第6章交流电路的频率特性

.,第6章交流电路的频率特性,6.1串联谐振电路6.2并联谐振电路6.3认识非正弦周期信号6.4滤波器,.,6.1串联谐振电路,由第5章的5.3节和5.4节可知，当满足一定条件时，RLC串联电路或RLC并联电路会产生谐振现象。此时，电路呈现纯阻性，其电抗或电纳为零。6.1.1串联谐振现象6.1.2串联谐振特性6.1.3串联谐振曲线6.1.4串联谐振的通频带,.,6.1.1串联谐振现象,实验6-1：串联谐振由实验可知，在图示电路参数下，谐振频率在5kHz左右，此时的相位差为0。当偏离谐振频率时，幅度将下降，且偏离越远下降越多。相位差也会随着谐振频率的偏离而增大。观察电压与电流波形可见，当输入频率大于谐振频率时，电压与电流的相位差为正；反之，当输入频率小于谐振频率时，电压与电流的相位差为负。,.,6.1.1串联谐振现象,当改变L或C的参数时，谐振频率将随之发生改变。而当改变R的参数时，谐振频率不变，但幅频特性曲线的尖锐程度将有所改变。这些实验现象将在下面的内容中一一进行讨论。,.,6.1.1串联谐振现象,如图所示为RLC串联电路的相量模型，其复阻抗为当，即时，X=0，Z=R，电路为纯阻性。此时，与同相，这种现象称为串联谐振。,.,6.1.1串联谐振现象,当电路参数一定时，定义为电路的固有角频率或固有频率。固有频率(或角频率)只由电路参数L、C决定，与电源频率无关。,.,6.1.1串联谐振现象,当电源频率(或角频率)等于电路的固有频率(或频率)，即=0时，电路谐振。当电源频率一定时，可以通过改变C(或L)的值，使电路的固有频率等于电源频率，从而使电路谐振。这个过程称为调谐。,.,6.1.2串联谐振特性,(1)谐振时电路的阻抗最小，且为纯电阻。谐振时，电路的电抗为0，则可见，此时的阻抗最小，且为纯电阻。(2)谐振时电路的电流最大，且与端口电压同相。谐振时，可见，此时电压与电流同相。由于谐振时的阻抗最小，则此时的电流最大。,.,6.1.2串联谐振特性,(3)谐振时，感抗与容抗相等且等于电路的特性阻抗。谐振时，电抗X=0，则式中，称为谐振电路的特性阻抗，它只与L、C有关，是衡量电路特性的一个重要参数，单位为欧姆()。,.,6.1.2串联谐振特性,(4)谐振时，电感元件与电容元件上的电压大小相等，相位相反，其值远大于端口电压。谐振时，感抗与容抗都相等，则其端电压也相等，即定义为电路的品质因数，它与R、L、C的参数有关。,.,6.1.2串联谐振特性,通常情况下，Q1，即UL0=UC0=QUU。所以串联谐振又被称为电压谐振。由于这两个电压相位相反，相互抵消，其和相量为零。端口电压等于电阻电压，即需要注意的是，电子通信技术中，信号较小，需要通过谐振获得较大的信号。但在电力系统中，需要避免出现谐振现象，因为谐振时过大的电压和电流将会损坏电气设备。,.,6.1.2串联谐振特性,(5)谐振时，电源提供的能量全部被电阻所消耗。谐振时，端口电压与电流同相。根据交流电路平均功率的定义可知，此时电路消耗的功率为电压与电流有效值的乘积，即电源提供的能量全部由电阻所消耗。电感元件和电容元件之间存在着磁场和电场能量的相互转换，不需要电源提供无功功率。,.,6.1.2串联谐振特性,例6-1RLC串联谐振电路中，已知R=10，L=25mH，C=1F，U=10mV，试求：(1)f0、和Q；(2)I0、UR0、UL0和UC0。,.,6.1.2串联谐振特性,解：(1)谐振频率特性阻抗品质因数,.,6.1.2串联谐振特性,(2)谐振电流电阻电压电感电压和电容电压,.,6.1.3串联谐振曲线,1频率特性曲线电路中的电压、电流和阻抗随正弦信号的频率而变化的关系称为频率特性或频率响应。其中复数量的模随频率变化的关系称为幅频特性，相位角随频率变化的关系称为相频特性。用来表示幅频特性和相频特性的曲线称为幅频特性曲线和相频特性曲线。,.,6.1.3串联谐振曲线,对于RLC串联电路，其复阻抗为它的幅频特性与相频特性分别为,.,6.1.3串联谐振曲线,对应的幅频特性与相频特性曲线如图所示。由图可知，谐振时，阻抗角为0，此时端口电压与电流同相，RLC串联电路呈纯阻性；当0，阻抗角大于0，此时端口电压超前于电流，RLC串联电路呈感性。,.,6.1.3串联谐振曲线,2电流通用谐振曲线RLC串联电路的电流有效值为,.,6.1.3串联谐振曲线,可得式中，为工作频率与谐振电路固有频率之间的频率差。,.,6.1.3串联谐振曲线,如图(a)所示为电流谐振曲线，图(b)所示为以为自变量，为因变量，以Q为参变量的谐振曲线，称为通用谐振曲线。由图可见，Q值越大，谐振曲线越尖锐，选择性越好。,.,6.1.4串联谐振的通频带,当信号源频率f偏离电路固有频率f0时，Q值越大，信号就衰减得越快。这有利于从众多不同频率的信号中选择出所需频率信号而抑制掉其他信号的干扰。若实际信号不是单一频率，而是具有一定的频率范围。