工程力学9扭转ppt课件.ppt

,工,程,1,扭转,第九章,问题：,3、如何计算圆轴扭转时的强度和刚度？,2、如何计算圆轴和圆筒扭转时的变形？,1、如何计算圆轴和圆筒扭转时的应力？,2,9-1引言,扭转的概念及实例,汽车方向盘,3,请判断哪一杆件将发生扭转,4,当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转,5,请判断哪一杆件将发生扭转,6,拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转，而且产生剪切,7,汽车传动轴,8,丝锥攻丝,9,10,11,12,13,受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。,14,扭转变形：以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式。扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶扭力偶矩：扭力偶的矩轴：凡是以扭转为主要变形的直杆,轴的变形以横截面间绕轴线的相对角位移即扭转角表示。,15,9-2动力传递与扭转,一、功率、转速与扭力偶矩之间的关系,设某轮所传递的功率是P，轴的转速是n,16,功率P每分钟作功,功率的单位是千瓦（kW）,（1）,转矩（外力偶矩）m所作的功,（2）,（1）（2），有,17,或,于是得,外力偶矩与功率的关系式,18,二、扭矩与扭矩图,扭矩：在外力偶矩作用下，轴任意截面（n-n截面）上的内力偶矩，用T表示，它是截面上内力偶矩的合力偶矩。,受扭构件的内力矩如何？截面法,Me是外力矩,根据平衡，截面上有内力矩T扭矩,T,根据右手定则确定力矩矢的方向,力矩旋转方向,力矩矢方向,由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向,T,19,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,截面外法线,Tx,扭矩矢量,20,右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),21,例题,某转动轴，转速n=200rpm,主动轮输入功率为PA=200kW,三个从动轮输出功率分别为PB=90kW,PC=50kW,PD=60kW1、计算1-12-23-3截面的扭矩；2、画出扭矩图,22,解,首先计算各个外力矩的大小,23,将外力矩转换为力矩矢量,取1-1截面左侧分析,将截面上的扭矩设为正,列方程,24,取2-2截面左侧分析,列方程,25,取3-3截面右侧分析,列方程,26,由上述计算得到扭矩值,画扭矩图,T,27,例：图示传动轴，主动轮A输入功率PA=36.75kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=11.025kW，ND=14.7kW，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。,28,解：作用于各轮的外力偶矩为,其中，各轮的功率为,29,各段扭矩为,30,扭矩图如图示,31,32,课堂练习（时间3分钟）,试画出下面轴的扭矩图,33,你做对了吗？,34,9-3切应力互等定理与剪切胡克定律,一、薄壁圆管的扭转应力,等厚度的薄壁圆筒,平均半径为r,壁厚为t，受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后加载。,35,观察到如下现象：,(1)纵向线倾斜了同一微小角度；(2)圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变。,36,根据以上实验现象,可得结论：,圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。,37,将dx段取出并放大,38,相对扭角(扭转角)：两横截面相对转动的角度，用表示。,切应变：扭转后矩形abcd的直角的改变量。,39,扭角与切应变的关系：,由dx段可看出：dx=rod即：=rod/dx,40,在横截面上应有：,当为常数时，可得到：,注意：上式是在为均匀分布的前提下推导出的，因此仅适用薄壁筒扭转时的计算！,进而可得：,薄圆管扭转切应力计算,41,如图取单元体：,为保持单元体平衡，则其他几个面上应有什么应力？大小如何？,二、纯剪切与切应力互等定理,42,在两个相互垂直的平面上，垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，这一规律成为切应力互等定理。,单元体四个侧面均只有切应力而无正应力纯剪切状态。,圆轴扭转时横截面上的应力状态是纯剪切状态。,43,三、剪切胡克定律,考察薄壁筒受扭,单元体变形图,44,45,薄壁圆筒的实验,证实了切应力与切应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当切应力不超过材料的剪切比例极限p时,切应力与切应变成正比,剪切胡克定律,G称为材料的切变模量。上式关系称为剪切胡克定律。,46,切变模量G材料常数：弹性模量E泊松比,对于各向同性材料,可以证明:E、G、三个弹性常数之间存在着如下关系,47,9-4圆轴扭转横截面上的应力,一、扭转切应力的一般公式,考察图示受扭圆轴，分析横截面的应力。,变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系,48,实验现象和平面假设,49,变形前,变形后,所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了同一个角度g,表明:表面处存在切应变，,而且切应变相同。,变形前圆周表面上的小矩形，变形后错动成了一个小菱形。,50,变形前,变形后,所有圆周线都相对绕轴线转过了不同的角度，且圆周线的大小、形状、及其相互之间的距离保持不变。,表明:无轴向线应变和横向线应变，横截面上无正应力。,51,平面假设:圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不变。,由平面假设，圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可以认为横截面上无正应力，由于相对转动引起纵向线倾斜，倾斜角g为切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。,52,1.变形几何关系,其中表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而称为相对扭转角。,同一截面上为常数，因此与成正比,53,以表示横截面上距圆心为处的切应力，则胡克定律:,代入几何关系表达式,由于发生在垂直于半径的平面内，所以也应与半径垂直。,2.