指数函数的应用论文.doc

【标题】指数函数的应用 【作者】付小勇 【关键词】指数函数应用模型 【指导老师】王玲芝 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言指数函数在中学就已经学过，但在解决具体问题时，人们往往忽略了它，事实上，指数函数在各个领域都有非常广泛的应用,尤其是函数的应用更为广泛。在教学过程中，若能及时启发学生分析和运用它，将有利于加深他们对知识的体验；有利于转变他们固有的思维方式，发挥他们的潜能，促进其个性发展；有利于提高他们的科学素养，适应未来社会的需要。2预备知识2.1定义设函数在区间-，+上有定义，且满足：（1）（2）则称为以为底的指数函数.2.2重要性质指数函数在实数域即上有如下重要性质：(1)极限不存在，但单侧极限(2)（3）的幂级数展开式为，且收敛3应用3.1在高等数学中的应用3.1.1性质1在极限的连续性及其解中的应用由于不存在，而单侧极限,在含指数函数的极限中通常要进行讨论，这一点是容易忽视的。例1讨论的连续性.解：当当时,当即显然.3.1.2性质2在微积分学以及微分方程中应用函数的任意有限阶导数都等于它自身，这是初等数学中除常量函数以外，所特有的性质.正是这种性质，在高等数学的计算和证明中有着广泛的应用。3.1.2.1微积分学中的应用应用微分中值定理及导数性质证明等式（或方程的根）及其它问题时，应用这个特性作辅助函数或作恒等变形，进行证明。例2设和在区间上连续，在内可导，且，证明：至少存在一点，使得.分析：先变形，等式两边乘以则有：设有某一个，使，则？因为所以看出.故令为辅助函数.证明：令由已知，在上连续，在内可导，且于是，由Rolle定理，至少存在一点，使得即从而.此题题目还可以是：证明方程在(a,b)内至少有一实根，其证明过程和上面一样。例3证明：若在内可导，且，则.分析：为了找到与之间的关系，联想到利用的特性，并结合运用Cauchy中值定理，故先作辅助函数，显然证明：令由已知即，使得，有又对，由Cauchy中值定理,有：即所以即显然即，使得，有，且于是有即.3.1.2.2积分学中的应用在不定积分（或定积分）的分部积分时，应用这个特性，采取“回归法”，化简计算。例4求.分析：此题显然是用分部积分法计算，且要反复进行分部.我们先分析分部的情况：将积分、微分将积分、微分可得被积函数的原来形式。故可通过方程的移项，解出原积分.解：=移项并解得=.点评：此题也可将微分、积分.对于也同理可解.这里充分利用了函数的这个特性。在不定积分（或定积分）的分部积分时，应用这个特性，采取“抵消法”，化简计算。例5求.分析：此题若直接分部，比较困难，应先把括号去掉，拆项积分，又因为被积函数有因子，故应充分利用函数的特性。解：=.在用不定积分的换元法（凑微分法）时，应用这个特性，凑微分，化简计算。例6求.解：=.3.1.2.3微分方程中的应用应用函数的这个特性，求二阶变系数线性微分方程的解，其求解过程是先求对应的齐次线性方程的通解，再用常系数变易法求原方程的通解。例7解方程.解：先解齐次方程由于齐次方程中的各系数的代数和为0，而的各阶导数不变，所以是方程的一个特解.为求另一个特解，令代入齐次方程，得，再积分得（取一个特解），故另一个特解为：.再利用常系数变易法求得非齐次方程的特解为：则满足解此方程组得：所以即于是，所求方程的通解为：.结论：若，则二阶变系数线性微分方程有一个特解为。实际上，由性质2易知该结论成立，在求解线性微分方程时，要注意应用指数函数的这个特性，这样可使求解简易！函数的这个特性也可用于求解一阶微分方程.可用观察法求一阶微分方程的积分因子，化成全微分方程，从而求出通解，或适当的变量代换，化一阶微分方程为线性方程，再求其通解，其求解相对二阶较简单，在此不再举例。3.1.3性质3在级数中的应用因为所以的幂级数展开式与的幂级数展开式的系数有着特定的关系，利用这点可以求出某些幂级数的和函数。例8求幂级数的和函数.解：易知的收敛域为（）设则两式相加得：两式相减得：于是2从而.利用指数函数的幂级数展开式，即还可以判断某些指数函数的级数的敛散性。例9判断级数的敛散性.解：根据指数函数的幂级数展开式，有于是故从而由正项级数比较判别法知收敛.可见，函数在高等数学的计算和证明中，有着广泛的应用。