第5章 频率特性

.,1,第5章频率特性法,5.1频率特性的基本概念5.2极坐标图（奈氏图）5.3伯德图5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.6系统频率特性与时域性能的关系5.7MATLAB用于频域分析,.,2,5.1频率特性的基本概念,5.1.1频率响应,在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态响应称为频率响应。,设线性定常系统的传递函数为,则,.,3,对于稳定系统，有,表明：对于一般的线性系统（或元件）输入正弦信号时，系统的稳态输出信号，即频率响应是与输入同频率的正弦信号，但幅值和相位不一样。,.,4,5.1.2频率特性的定义,定义：系统频率响应与输入信号的复数比称为频率特性，常用或表示：,称为的幅频特性，它等于频率响应输出幅值与输入信号幅值之比；,称为的相频特性，它是稳态输出对输入的相位移。,.,5,将传递函数中的s用代替即得系统的频率特性。,频率特性的幅值和相位都是随而变化，即频率特性反映了系统对不同频率信号的响应特性，描述了系统对不同频率正弦信号的传递能力。频率特性与微分方程和传递函数一样，是系统在在频域的数学模型，它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。,各种数学模型之间的关系,.,6,例:RC电路网络是一个惯性环节，其传递函数为,其频率特性为,其稳态输出为:,所以有,练习：作业5-1,.,7,5.1.3频率特性的表示,频率特性的解析式,频率特性是复变函数，它在复平面上的向量如图所示表示，它可以用以下几种形式的解析式表示。,幅频-相频形式：,指数形式：,三角函数形式：,实频-虚频形式：,.,8,2.频率特性常用的图形,幅频特性、相频特性图,在直角坐标系内，以频率为横坐标，分别作出的幅频、相频特性曲线。,极坐标图,也称幅相特性图、奈奎斯特（Nyquist）图，简称奈氏图,它是当由0变化到时，向量端点在复平面上运动形成的轨迹，也称为的极坐标曲线图。,由表5-1数据绘制出的RC网络的极坐标图：,.,9,（3）伯德（Bode）图,伯德图,纵坐标均按线性分度,横坐标是角频率，按分度，10倍频程，用dec表示。,又称对数频率特性图,由表5-1数据绘制出的RC网络的伯德图：,.,10,5.2极坐标图（奈氏图）,5.2.1典型环节的奈氏图,控制系统所包含的典型环节有：比例、积分、惯性、振荡、微分、一阶微分、二阶微分以及延迟等环节。,.,11,振荡环节是控制系统中很常见的环节，需要注意它的频率特性有几个特点：,（3）相频特性须分低频和高频两种计算,（4）幅频特性的最大值点,也称为谐振点：,.,12,5.2.2控制系统开环奈氏图,概略绘制开环奈氏图方法:,1)确定开环奈氏图的起点和终点,2)确定开环奈氏图与负实轴的交点,3)确定开环奈氏图的变化趋势,用奈氏图对控制系统进行分析和设计时，只要概略绘制的奈氏图便可。,.,13,起点：,终点：,1)确定开环奈氏图的起点和终点,设系统（最小相位系统）的开环频率特性为：,起点位置与系统类型有关,终点相角与(n-m)有关,开环奈氏图的起点,开环奈氏图的终点,.,14,2)确定开环奈氏图与负实轴的交点,有两种方法：,（1）频率特性用幅频-相频形式表示时，令，解得交点频率后代入幅频特性中求出对应的幅值.（2）频率特性用实频-虚频形式表示时，令得交点频率后代入频率特性的实部中求出对应实部.,3)确定开环奈氏图的变化趋势,由频率特性的幅频、相频或实频、虚频确定奈氏图以何种趋势、单调性由起点进入终点，或图所在的象限区。,.,15,解系统的幅频特性和相频特性为,1)起点和终点,起点：,终点：,2)负实轴穿越点,即，,奈氏图与实轴交于,由以上计算和分析作出系统的奈氏曲线如图。,3)负相角增大趋势，,.,16,5.3伯德图,伯德图实现了横坐标的非线性压缩，伯德图采用了对数，将幅值的乘除运算简化为加减运算，大大简化了频率特性的计算。这些特点使伯德图成为了控制系统设计的有效工具，得到了广泛的应用。,将系统的传递函数按典型环节分解,式中，N为典型环节的个数。