这种情况下，就不能片面提高电路的Q值，而应该保证在这一频率范围内信号能够无损耗的通过，其他频率却被抑制，如图(a)所示。,.,6.1.4串联谐振的通频带,这种理想的谐振曲线在实际应用中是很难实现的，只能设法将频率失真控制在允许的范围内。在实际应用中，把电流的频率范围称为该电路的通频带，用BW来表示。通常认为，通频带内的频率失真可以接受。,.,6.1.4串联谐振的通频带,如图(b)可得由通用幅频特性可得则,.,6.1.4串联谐振的通频带,由上式可知，RLC串联电路的通频带与谐振频率成正比，与品质因数成反比。即谐振频率越高，通频带越宽。品质因数越高，选择性越好，通频带越窄。在实际应用中，谐振电路的通频带应等于或略大于信号的频带。,.,6.1.4串联谐振的通频带,例6-2RLC串联电路中，已知谐振频率f0=1MHz，R=10，若需要通频带BW=10kHz。试求：(1)L和C。(2)当频率偏移10%时的。,.,6.1.4串联谐振的通频带,解：(1)品质因数为,.,6.1.4串联谐振的通频带,(2)时，有,.,6.2并联谐振电路,串联谐振电路虽然可以选频，但只适用于内阻较小的信号源。当内阻较大时，将导致电路的Q值急剧下降，从而使电路的选择性变差。在这种情况下，可以使用并联谐振电路。,.,6.2并联谐振电路,6.2.1GCL并联谐振电路6.2.2RLC并联谐振电路6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,.,6.2.1GCL并联谐振电路,实验6-2：GCL并联谐振由实验可知，在图示电路参数下，谐振频率在5kHz左右，此时的相位差为0。当偏离谐振频率时，幅度将下降，且偏离越远下降越多。相位差也会随着对谐振频率的偏离而增大。,.,6.2.1GCL并联谐振电路,如图所示为GCL并联谐振电路的相量模型，其复导纳为比较RLC串联谐振电路的特性，可得以下结论：,.,6.2.1GCL并联谐振电路,(1)谐振条件与谐振频率当B=0，即时，Y=G，为纯电导。此时，端口电压与电流同相。由谐振条件可得谐振频率为或，与串联谐振电路相同。,.,6.2.1GCL并联谐振电路,(2)谐振时，并联谐振电路的谐振阻抗最大，且当总电流不变时，电路的端电压最大。由于谐振时，复导纳最小，则其复阻抗最大。此时端电压，为最大。,.,6.2.1GCL并联谐振电路,(3)谐振时，电感支路与电容支路的电流大小相等，相位相反。定义为GCL并联电路的品质因数。,.,6.2.1GCL并联谐振电路,(4)失谐时，当0时，电路呈容性，此时端口电压滞后于电流。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,在实际使用中，通常不存在理想的电感元件。实际的电感线圈在使用中多会消耗电能，即实际的电感线圈可以等效为电感元件与电阻元件相串联。由电感线圈与电容元件相并联的谐振电路实际上为RL-C并联谐振电路。电感线圈的品质因数为，通常情况下，Q1。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,1.RLC并联谐振条件及谐振频率实验6-3：RLC并联谐振由实验可知，在图示电路参数下，谐振频率在5kHz左右，此时的相位差为0。当偏离谐振频率时，幅度将下降，且偏离越远下降越多。相位差也会随对谐振频率的偏离而增大。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,图(a)所示为RL-C并联谐振电路的相量模型，它可以等效为如图(b)所示的GCL并联谐振电路。由阻抗与导纳的关系可将RL串联支路等效为RL相并联，即,.,6.2.2RLC并联谐振电路,比较图(b)与GCL并联电路图可得以下结论：当B=0，即时，为纯电导。此时，端口电压与电流同相，发生谐振。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,由谐振条件，得可得谐振频率为当RL-C并联谐振电路的品质因数即0LR时，谐振条件简化为谐振角频率为,.,6.2.2RLC并联谐振电路,特性阻抗为谐振阻抗为,.,6.2.2RLC并联谐振电路,2RLC并联谐振特性(1)谐振时，电路的阻抗最大，且为纯电阻。谐振时，电路的电抗为0，则可见，此时电路的复导纳最小，其复阻抗最大。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,(2)发生并联谐振且当电源为电流源时，电路的端口电压最大，且与电路的总电流同相。谐振时，端电压，为最大。(3)谐振时，电感支路与电容支路的电流大小近似相等，相位相反，且为电路总电流的Q倍。谐振时，RL-C并联谐振电路的相量图如图所示。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,在Q1的情况下，有即。