第一节 导数的概念ppt课件

.,第二章导数与微分,第一节导数的概念,一、瞬时速度曲线的切线斜率,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、导函数,六、可导与连续的关系,四、导数的物理意义,.,1.变速直线运动的瞬时速度,如果物体作直线运动，,在直线上选取坐标系，,该物体所处的位置坐标s是时间t的函数，记为,s=s(t)，,则从时刻t0到t0+t的时间间隔内它的平均速度为,一、瞬时速度曲线的切线斜率,.,叫做物体在t0时刻的瞬时速度，简称速度，,在匀速运动中，,这个比值是常量，,但在变速运动中，它不仅与t0有关，,而且与t也有关，,很小时，,与在t0时刻的速度相近似.,如果当t趋于0时，,平均速度的极限存在，,则将这个极限值,即,当t,记作v(t0)，,.,点P是曲线L上的动点，,2.曲线切线的斜率,定义1设点P0是曲线L上的一个定点，,T,P0,P,x0,x0+x,N,当点P沿曲线L趋向于点P0时，,如果割线PP0的极限位置P0T存在，,则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线.,设曲线方程为y=f(x).,在点P0(x0,y0)处的附近取一点P(x0+x,y0+y).,那么割线P0P的斜率为,x,y,y=f(x),.,如果当点P沿曲线趋向于点P0时，割线P0P的极限位置存在，,即点P0处的切线存在，,此刻x0，,割线斜率tan趋向切线P0T的斜率tan，,即,切线定义,.,定义2设函数y=f(x)在点x0的一个邻域内有定义.,在x0处给x以增量x(x0+x仍在上述邻域内)，,函数y相应地有增量,y=f(x0+x)-f(x0)，,二、导数的定义,.,则称此极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数.,即,此时也称函数f(x)在点x0处可导.,有时为了突出自变量x，又叫函数f(x)对x的导数，记为.,如果上述极限不存在，则称f(x)在x0处不可导.,.,例1求函数f(x)=x2在x0=1处的导数，即f(1).,解第一步求y：,y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2-12,=2x+(x)2.,第三步求极限：,所以f(1)=2.,第二步求：,.,函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率,即,tan=f(x0).,y=f(x),x0,P,三、导数的几何意义,.,法线方程为,其中y0=f(x0).,y-y0=f(x0)(x-x0).,由此可知曲线y=f(x)上点P0处的切线方程为,.,例2求曲线y=x2在点(1,1)处的切线和法线方程.,解从例1知(x2)|x=1=2,即点(1,1)处的切线斜率为2，,所以,切线方程为,y1=2(x-1).,即,y=2x-1.,法线方程为,即,.,从导数的几何意义可知：,导数的绝对值|f(x0)|越小，曲线在该点附近越平缓.,导数的绝对值|f(x0)|越大，曲线在该点附近越陡；,.,四、导数的物理意义,对于不同的物理量有着不同的物理意义.,例如变速直线运动路程s=s(t)的导数，就是速度，即s(t0)=v(t0).,我们也常说路程函数s(t)对时间的导数就是速度.,例如变速直线运动速度v=v(t)的导数，就是加速度，即v(t0)=a(t0)，,即速度函数v(t)对时间的导数就是加速度.,.,例3求函数y=x2在任意点x0(,)处的导数.,解,y=f(x0+x)-f(x0)=(x0+x)2-x02,=2x0x+(x)2.,五、导函数,第二步求：,求法与例1一样.,第一步求y：,.,第三步取极限：,即,有了上式，求具体某一点，如x0=1处导数，就很容易了，只要将x0=1代入即得,.,它的计算公式是：,例3表明，给定了x0就对应有函数f(x)=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，,f(x)=x2的导函数，它的表达式就是,(x2)=2x.,一般地，函数f(x)的导函数记作f(x)，,叫做函数,注意：计算极限过程中x是不变的.,.,类似例3，我们可以得xn(n为整数)的导函数，,当n为任意实数时，上式仍成立，即,(xn)=nxn-1.,(x)=x-1.,.,例4求f(x)=sinx的导函数(x(，).,解,即,(sinx)=cosx.,(cosx)=-sinx.,类似可得,.,例5求f(x)=lnx(x(0,)的导函数.,解,即,类似可得,.,解,例6求f(x)=ex(x(-,)的导函数.,即,(ex)=ex.,类似可得,(ax)=axlna.,.,例7问曲线y=lnx上何处的切线平行直线y=x+1？,解设点(x0,y0)处的切线平行直线y=x+1，,根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知,即x0=1，代入y=lnx中，得y0=0，,所以曲线在点(1,0)处的切线平行直线y=x+1.,.,存在，则称此极限值为f(x)在点x0处的左导数，记作f-(x0)；,定义3,则称此极限值为f(x)在点x0处的右导数，记作f+(x0).,显然，f(x)在x0处可导的充要条件是f-(x0)及f+(x0)存在且相等.,定义4如果函数f(x)在区间I上每一点可导，则称f(x)在区间I上可导.,如果,同样，,如果I是闭区间a,b，则端点处可导是指f+(a)、f-(b)存在.,.,定理如果函数y=f(x)在点x0处可导,则f(x)在点x0处连续，其逆不真.,证,其中y=f(x0+x)-f(x0)，,所以,六、可导与连续的关系,即函数f(x)在点x0处连续.,但其逆不真，即函数f(x)在点x0处连续，,而函数f(x)在点x0处不一定可导.,.,例8讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.,解y=f(0+x)-f(0),=|0+x|-|0|,=|x|，,.,即f(x)=|x|在x0=0处连续，,存在，,在x0=0处左、右导数不相等，所以在x=0处函数y=|x|不可导.,