在学习的过程中，若能及时地启发学生分析和运用它，这对于帮助他们提高思维能力会起到很大的作用。3.2在实际生活中的应用函数除了在高等数学中有着广泛应用外，在实际生活中也随处可见。它既可以用来描述人口繁衍、病毒传播等现象，也可用来讨论银行复利、折旧、产品广告反应等问题。3.2.1人口问题我国是世界上第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中国人。有效地控制我国的人口增长，是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预测，则是有效控制人口的前提。记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数.为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微的函数.记初始时刻的人口为，假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以，考虑到时间内的增量，显然有令，得到满足微分方程，解此方程得.上式表明，随着的增加，人口数量将无限增长.但长期看来，任何地区的人口都不可能无限增长，即这个模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。事实上，人口增长率是不断变化的。因此，为了使人口预报特别是较长时期的预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设，在此不作讨论。3.2.2病毒传播问题随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已得到有效控制，但一些新的、不断变异着的传染病毒却又悄悄向人类袭来。2003年春的SARS突袭人间，若不及时加以控制，后果将不堪设想.这就需要建立数学模型来描述其传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止方法加以控制。设时刻的病人人数是连续可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数，考察到病人人数的增加，就有再设时有个病人，即得微分方程，解此方程得.此结果和人口模型一样，随着的增加，病人人数无限增长，这显然是不符合实际的。实际上，在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染，因此必须区别这两种人，再把模型进行改进。上面两个实际问题都用到了指数模型，可见指数模型有它的局限性，但却是求解中不可少的过程。3.2.3复利问题设有本金为，在时间内的利率与时间成正比，比例系数为.则经时间作一次结算的本息为，如果在单位时间内分次计算复利每次时间间隔为，则经单位时间的本息为：当计算本息的时间间隔无限缩短时，则经单位时间的本息为：令时，得.因此，可把它看成是利率与存款时间成正比，比例系数为，任何时刻都结算的存款，经单位时间资金自然增值的倍数。3.2.4折旧问题一辆价值万元的小汽车，以如下方法折旧，汽车每一年的价值是上一年的，问个月后价值是多少？解：我们先建立汽车价值与使用时间（以月为单位）之间的数学模型.当时，万元；当时，汽车的价值为万元的，既万元，亦即.再过个月，汽车价值为万元的，即万元，亦即.同理，再过个月有；一般地，经过个个月，即年后，=.因此，.现经个月，即，.我们可以借助计算器得到所以万元.3.2.5产品广告反应问题在新产品投放市场天后，对新产品广告作出反应的人的比例与之间的关系式是：这里是一个无理数，它的近似值等于。已知某销售区域有万潜在顾客，对广告作出的每次反应可为公司产生元的销售利润（没有考虑广告费用），已知广告固定费用为万元，每天广告可变费用万元。问：在作出广告天后所获净利润是多少？解：先求当时，作出反应的顾客的比例即在作出广告天后，可望有的潜在顾客作出反应，由此获得的销售利润为万元30天的广告费用为万元所以30天后所获净利润为万元）一般地，天后的净利润函数为.显然，广告天数越长，对广告作出反应的潜在顾客所占的比例就越大，从而获得的销售利润也就越大，但广告费用却由此增加，从而获得的净利润不一定就最大。到底怎样才能获得最大