因此，并联谐振也称为电流谐振。,.,6.2.2RLC并联谐振电路,(4)失谐时，当0时，电路呈容性，端口电压滞后于电流。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,1通用谐振特性与RLC串联谐振电路相似，可以推导出GCL并联谐振电路和RL-C并联谐振电路在Q1的情况下的通用谐振特性。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,以RL-C并联电路为例，如图(a)所示，在Q1时，端口电压为,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,当电路谐振时，端口电压为由上两式可得同理，GCL并联电路也可以推导出如上式所示的通用谐振特性。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,式中，对于GCL并联谐振电路，对于Q1的情况下的RL-C并联谐振电路比较串联谐振与并联谐振的通用谐振曲线可见，等式右边是完全相等的，所以并联谐振电路的通用谐振特性曲线和串联谐振电路的通用谐振特性曲线具有相同的形状，只要将图中的纵坐标换为即可。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,2通频带由通用谐特性，根据通频带的定义，可知并联谐振电路的通频带计算方法与串联谐振电路的通频带相同，即,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,3信号源内阻对品质因数的影响以上讨论，没有考虑信号源内阻RS和负载电阻RL对电路的影响，认为信号源内阻和负载电阻均为无穷大。但实际上，当外接信号源和负载后，其信号源内阻RS和负载RL将使整个电路的品质因数下降。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,根据前面的讨论，可以将图(a)所示的RL-C并联谐振电路近似等效为如图所示的RLC并联谐振电路。不接信号源和负载时的品质因数称为空载品质因数。当接入信号源和负载后，品质因数称为有载品质因数QL。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,不接负载时，由前面的讨论可知，可推导得由Z0表示的空载品质因数。接入信号源和负载后，谐振电阻变化为有载品质因数为,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,可见，接入信号源和负载后，谐振电阻将减小，QL也将减小。这会使谐振电路的选择性变差，通频带变宽。信号源内阻RS和负载RL越大，越接近于Z0，有载品质因数QL就越接近于空载品质因数Q0，选择性的变化将不大。因此，并联谐振电路适用高内阻的信号源，即电流源供电。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,例6-3已知一个L=100H，R=10的线圈与C=100pF的电容相并联，试求：(1)谐振角频率0，谐振阻抗Z0，线圈的空载品质因数Q0，电路的通频带BW；(2)若信号源电流的有效值IS=1mA，则谐振时端口电压U0、线圈电流IL0及谐振时电路吸收的功率P为多少？(3)若信号源内阻RS=100k，电路的通频带BW。,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,解：(1)谐振角频率谐振阻抗空载品质因数,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,电路的通频带(2)谐振时端口电压线圈上的电流吸收的功率,.,6.2.3并联谐振电路的谐振曲线与通频带,(3)有载品质因数通频带,.,6.3认识非正弦周期信号,6.3.1非正弦周期信号的产生6.3.2非正弦周期信号的组成6.3.3非正弦周期信号的有效值6.3.4非正弦周期电流电路,.,6.3.1非正弦周期信号的产生,实验6-4a：非正弦周期信号的产生前面已经介绍了正弦周期电路的分析。在实际的电子电路中使用的信号多数为非正弦周期信号。这些非正弦信号产生的原因主要有：1两个及以上的正弦信号相叠加而成为非正弦周期信号，如图所示。,.,两个不同频率的正弦信号合成的非正弦信号,.,6.3.1非正弦周期信号的产生,实验6-4b：非正弦周期信号的产生2某些信号本身就是非正弦周期信号，如方波、三角波、锯齿波等，如图所示。,.,6.3.1非正弦周期信号的产生,实验6-4c：非正弦周期信号的产生3正弦信号通过特定电路或元件后，将变为非正弦周期信号，如图所示。