,则系统频率特性为,系统对数幅频特性为,典型环节的对数频率特性叠加,.,17,5.3.1典型环节的伯德图,1比例环节,其对数幅频特性和对数相频特性分别为,是一条高度为的水平线。,对数相频特性是0度线。,.,18,2积分、微分环节,积分、微分环节的频率特性,对数幅频特性是一条斜线，斜率为：,对数相频特性是一条水平直线：,.,19,3.惯性环节,惯性环节的对数幅频和相频特性,对数幅频特性渐近线：,低频渐近线，,高频渐近线，,在转折频率处有最大误差,是一条斜率为20dB/dec的直线,可采用逐点计算描点或模板的方法绘制对数相频特性。,.,20,4.一阶微分环节,一阶微分环节的对数幅频和相频特性,一阶微分环节和惯性环节的频率特性互为到数，它们的对数幅频特性和对数相频特性都相差一个符号，所以一阶微分环节的伯德图和惯性环节的伯德图对称于横坐标。,.,21,5振荡环节,振荡环节的对数幅频和相频特性,对数幅频特性渐近线：,低频渐近线，,高频渐近线，,在转折频率处有最大误差,与阻尼比有关,.,22,6.二阶微分环节,二阶微分环节的对数幅频和相频特性,二阶微分环节和振荡环节的频率特性互为到数，它们的对数幅频特性和对数相频特性都相差一个符号，所以二阶微分环节的伯德图和振荡环节的伯德图对称于横坐标。,.,23,7延时环节,对数幅频特性和相频特性分别为,.,24,5.3.2控制系统开环伯德图,作系统开环伯德图的步骤为：,（1）转折频率标注。将传递函数进行典型环节分解，将各典型环节的转折频率由小到大依次标注在频率轴上。,（2）绘制低频段渐近线。,绘制方法：确定之点，过该点画斜率为的直线。,（3）绘制中、高频段渐近线。,将低频段直线沿着频率增大的方向延伸，每遇到一个转折频率，根据该环节的对数频率特性改变一次直线的斜率，直至最后一个转折频率。,（4)误差修正，需要时按照各典型环节的误差曲线进行修正。,（5）绘制系统开环对数相频特性曲线.选择若干个频率计算对应的相位，取点连成曲线。,.,25,例5-2已知系统开环传递函数为,试绘制系统开环对数频率特性曲线。,解（1）系统有放大、积分、振荡、惯性、一阶微分5个基本环节,转折频率,确定点：,斜率：-20dB/dec（1型系统）,（3）绘制中、高频段渐近线。,斜率转折：-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec,（4）绘制系统开环对数相频特性曲线.,系统开环相频特性为,（2）低频段直线。,.,26,.,27,5.3.3由伯德图确定传递函数,1.最小相位系统和非最小相位系统,最小相位系统传递函数的极点和零点的实部均小于或等于零的系统，称为最小相位系统,非最小相位系统传递函数的极点和零点的实部有大于零的系统，称为非最小相位系统,幅频特性相同的最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量，,最小相位系统的传递函数、幅频特性和相频特性之间存在着唯一确定的关系,.,28,2.最小相位系统的传递函数,最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。,例5-4最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，试确定系统的传递函数。,由对数幅频渐近特性求传递函数是伯德图曲线绘制的逆问题。,解由图可确定系统的传递函数形式为,再由,解得,.,29,5.4奈奎斯特稳定判据,5.4.1幅角定理,设F(s)为一单值复变函数。在s平面上任取一条不通过F(s)的任一零点和极点的封闭路径，当s从封闭路径上任一点起顺时针沿运动一周回到该点时，则对应F(s)平面上的映射F亦会是一条封闭路径。如图所示。,幅角定理设s平面封闭路径包围了F(s)的Z个零点、P个极点，则当s沿按顺时针方向运行一周时，平面上的映射F逆时针包围原点的圈数为:RPZ当R0时，表示F顺时针包围F(s)平面的原点，R0表示不包围F(s)平面的原点。,.,30,5.4.2奈奎斯特稳定判据,设如图所示系统的开环传递函数为,其特征方程为:,其中，,为系统的开环零点；,为F(s)的零点，也是特征方程的根；（判稳欲知）,F(s)为的极点，也是开环传递函数的极点。（已知）,.,31,1.