物理关系,54,微切力：,对圆心O的微力矩,内力矩，扭矩Mx,代入物理关系和几何关系：,3.静力学关系,55,取,Ip:截面对圆心O的极惯性矩,极惯性矩的单位:m4mm4,56,4、圆周扭转时横截面上的切应力公式及其分布规律,截面上某点的切应力,该截面上的扭矩-内力矩,所求的点至圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,57,对某一截面而言，Tx为常数，Ip也是常数，因此横截面上的切应力是r的线性函数,圆心处r=0t=0,外表面r=rmaxt=tmax,取,Wp截面的抗扭截面模量，单位mm3m3,58,按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图,59,60,切应力计算公式的适用范围：,1.在公式推导中用到G，因此公式仅在弹性范围有意义；,2.仅适用于圆截面和空心圆截面轴。,61,9-5极惯性矩与抗扭截面系数,一、实心圆截面,在直径为d的圆截面上取一半径为、宽为d的微圆环，则有：,62,二、空心圆截面,将前面的积分式下限改为空心圆截面的内径，可得：,63,三、实心圆和空心圆抗扭截面系数,极惯性矩,实心圆：,空心圆：,抗扭截面系数,实心圆：,空心圆：,64,传动轴如图所示，动力经齿轮2输送给传动轴，然后由1、3两轮输出。若齿轮1和3输出的功率分别为0.76kW和2.9kW，轴的转速为180rpm,材料为45号钢，轴的直径为28mm,则该轴的最大切应力是多少，位于哪段？,例题,65,1、计算外力矩,2、画出扭矩图,可以看出2、3轮之间存在扭矩极值,3、求最大切应力,66,某汽车传动轴，用45号无缝钢管制成，其外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,使用时最大扭矩为T=1500Nm，已知钢管允许的最大切应力为60MPa，问此轴是否满足设计要求？若此轴改为实心圆轴，并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径D1应为多少？从此题中得到什么样的启发？,例题,67,D=90mm,t=2.5mm,T=1500Nm，=60MPa,1、抗扭截面模量,2、轴上最大切应力,3、若改为实心轴,68,分析:,实心圆截面面积:,空心圆截面面积:,重量比:,因此，在承载能力相同的条件下，使用空心轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。,思考:理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？,69,9-6圆轴扭转破坏与强度条件,一、扭转失效与扭转极限应力,扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大切应力。扭转强度极限：试样扭转断裂时横截面上的最大切应力。扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统称。,70,二、轴的强度条件,一、强度条件：,一般由静载扭转试验确定,常用材料的与有如下关系：,钢材=（0.550.60),铸铁=0.8,71,9-7圆轴扭转变形与刚度条件,圆轴扭转时的变形,即,有,或,72,若为常量,则有,式中称为抗扭刚度.,比较拉压变形公式:，可以看出二者的相似之处。式中为抗拉刚度。,若轴各段的T或Ip不同，则轴两端的相对扭转角为,73,若用表示变化律，有,为单位长度扭转角。,若在轴长l的范围内为常量，则有,74,例4-3一受扭圆轴如图所示，已知：T1=1400Nm，T2=600Nm，T3=800Nm，d1=60mm，d2=40mm，剪切弹性模量G=80GPa，计算最大单位长度扭转角。,75,1）根据题意，首先画出扭矩图,2）AB段单位长度扭转角：,3）BC段单位长度扭转角：,综合两段，最大单位扭转角应在BC段为0.03978rad/m,76,例4-4图示一等直圆杆，已知d=40mma=400mmG=80GPajDB=1O,求:1)最大切应力2）jAC,77,1）画出扭矩图,2）求最大切应力,首先要求出M的数值,78,79,80,圆轴扭转时的刚度条件:,81,1.单位长度的扭转角与（）无关。,(A)杆的长度；(B)扭矩；(C)材料性质；(D)截面几何性质。,2.若将受扭实心圆轴的直径增加一倍，则其刚度是原来的倍。,82,材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力之间和扭转角之间的关系有四种答案，正确答案是()。（A）12，12（B）12，12（C）12，12（D）12，12,83,例已知：阶梯轴B处输入功率NB=45kW,输出功率NA=30kW,NC=15kW,转速n=240r/min,d1=60mm,d2=40mm,G=80GPa,=50MPa,=2/m,校核轴的强度与刚度。,？如何求解,思考两分钟,84,NB=45kW，,NA=30kW,NC=15kW,n=240r/min,G=80GPa,=50MPa,=2/m,解：1.计算扭矩，绘扭矩图,（1）计算转矩（外力偶矩）,mA=9549NA/n=1.194(kNm)同理mC=0.597(kNm)，mB=1.791(kNm),d1=60mm,d2=40mm,85,（2）求扭矩（内力偶矩）,由mA+mC-mB=0验算：1.194+0.597-1.791=0,AB段：MnAB=mA=-1.194(kNm),BC段：MnBC=mC=0.597(kNm),（3）绘扭矩图如右图示：,2.校核强度：,根据扭矩图分析，危险截面应在AB段和DC段,86,（1）计算Wn（抗扭截面系数）,AB段：,DC段：,87,（2）计算max,AB段：,DC段：,因为：,所以轴是安全的。,88,3.校核刚度：,（也应校核AB段和DC段两处）,AB段：,DC段：,所以，轴满足刚度条件。,89,90,91,2.扭矩图,按刚度条件,3.直径d1的选取,按强度条件,92,按刚度条件,4.直径d2的选取,按强度条件,5.选同一直径时,93,6.将主动轮按装在两从动轮之间,受力合理,94,例8-6图示为一镗孔装置，在刀杆端部装有二把镗刀，已知切削功率P=8kW，刀杆转速n=60rpm,G=80GPa，材料的许用应力t=60MPa，刀杆的q=0.5/m，试根据强度条件和刚度条件确定刀杆的直径。,95,确定刀杆的扭矩,根据强度条件确定刀杆件直径,根据刚度条件确定刀杆件直径,综合强度和刚度条件，取d=66mm,96,圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。,9-8非圆截面轴扭转简介,97,98,非圆截面杆在扭转时有两种情形:,1.自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有切应力,而没有正应力。,99,2.约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将