第6章-梁的内力

.,1,建筑力学,第六章梁的内力,梁的计算简图梁的内力及其求法梁的内力图弯矩、剪力与荷载集度间的关系叠加法作剪力图和弯矩图,.,2,建筑力学,起重机大梁,.,3,建筑力学,镗刀杆,.,4,车削工件,建筑力学,.,5,建筑力学,火车轮轴,弯曲特点：以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。,.,6,建筑力学,工程中大多数的梁，其横截面都具有对称轴，如图所示。对称轴与梁的轴线构成的平面称为纵向对称面。若作用在梁上的外力或外力偶都作用在纵向对称面内，且外力垂直于梁的轴线，则梁在变形时，其轴线将在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲变形称为平面弯曲。,9.1弯曲的概念,.,7,建筑力学,9.2梁的类型,根据梁的支座反力能否全部由静力平衡条件确定，将梁分为静定梁和超静定梁。静定梁又可分为单跨静定梁和多跨静定梁。,（1）简支梁的一端为固定铰支端，另一端为活动铰支座。（2）外伸梁其支座形式和简支梁相同，但梁的一端或两端伸出支座之外。（3）悬臂梁梁的一端固定，另一端自由。,单跨静定梁按支座情况分三种类型：,.,8,建筑力学,9.3梁的内力及其求法,剪力与弯矩,1、计算梁支座反力,求解梁横截面内力的步骤如下：,以简支梁受集中荷载为例(如右图所示)，由平衡方程得：,同理可得：,.,9,建筑力学,2、用截面法求剪力及弯矩,假想用截面将梁截开，研究左段，由，得截面内必有竖向力Fs，且Fs=FA。再由得，横截面上必有弯矩M，且M=FAC。当左段梁若平衡，横截面上必有两个内力分量：平行于横截面的竖向内力Fs以及位于荷载作用面的内力偶M。内力Fs称梁横截面内的剪力，而内力偶M称为梁横截面内的弯矩。,若以右段梁为研究对象，由作用力与反作用力定律可知，右段梁横截面上的内力值仍为Fs和M，指向与左段梁横截面上的内力指向相反。,.,10,建筑力学,剪力与弯矩的正负号规定,正剪力：截面上的剪力使研究对象作顺时针方向的转动；负剪力：截面上的剪力使研究对象作逆时针方向的转动。,1、剪力的正负号,正弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凹下凸的形状；负弯矩：截面上的弯矩使该截面附近弯成上凸下凹的形状。,2、弯矩的正负号,.,11,建筑力学,计算指定截面的剪力、弯矩值,（1）计算支座反力。（2）用假想的截面在欲求内力处将梁截成两段，取其中一段为研究对象。（3）画出研究对象的内力图。截面上的剪力和弯矩均按正方向假设。（4）建立平衡方程，求解剪力和弯矩。,利用截面法计算指定截面的剪力和弯矩的步骤如下：,.,12,例,简支梁如图所示，已知P1=36kN，P2=30kN，试求截面上的剪力和弯矩。,解：（1）计算支座反力(以整个梁为研究对象),解之得：,（2）计算截面的内力(取左段为研究对象),解之得：,.,13,例,简支梁受均布荷载q和集中力偶M=ql2/4的作用，如图所示。求截面C的剪力和弯矩。,解：（1）计算支座反力(以整个梁为研究对象),解之得：,在求截面C的内力时，由于截面C处有集中力偶，故截面C稍左和稍右两截面的内力可能不同，故分别计算截面C处左、右两个截面的内力值。,.,14,（2）计算截面C稍左处的剪力FsL、弯矩MCL。,解之得：,（3）计算截面C稍右处的剪力FsR、弯矩MCR。,解之得：,.,15,建筑力学,(1)梁内任一截面上的剪力，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力的代数和；梁内任一截面的弯矩，其大小等于该截面左侧(或右侧)梁上所有外力对于该截面形心之矩的代数和。(2)外力对内力的符号规则：左上右下(顺时针)，剪力为正；左顺右逆(上凹下凸)，弯矩为正。(3)代数和的正负，就是剪力或弯矩的正负。,计算剪力和弯矩的规律,.,16,9.4梁的内力图剪力图和弯矩图,建筑力学,剪力方程和弯矩方程,由前面的知识可知：梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁左端，x表示截面位置，则剪力和弯矩就随截面位置x的变化而变化，剪力和弯矩是关于x的函数，这个函数表达式就是剪力方程和弯矩方程，即：,剪力图和弯矩图,为了形象地表示剪力和弯矩随着截面位置的变化规律，从而找出最大弯矩、最大剪力在梁上的位置，仿照轴力图或扭矩图的做法，绘制出剪力、弯矩图。,.,17,建筑力学,绘制剪力图和弯矩图的步骤：,(1)求支座反力：以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座情况，由静力平衡方程求出支座反力。(2)将梁分段：以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分段。(3)列出各段的剪力方程和弯矩方程：各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。(4)画剪力图和弯矩图：先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。,.,18,例,下图为梁结构，在全梁上受分布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力由于荷载对称，支座反力也对称，就有,（2）列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端A点处，距原点A点处为x处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为：,.,19,（3）画剪力图和弯矩图,由上式可见，Fs(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线。如下图所示。,l/2,弯矩图,从所作的剪力图和弯矩图可知，最大剪力发生在梁端而最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值分别是Fmax=ql/2，Mmax=ql2/8。