)yxivyx 3.3由调和函数构造相关解析函数的方法 现通过举例来说明如何由已给调和函数来确定与之相关的解析函数的四种 不同的方法：偏积分法、线积分法、不定积分法、变量替换法.为了叙述方便起 见，下面仅讨论由已给调和函数来确定以之为实部的解析函数的问题. 例例3 3 已知已知，证明，证明为调和函数并求以之为实部的解析函数为调和函数并求以之为实部的解析函数yxyx 23 3y),(u),(uyx ，使得，使得 . .)(zfif)0( 解 由 ，可得yxyx 23 3y),(u ， ， ， ，xy x u 6 22 33xy y u y x u 6 2 2 y y u 6 2 2 于是 ，即为调和函数.0 2 2 2 2 y u x u ),(uyx 下面我们用四种不同的方法来求以为实部的解析函数 .),(uyx)(zf 10 方法方法 I I 偏积分法偏积分法 一般原理：已知为区域内某解析函数的实部，由条 ),(uyx CD )(zfRC - 件： ，可得 yx u v )(),(),(xgyxdy y u yxv 再由 ，可得 . 于是 yx v u y u xgyx x )(),( dxyx y u x x ),()(g 从而得以为实部的解析函数 .）（yx,u),(),()(yxivyxuzf 由例3得：由 ，可得xy yx u 6 v )(3xy6-),( 2 xgxydyyxv 再由 ，可得 ， yx v u )(3 2 xgy x v 于是 ，于是 ， 222 33)(3xxyxgycxdxxx 32 3)(g 因此 ，故cxyyxv 23 3x),( )()3(3),(),()( 32323 czicxyxiyxyyxivyxuzf 由 ，得 ，由此得所求解析函数为 .if)0(1c) 1()( 3 zizf 方法方法IIII 线积分法线积分法 一般原理：已知为区域内解析函数的实部，由于),(uyxCD )(zf),(uyx 为调和函数，则 . 即，0 2 2 2 2 y u x u )()( x u xy u x 由此可知必为某一个二元函数 的全微分：dy x u dx y u -v .dy y v dx xx u dx y u dv v 于是有 ， .从而必为一解析函数， yx v u yx u v ivu 11 而cdy x u dx x u yx y ),( ),x( 00 v 其中 为常数 ，为内某一点 .c),( 00 yxD 例如：由 ，全微分定义及条件可得yxyx 23 3y),(uRC - dy y v dx x v xydydxxydy x u dx y dv 6)33( u - 22 则 cdyxydxxy yx ),( )0,0( 22 6)33(y)v(x, ),( )0,( 22 )0,( )0,0( 22 6)33(6)33( yx x x cxydydxxydyxydxxy yx cxyxcxydydxx 0 23 0 2 363 后面同方法I . 方法方法IIIIII 不定积分法不定积分法 一般原理：解析函数的无穷可微性告诉我们，解析函数的导函)(zf 数仍是解析函数,若已知调和函数,则由导函数公式,可得的)(z f u)(z f 实部与虚部，并且可把还原成的函数,即有 x u )( y u )(z f z ,)()(zU y u i x u zf 于是有 ,其中 为纯虚常数.cdzzUzf)()(c 由例3得：由，可得yxyx 23 3y),(u ， 22222 3)2(3)33(xy6-)(izyxyixixyi y u i x u zf 故 ，再由 ，得 cizcdzizzf 32 3)(if)0(1c ，由此得所求解析函数为 .) 1()( 3 zizf 方法方法IVIV 变量替换法变量替换法 一般原理：由解析函数唯一性定理，可知 12 （1）在含有实轴一段的区域内，如果与D),(),(uyxivyx) 0 , (u(z,0)ziv 都解析，则在内D ， .) 0 , () 0 , (u),(),(uzivzyxivyxiyxz （2）在含有虚轴一段的区域内，D 如果与都解析，则在内),(),(uyxivyx), 0(u(0,-iz)izivD ， .), 0(), 0(u),(),(uizivizyxivyxiyxz 由例3得：由 ， ，可得yxyx 23 3y),(uCiyxz 20,22 3)33(6)(izxyixy y u i x u zf zyx 或 2y022 3)33(6)(izxyixy y u i x u zf izx ， 故 ，再由 ，得 cizcdzizzf 32 3)(if)0(1c ，由此得所求解析函数为 .) 1()( 3 zizf 注意：注意： 1. 在含有实轴一段的区域内，或在含有虚轴一段的区域内.不难看出，方法IDD V给出了方法III如何“把还原成的函数”的一个简便方法，因此方法IV)(z f z 是方法III的补充和完善. 2从形式上看，方法IV是通过变量替换“”或“，0,yzx0x ”实现的，但本质上是依据解析函数唯一性定理.而且重要的是此唯一izy 性定理的如下重要推论“一切在实轴上成立的恒等式，在复平面上也成立.只要 这个恒等式的等号两边的函数在复平面上都是解析的” . 3.4总结调和函数与解析函数的关系 13 3.4.1解析函数与调和函数的关系 由定理2.1.2得 任何在区域内解析的函数，它的实部和虚部都是内的调和函数.DD 3.4.2调和函数与共轭调和函数的关系 由定义2.1.1得 设函数及均为区域内的调和函数，）（y, x）（y, xD 且满足方程 ， . 则称是的共轭调和函数.RC y v x u x v y u 3.4.3解析函数与共轭调和函数的关系 由定理2.2.2得 复变函数在区域内解析的充分),(),()(yxivyxuzfD 必要条件是在区域内，的虚部是实部的共轭调和函数.D)(zf),(yxv),(yxu 结论 通过以上研究可以看出，解析函数与调和函数的关系可以通过复变函数的实部和虚部 两个二元函数来刻画，而共轭调和函数的引入，可成为二者的过渡，正是由于这种过渡的 存在，才能由调和函数构造出解析函数，其中涉及偏积分法、线积分法