第5章 拉氏变换分析习题课

.,内容摘要,拉氏变换的定义和收敛域典型信号的拉氏变换,三拉氏变换的基本性质,二单边拉氏变换逆变换的求法,一拉普拉斯变换,四用拉普拉斯变换法分析电路,五系统函数,系统函数的定义由零极点的决定系统的时域特性由零极点的分析系统的稳定性由零极点的分析系统的频响特性,部分分式展开法围线积分法,.,例4-1,求下列函数的拉氏变换,拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以表示单边拉氏变换,以表示双边拉氏变换。若文字中未作说明,则指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。,.,例4-2,4-2（a）,求三角脉冲函数如图4-2（a）所示的象函数,和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助基本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比较起见，本例用多种方法求解。,.,方法一：按定义式求解,方法二：利用线性叠加和时移性质求解,方法三：利用微分性质求解,方法四：利用卷积性质求解,.,方法一：,按定义式求解,.,方法二：,利用线性叠加和时移性质求解,于是,由于,.,方法三：利用微分性质求解,信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比较简单。,将微分两次，所得波形如图4-2（b）所示。,图4-2（b）,.,显然,根据微分性质,由图4-2（b）可以看出,于是,.,方法四：利用卷积性质求解,可看作是图4-2(c）所示的矩形脉冲自身的卷积,所以,于是，根据卷积性质,而,图4-2（c）,.,例4-3,应用微分性质求图4-3（a）中的,象函数,图4-3（a）,的导数,的波形。,下面说明应用微分性质应注意的问题，图4-3（b）是,.,（1）对于单边拉氏变换,故二者的象,函数相同，即,.,这是应用微分性质应特别注意的问题。,因而,.,由图4-3（b）知,.,例4-4,某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的激励信号作用于系统。,为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出,.,则,阶跃响应,.,例4-5,电路如图4-5（a）所示,（1）求系统的冲激响应。,（3）求系统的起始状态，,使系统的零输,（2）求系统的起始状态,入响应等于冲激响应。,.,（1）求系统的冲激响应。,利用s域模型图4-5（b）可直写出图4-5（a）电路的系统函数,冲激响应,.,（2）求系统的起始状态,为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的s域模型。下面我们用s域模型求解。图4-5(a)电路的s域模型如图4-5(b)。,由图4-5(b)可以写出,.,上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和相等，从而得,故系统的起始状态,.,通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一部分，因此，改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。,.,（3）求系统的起始状态,从而求得系统的起始状态,.,例4-6,用拉普拉斯变换分析法求下列系统的响应r1(t)和r2(t)。已知r1(0)=2，r2(0)=1，e(t)=u(t)。,.,解：对方程组求拉氏变换，有：SR1(s)-r1(0)+2R1(s)-R2(s)=1/S(1)-R1(s)+SR2(s)-r2(0)+2R2(s)=0(2)联立（1）和（2）求解得R1(s)=2/(3S)+1/(S+1)+1/3(S+3)R2(s)=1/(3S)+1/(S+1)-1/3(S+3)所以：r1(t)=(2/3)u(t)+e-tu(t)+(1/3)e-3tu(t)r2(t)=(1/3)u(t)+e-tu(t)-(1/3)e-3tu(t)即为所求。,.,例4-7,已知某LTI系统的系统函数为,初始条件为r(0)=2，r(0)=1，求输入e(t)=e-tu(t)时的全响应。,.,设：rzi(t)=c1e-2t+c2e-3t，代入初始条件得：c1=7，c2=-5所以，rzi(t)=(7e-2t-5e-3t)u(t)E(s)=1/(S+1)，R(s)=H(s)E(s)=(S+5)/(S+1)(S+2)(S+3)R(s)=2/（S