,.,20,下图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载P作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。,例,解：（1）计算支座反力由静力平衡方程求出支座反力，可得,（2）列剪力方程和弯矩方程坐标原点取在左端B点处，其剪力方程和弯矩方程为：,（3）画剪力图和弯矩图,剪力图,弯矩图,剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力；弯矩的最大值发生在固定端.,.,21,例,简支梁受集中力P作用如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力由静力平衡方程求出支座反力，可得,（2）列剪力方程和弯矩方程梁在C点处有集中荷载P作用，AC和BC两段所受力不同，故需分段考虑，取梁A端为坐标原点，,解之得：,.,22,AC段：,解之得：,BC段：,解之得：,（3）画剪力图和弯矩图,剪力图,弯矩图,.,23,9.5弯矩、剪力与荷载集度间的关系,建筑力学,设梁上有任意分布的荷载q(x)，规定向上为正，x轴坐标原点取在梁的左端，在x截面处取一微段梁dx。由于梁整体处于平衡状态，则微段梁也处于平衡状态。,由平衡方程得，,（9-1）,.,24,建筑力学,由平衡方程得，,略去二阶微量，得,几何意义：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,（9-2）,将式（9-1）两端在AB梁段上积分，得,将式（9-2）两端在AB梁段上几分，得,上式表明，若AB段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上弯矩之差等于该段梁上剪力图的面积。,上式表明，若AB段梁上无集中力偶作用时，梁两端横截面上剪力之差等于该段梁上分布荷载的图形的面积。,.,25,建筑力学,梁的荷载图、剪力图及弯矩图之间的规律：,.,26,建筑力学,快速绘制剪力图和弯矩图,剪力图,结构图,弯矩图,.,27,建筑力学,结构图,剪力图,弯矩图,.,28,例,如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程得：,解之得：,（2）画剪力图,从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为A端、AB段、B端、BC段和C端。,.,29,A端有集中力FA作用，剪力图向上突变：FA=9/4qa；AB段有向下的均布荷载q作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负值，FB左=FA-q4a=-7/4qaB端有向上的集中力FB作用，剪力图向上突变：FB=3/4qa；BC段没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC=-qa。,（3）画弯矩图,从左向右作图，根据分段和分截面的原则，梁依次分为AB段和BC段。AB段：有向下的均布荷载q作用，弯矩图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有Fs=0的截面，需确定MA、MB和极值弯矩。,为计算极值弯矩，首先确定F=0的截面位置，距离左端A为x的任意截面F(x)=FA-qx，令F(x)=0，有：9/4qa-qx=0，可得：x=9/4a；该截面上的弯矩，即为极值弯矩：Mx=FAx-qx2/2=81/32qa2BC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MB和MC。,.,30,剪力图与弯矩图,.,31,例,如图所示，试画出该梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）计算支座反力以整梁为研究对象，由平衡方程得：,解之得：,（2）画剪力图,从左向右作图，全梁分为A端、AC段、C端、CD段、DB段和B端。,.,32,FA=30kNAC段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FC左=FA右=30kNC端：有向下的集中力F作用，剪力图向下突变F=20kNFC右=(30-20)kN=10kNCD段：没有均布荷载作用，剪力图为一条水平线：FD=FC右=10kNDB段：有向下的均布荷载q作用，剪力图为一条斜直线，斜率为负，FB左=-FB=-30kNB截面：有向上的集中力FB作用，剪力图向上突变：FB=30kN。,（3）画弯矩图,AC段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MA和MC。MA=0MC=FA2=302kNm=60kNm,CD段：没有均布荷载作用，弯矩图是一条斜直线，需确定MC和MD左。MD左=FA4-F2=(304-202)kNm=80kNmD截面：有逆时针方向的集中力偶M作用，弯矩图向上突变M=40kNm。MD右=MD左-M=(80-40)kNm=40kNm,.,33,DB段：有向下的均布荷载q作用，弯矩图为一条下凸的二次抛物线。由于该段内有Fs=0的截面，需确定MD右、MB和极值弯矩：MB=0,为计算极值弯矩，首先确定F=0的截面位置。设E截面的剪力Fs=0，由F图中相似三角形的比例关系有：1030=DEEB，得EB=3m,E截面上的弯矩，即为极值弯矩，其值ME=FB3-q31.5=(303-1031.5)kNm=45kNm,剪力图与弯矩图,.,34,9.6叠加法作剪力图和弯矩图,建筑力学,(1)在P、q共同作用时P(x)=-P-qxM(x)=-Px-1/2qx2,(2)在P单独作用时P(x)=-PM(x)=-Px(3)在q单独作用时q(x)=-qxM(x)=-1/2qx2,.,35,建筑力学,比较上面三种情况的计算结果有：Q(x)=QP(x)+Qq(x)M(x)=MP(x)+Mq(x)即在P、q共同作用时所产生的剪力P(或弯矩M)等于P与q单独作用时所产生的剪力P(或弯矩M)的代数和。叠加原理：如果需要确定的某一参数与荷载成线性关系，则由n个荷载共同作用时所引起的某一参数(反力、内力、应力、变形)等于各个荷载单独作用时所