,.,6.3.2非正弦周期信号的组成,数学上已经介绍过，如果给定的函数是周期性的，同时满足狄里赫利条件，都可以分解为傅立叶级数。电工和无线电技术中所遇到的周期函数，通常都能够满足狄里赫利条件。通过傅立叶变换，可以将非正弦周期信号变换为一系列正弦信号之和。,.,6.3.2非正弦周期信号的组成,各种周期为T的非正弦周期信号可以分解为如下式所示的通式。式中其中第一项A0为非正弦周期信号的直流分量，也称为零次谐波。,.,6.3.2非正弦周期信号的组成,k=1时，对应的频率分量等于非正弦周期信号的重复频率，称为一次谐波分量，也称为基波分量。k=2时，对应的频率分量等于非正弦周期信号的重复频率的2倍，称为二次谐波分量。以此类推，k=n时，对应的频率分量等于非正弦周期信号的重复频率的n倍，称为n次谐波分量。,.,6.3.2非正弦周期信号的组成,理论上说，非正弦周期信号可以分解为无数个不同频率的正弦分量，这些分量包括直流分量和各次谐波分量，各次谐波分量的频率是非正弦周期信号重复频率的正整数倍。几种常见的非正弦周期信号的傅立叶级数展开式列于书上表6-1中。由表可知，从总体趋势看，非正弦周期信号的谐波次数越高，其幅度越小。即越高次谐波对非正弦周期信号的影响越小。,.,6.3.3非正弦周期信号的有效值,与正弦信号相似，非正弦周期信号的有效值定义为：若非正弦周期电流i在时间T中通过电阻R消耗的热能与直流电流I在相同时间通过相同电阻消耗的热能相同，则将直流电流I称为非正弦周期电流i的有效值。即将非正弦周期电流的通式代入上式，推导得,.,6.3.3非正弦周期信号的有效值,式中，I0为非正弦周期电流i的直流分量，I1m、I2m等为i的各次谐波分量的振幅值，I1、I2等为i的各次谐波分量的有效值。,.,6.3.3非正弦周期信号的有效值,同理可得结论：非正弦周期信号的有效值等于其各次谐波分量(包括直流分量)有效值的平方和的平方根。,.,6.3.3非正弦周期信号的有效值,例6-4已知某非正弦周期电压试求其有效值。解：由上式可得则,.,6.3.4非正弦周期电流电路,1.非正弦周期电路分析简介根据叠加定理，多个电源共同作用于线性电路时，其响应等于各个电源单独作用产生的响应的代数和。这个结论同样适用于非正弦周期电路。非正弦周期信号可以分解为各次谐波之和，将其作用于线性电路时，相当于多个不同频率的信号源共同作用于电路。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,在分析时，可以分别计算这些信号源单独作用于电路时的响应，再将其线性叠加。具体步骤如下：(1)将非正弦周期信号分解为直流分量和各次谐波分量之和。(2)求解直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。对于正弦激励的响应的求解方法与前面正弦交流电路的求解方法相同，可以使用相量法进行计算。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,需要注意的是，对于不同的谐波，R、L、C的阻抗是不同的。电阻R的大小不变，电感L的感抗将随着谐波次数的增加而增大，电容C的容抗将随着谐波次数的增加而减小。直流时，电感的感抗为0，相当于短路；电容的容抗为，相当于开路。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,k次谐波作用于电路时，R、L、C的阻抗如下：(3)将直流分量和各次谐波分量产生的响应瞬时值叠加即可得到所需的响应值。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,例6-5如图所示，已知R=10，L=10mH，C=25F，电压试求电路中的i(t)。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,解：由已知条件可知，u(t)由直流分量，一、二、三次谐波分量组成。直流分量单独作用时，U0=5V，由于此时电容相当于开路，则电流I0=0。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,一次谐波分量单独作用时，1=1000rad/s，则,.,6.3.4非正弦周期电流电路,二次谐波分量单独作用时，2=2000rad/s，则,.,6.3.4非正弦周期电流电路,三次谐波分量单独作用时，3=3000rad/s，则,.,6.3.4非正弦周期电流电路,由上例可知，对于不同频率的谐波分量，元件的阻抗有所不同。这就造成不同频率信号的幅度和相位变换不同。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,2.非正弦周期电路的功率非正弦周期信号作用于电路中，电路消耗的功率称为电路的有功功率，其定义为一个周期内电路瞬时功率的平均值，即,.,6.3.4非正弦周期电流电路,若将之代入定义式推导可得式中，U0、U1、Uk等为直流及各次谐波电压分量的有效值。