奈氏路径,如果取一个包围整个右半s平面的封闭路径，就可以通过其在F(s)平面的映射F了解F(s)的零点，即特征根位于右半s平面的数目Z。,图5-23奈氏路径a）虚轴上无极点时b)虚轴上有极点,若以包围了F(s)的Z个零点和P个极点。由应用幅角原理可知，当s按顺时针方向沿运动一周时，其在F(s)平面上的映射曲线F将逆时针围绕着坐标原点旋转R周，且R=P-Z。,.,32,2.奈氏判据,如前述：当s按顺时针方向沿运动一周时，其在F(s)平面上的映射F将逆时针围绕着坐标原点旋转R=P-Z周。若RP，则Z=0，F(s)没有的零点，即闭环极点在右半s平面，闭环系统是稳定的。,因为,所以,F平面的原点即GH平面的（-1，j0)点,.,33,奈奎斯特稳定判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是，系统开环频率特性曲线逆时针包围临界点(1,j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数P(Z=0)。,对于最小相位系统，P=0,系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不包围(1,j0)点。奈氏曲线不包围(1,j0)点，则系统稳定；反之，奈氏曲线包围(1,j0)点，系统不稳定(s右平面特征根数Z=P-R)；若奈氏曲线穿越(1,j0)点，系统临界稳定。,稳定系统,不稳定系统,临界稳定系统,.,34,解系统开环传递函数在s右半平面上没有极点，即P0。,系统开环频率特性,开环奈氏图：起点,终点,与负实轴无交点，再根据对称性作图。,由图可知，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，即R0，所以ZPR0。这表示对于任意正值K、T1和T2，该闭环系统是稳定的。,.,35,例5-6已知单位反馈系统的开环传递函数,试用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的K值范围。,解开环系统频率特性为,开环奈氏图：起点,终点,与负实轴相交于点（-K,j0)，根据对称性作出奈氏曲线如图。,当K1，R1=P，闭环系统稳定。则ZPR0,.,36,3含有积分环节系统的奈氏判据,含有积分环节系统，应用奈奎斯特稳定判据时必须选择如图所示的奈氏路径，这时的奈氏曲线还应加上小半圆弧的映射。,设系统的开环传递函数为,则,可见，当s从沿无限小半圆弧到时，由逆时针转过时，其在GH平面上的映射就是一个顺时针转过的半径为无穷大的圆弧。,.,37,解1型系统，奈氏路径应是图5-23b所示的闭合曲线。系统的幅频特性和相频特性,开环奈氏图：起点,终点,与负实轴有交点,令，解得与负实轴的交点频率，交点（-0.4,j0)。,增补奈氏路径小半圆的映射：从的映射点开始顺时针转过到映射点的无穷大圆弧。,可见，奈氏曲线对(-1,j0)点的包围圈数R0，P=0，系统是稳定的。,.,38,5.4.3伯德图上的奈奎斯特稳定判据,1.正、负穿越的奈氏判据,奈氏曲线对(-1,j0)点的包围可以用正、负穿越的概念来表示：,正穿越从上向下穿过(-1,j0)点左侧负实轴,用N+表示；,负穿越从下向上穿过(-1,j0)点左侧负实轴,用N-表示；,起始于负实轴或终止于负实轴时，穿越次数定义为0.5次。,设N为时开环奈氏曲线包围（-1，j0）点的圈数，则有：,正、负穿越概念的奈奎斯特稳定判据：,闭环系统稳定的充要条件是，当时，开环奈氏曲线在点（1，j0）左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为P/2。,.,39,2.伯德图的奈氏判据,开环奈氏曲线与伯德图之间的对应关系：,1）极坐标图上单位圆与伯德图上的0dB线相对应，单位圆的外部对应于dB，单位圆的内部对应于dB。2）极坐标图上负实轴与伯德图上的线相对应。,.,40,伯德图上的正、负穿越,伯德图上的奈奎斯特稳定判据：,设P为开环传递函数正实部极点个数，闭环系统稳定的充要条件是，当时，在开环对数幅频特性上dB的频段内，对数相频特性穿越线的次数为P/2。