第三讲三次样条函数.ppt

计算方法,第3讲样条函数,本讲主要问题,一、样条函数二、三次样条插值三、三次样条函数的构造,分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续.为了满足这些要求,人们引入了样条插值的概念.,所谓“样条”(spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条.绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率.,样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的.它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求.,定义设f(x)是区间a,b上的一个连续可微函数,在区间a,b上给定一组节点:a=x0x1x2xn=b设函数S(x)满足条件:,一、样条函数,(1)S(x)在每个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n1)上是次数不超过m的多项式;(2)S(x)在区间a,b上有m1阶连续导数.,则称S(x)是定义在a,b上的m次样条函数,x0,x1,x2,xn称为样条节点,其中x1,xn1称为内结点,x0,xn称为边界节点。,当m=3时,便成为最常用的三次样条函数.,样条插值的思想:逐段选取适当的低次多项式,按一定的光滑性要求连接起来构成插值函数.,二、三次样条插值,定义设给定区间a,b上n+1个点a=x0x1x2xn=b,以及相应的函数值yi=f(xi),i=0,1,n.如果函数S(x)满足:(1)在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,n1)上,S(x)是不超过三次的多项式,且S(xi)=yi,i=0,1,n;(2)S(x)、S(x)、S(x)在a,b上连续.则称S(x)是f(x)在节点x0,x1,x2,xn上的三次样条插值函数.,例1给定区间0,3上3个点的函数值f(0)=0,f(1)=2,f(3)=4,试求数a,b,c,d,使函数S(x)为给定点上的三次样条插值函数.其中,答案:,给定n+1个样点(xi,yi)(i=0,1,n),确定一个三次样条插值函数需要4n个独立条件.在定义中,已指定了4n2个条件,即,所以,一般需补充指定2个边界条件.,三、三次样条函数的构造三弯矩插值法,记Mi=S(xi),f(xi)=fi=yi,考虑它在任一区间xi,xi+1上的形式.根据三次样条的定义可知,S(x)的二阶导数S(x)在每一个子区间xi,xi+1(i=0,1,2,n1)上都是线性函数.,对S(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)=yi,得到,只要能求出所有的Mi,就能求出三次样条插值函数S(x).,下面考虑Mi的求法.,由连续性S(xi)=S(xi+),(i=1,2,n1)得iMi1+2Mi+iMi+1=di,其中,该方程组有n1个方程,但有n+1个变量Mi.,下面介绍几种常用的边界条件第1型边界条件:已知f(x)在两端点的导数f(a)和f(b),要求S(a)=f(a),S(b)=f(b)第2型边界条件:已知f(x)在两端点的二阶导数f(a)和f(b),要求S(a)=M0=f(a),S(b)=Mn=f(b)特别当S(a)=S(b)=0时,S(x)称为自然三次样条.第3型边界条件：已知f(x)是以ba为周期的周期函数,要求S(x)满足周期条件S(a)=S(b),S(a+)=S(b),S(a+)=S(b),三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题(i1,2,3).可以证明第i型插值问题的解是存在且唯一的.,他们对应如下的方程组:,对于第1型插值问题:,对于第2型插值问题:,对于第3型插值问题:,以上各组条件与前述方程组联立,可以解出未知参数M0,M1,Mn,然后代入S(x)表达式,即可求得样条函数.,上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩,每一个方程中又至多出现相邻的三个Mi,通常称为三弯矩法.,求三次样条插值函数的步骤归纳为:,(1)确定边界条件,判定是第几型插值问题.,(2)根据所确定的条件计算各