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1.7 极限存在准则 两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知时， ,但时，是否有？如果有，怎样求？再如无限多个积，换成？一极限存在准则I1 准则I 如果数列满足：(1)(2) , 那么数列的极限存在，且.证： , ，当时，有.同理，当时，有.取，则当时，有, 同时成立即,而n，,即.故。 *数列极限存在准则I可推广到函数的极限。准则I如果(1) (或)时，有成立；(2), (或),那么 (或).准则I,I称为夹逼准则。 2利用准则I证明第一个重要极限：证：函数在时有定义单位圆中，的面积扇形的面积的面积 即 , (1)(用代时，与都不变号，对也成立)。证 时，即, 由准则I有由式(1)及准则I即得。 3应用：求极限(1) , (2), (3) (4) (5)( ,常数)ex: 令, , .二极限存在准则如果数列满足,称为单调增加的（减少）。 已知收敛的数列一定有界，但有界数列不一定收敛。若数列单调且有界，则有： 1准则：单调有界数列必有极限。（正确性通过数列的几何意义容易从直观上看出，严格的证明用实数理论，不作证明。）几何解释：单调数列的点只向一个方向移动,定点因为有界，所以都落在内，且极限的绝对值不超过 2讨论第二个重要极限考虑取并 设,证数列单调有界。1+1+=1+1+，比较与， 数列单调增加又xn1+1+，即数列有界。根据准则，数列极限存在，通常用e表示，即。可证取实数+或-时,的极限都存在且等于e，因此，.(e=2.718281828)利用代换，则当时可有。 3应用求极限 (1) （2）=三利用极限存在准则求极限例1. 证明：证:由于0=,所以=0.例2. 已知对1,2,均有,且,求解：由于,故而，故即，数列单调增加。又,可知数列有界.所以存在，设则由 ,有所以,或,而由及数列递增,知即*未证极限存在之前不能两边取极
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