,开环奈氏曲线对(-1,j0)点左侧负实轴的正、负穿越，对应于伯德图上，在dB的频段内相频特性曲线对线的穿越：,.,41,解系统转折频率为。绘制K=2和K=10时的伯德图如图。,系统开环稳定，P=0。,由图可见，K=2时,在的频段内无穿越，N=0,闭环系统稳定。,K=10时,在的频段内有一次负穿越，N-=1,N=N+-N-=-1闭环系统不稳定。,.,42,5.5控制系统的相对稳定性,5.5.1相位裕量,幅值穿越频率系统开环幅频特性为1时的角频率，也称为截止频率或剪切频率。即,相位裕量在系统的幅值穿越频率处，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相位（超前或滞后相位）量,称为相位裕量，用表示。有,相位裕量越大，系统的相对稳定性越好，一个良好的控制系统，一般要求。,.,43,5.5.2幅值裕量,相位穿越频率系统开环相频特性等于180时所对应的角频率，称为相位穿越频率。即,幅值裕量在系统的相位穿越频率处开环幅频特性的倒数，称为幅值裕量，用表示。有,在伯德图中，幅值裕量以分贝表示：,幅值裕量表示：对于闭环稳定的系统，系统开环幅频特性增大倍后系统达到临界稳定状态。,一个良好的控制系统，一般要求h610dB。,.,44,解由开环伯德图计算裕量。,转折频率为，且dB，低频段斜率为，绘制伯德图如图所示。,在转折频率2，10之间，由,解得,令,或由试探法求得,所以,.,45,5.6系统频率特性与时域性能的关系,5.6.1开环频率特性与时域性能的关系,1.二阶系统开环频域指标与时域指标的关系,开环频率特性为,典型二阶系统的系统的开环传递函数,.,46,（2）和的关系,由,可见，反映了系统的快速性。在阻尼比相同，即相位裕量相同时，越大，越小，系统响应速度越快。,可得,（1）和的关系,可见只与有关，并可用以下方程近似表示,阻尼比越大，相位裕量越大，超调量越小，系统的相对稳定性越好。,.,47,2.开环频率特性的三频段和时域性能的关系,（1）低频段,低频段特性由积分环节和开环增益决定。低频段斜率越负，位置越高，对应的积分环节数目越多，开环增益越大，则闭环系统在稳定的条件下，稳态误差越小，稳态精度越高。因此低频段表征了闭环系统的稳态性能。,.,48,（2）中频段,经验表明：为了使闭环系统稳定并具有足够的相位裕度，开环对数幅频特性最好以-20dB/dec的斜率通过0dB线；如果以-40dB/dec的斜率通过0dB线，则闭环系统可能不稳定，即使稳定，相位裕度往往也比较小；如果以-60dB/dec或更负的斜率通过0dB线，则闭环系统肯定不稳定。,指附近的区段,中频段的大小决定系统响应速度的大小，越大，系统快速性越好；相位裕量影响系统的相对稳定性，越大，系统的相对稳定性越好。,当以-20dB/dec的斜率穿越0dB线时，-20dB/dec斜率段的宽度越大，越大，系统平稳性越好。,.,49,3高频段,高频段主要反映控制系统的抗扰性能。,由于一般系统高频开环幅频值小，即,因此开环幅频特性在高频段的幅值直接反映了系统对输入端高频干扰信号的抑制能力。高频段特性分贝值越低，系统对高频干扰信号的抑制能力就越强。,.,50,5.6.2闭环频率特性与时域性能的关系,1.闭环频率特性及其性能指标,在工程实践中也常用闭环频率特性来分析和设计系统。,（2）谐振峰值,（3）谐振频率,（4）带宽频率,闭环幅频特性的典型形状如图，可定义如下闭环频域指标。,表征了系统的相对稳定性,反映了系统暂态响应的速度（快速性）,.,51,2二阶系统闭环频域指标和时域指标的关系,对于二阶系统，其时域指标与闭环频域指标之间也有确定的关系。,闭环传递函数为,其闭环频率特性为,（1）和的关系,可见只与有关，与通过阻尼比有唯一确定的关系，越大，阻尼比越小，系统的振荡越激烈，平稳性越差。,.,52,（2）、和的关系,可见，、和的关系如同和一样，反映了系统的快速性。阻尼比相同，即谐振峰值相同时，、越大，越小，意味着系统动态过程迅速，快速性好。,.,53,3高阶系统性能指标间的关系,对于高阶系统，难于用解析法找出频域指标和时域指标间的定量关系。一般常采用下面的经验式近似表示高阶系统性能指标间的关系：,.,54,5.7MATLAB用于频域分析,5.7.1用MATLAB命令绘制频率特性曲线,1伯德图绘制bode,bode命令的常