I0、I1、Ik等为直流及各次谐波电流分量的有效值。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,u1、u2、uk等为各次谐波电压分量的初相位。i1、i2、ik等为各次谐波电流分量的初相位。由上式可得，非正弦周期电路消耗的功率等于各次谐波分量单独作用所消耗的功率之和。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,例6-6如例6-5所示电路，试求其电路消耗的功率。解：方法一：由前例可得，,.,6.3.4非正弦周期电流电路,则,.,6.3.4非正弦周期电流电路,方法二：由于电流流过RLC，而电容与电感不消耗电能，只有电阻才消耗电能。即电路消耗的功率就是电阻消耗的功率。电阻消耗的功率为其端电压有效值的平方除以电阻阻值或流过电阻的电流有效值的平方乘以电阻阻值。,.,6.3.4非正弦周期电流电路,对于本例，使用电流比较方便，则,.,6.4滤波器,如前节所述，由于各种原因，电路中可能出现各种非正弦周期信号。在某些情况下，需要从非正弦周期信号的各个频率分量中选取某些频率的信号，这就需要滤波器。滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。,.,6.4滤波器,滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带之间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带。,.,6.4滤波器,滤波器按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。按所采用的元器件分为无源和有源滤波器两种。,.,6.4.1低通滤波器,实验6-5：低通滤波器的特性由实验可知，直流时输出电压的幅度与输入电压的幅度完全相同。交流时，在输入电压幅度不变的前提下，随着输入电压频率的增加，输出电压幅度将减小。同时输出电压滞后于输入电压的相位将随着频率的增加而增大。可见，该RC电路允许信号中的低频或直流分量通过，而抑制高频分量或干扰。此即为低通滤波器的特性。,.,6.4.1低通滤波器,如图(a)所示为基本无源RC低通滤波电路，由交流串联电路的分压特性可知，电路的传输特性为,.,6.4.1低通滤波器,根据通频带的定义，可以推导出其通频带为由此可得，当角频率时，可认为信号可以通过。其中，称为上限角频率，称为上限频率。,.,6.4.1低通滤波器,图(a)所示为一阶滤波电路。如图(b)所示为二阶滤波电路。通过推导可得：比较一、二阶RC低通滤波电路的传输特性可知，随着频率的增加，二阶滤波器输出电压下降得更快。即二阶RC滤波电路的滤波效果更好。,.,一、二阶低通滤波器的幅频特性曲线,.,6.4.2高通滤波器,实验6-6：高通滤波器的特性由实验可知，直流时输出电压的幅度为零。交流时，在输入电压幅度不变的前提下，随着输入电压频率的增加，输出电压幅度将增加。同时输出电压超前于输入电压的相位将随着频率的增加而减小。可见，该RC电路允许信号中的高频分量通过，而抑制低频分量或直流分量。此即为高通滤波器的特性。,.,6.4.2高通滤波器,如图(a)所示为基本无源RC高通滤波电路，由交流串联电路的分压特性可知，电路的传输特性为,.,6.4.2高通滤波器,根据通频带的定义，可以推导出其通频带为由此可得，当角频率时，可认为信号可以通过。其中，称为下限角频率，称为下限频率。如图所示为高通滤波器的幅频特性曲线。,.,6.4.3带通滤波器,实验6-7：带通滤波器的特性由实验可知，在输入电压幅度不变的前提下，频率很低时，输出电压幅度随着频率的增加而增加；频率较高时，输出电压幅度随着频率的增加而减小。可见，该RC电路允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号和干扰。此即为带通滤波器的特性。,.,6.4.3带通滤波器,如图(a)所示为基本无源RC带通滤波电路，由交流串联电路的分压特性可知，电路的传输特性为,.,6.4.3带通滤波器,由上式可知，当，即时，输入与输出电压同相，此时，输出电压最大，为谐振状态。0称为谐振角频率。当偏离0时，将减小。其幅频特性曲线如图(b)所示。,.,6.4.3带通滤波器,RC带通滤波器的谐振频率通常不是很高，其选频特性较差。前面所介绍的LC串、并联谐振电路也是带通滤波器。相较于RC带通滤波器，LC谐振电路的谐振频率更高，选频特性更好。,.,6.4.4带阻滤波器,实验6-8：带阻滤波器的特性由实验可知，在输入电压幅度不变的前提下，频率较低或频率较高时，输出电压都比较高，而在中间的某一段频率处，输出