大学物理第二章质点动力学

.,第二章质点动力学,.,2-1动量与牛顿运动定律,一牛顿第一定律、惯性系,牛顿第一定律：“任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用迫使它改变这种状态为止”。,第一定律首先表明，物体都有保持运动状态不变的特性，这种特性称为物体的惯性。,第一定律还表明，要使物体的运动状态发生变化，一定要有其他物体对它的作用，这种作用称为力。,第一定律还定义了一种特殊的参考系惯性系。只有在惯性系中，不受外力作用的物体才会保持静止或匀速直线运动状态不变，而惯性定律在其中不成立的参考系称为非惯性系,.,常见的惯性系：研究地面附近物体运动时可选地球为惯性系；研究太阳系中行星的运动时选太阳为惯性系；研究天体运动时，可选多个恒星或星系参考系为惯性系。不存在绝对的惯性系。但由于相互作用与距离的平方成反比，只要选为参考系的星系与其它星系间的距离越遥远，它就是越严格的惯性系。相对于某一个惯性系作匀速直线运动的任何物体也都是惯性系，反之相对一惯性系作加速运动的物体则不是惯性系。,.,二、动量、牛顿第二定律,1、动量定义：质量为m，速度为的质点动量,2、牛顿第二定律,物体受到外力作用时，物体的动量将发生变化，物体所受合外力F等于物体的动量随时间的变化率。,质量m不变，有,.,关于牛顿第二定律，应当明确以下几点：,（1）第二定律和第一定律一样只适用于惯性参照系。（2）第二定律给出了力与加速度之间的瞬时关系。即F与a同时产生，同时变化，同时消失。（3）第二定律概括了力的独立性原理或力的叠加原理：几个力同时作用在一个物体上所产生的加速度等于每个力单独作用时所产生的加速度的矢量和。（4）由于力、加速度都是矢量，第二定律的表示式是矢量式。在解题时常常用其分量式，如在平面直角坐标系X、Y轴上的分量式为：,.,在处理曲线运动问题时，还常用到沿切线方向和法线方向上的分量式，即：,.,三、牛顿第三定律物体间的作用是相互的。两个物体之间的作用力和反作用力，沿同一直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。,第三定律主要表明以下几点：（1）物体间的作用力具有相互作用的本质：即力总是成对出现，作用力和反作用力同时存在，同时消失，在同一条直线上，大小相等而方向相反。（2）作用力和反作用力分别作用在相互作用的两个不同物体上，各产生其效果，不能相互抵消。（3）作用力和反作用力是同一性质的力。,.,四、四种相互作用和力学中常见的力,1、自然界中的四种相互作用自然界中存在着四种最基本的相互作用，如下表中所示：,.,2、力学中常见的力,.,弹性力：物体在发生形变时，由于力图恢复原状，对与它接触的物体产生的作用力叫弹性力。其表现形式有：正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复力等。在弹性限度内f=kx胡克定律k叫劲度系数,.,静摩擦力:大小介于0和最大静力摩擦力fS之间，视外力的大小而定。最大静摩擦力：fS=SN滑动摩擦力:fk=kN对给定的一对接触面，Sk，它们一般都小于1。,.,流体阻力：物体在流体中运动时受到流体的阻力。在相对速率v较小时，阻力主要由粘滞性产生，流体内只形成稳定的层流。此时f=-kvk决定于物体的大小和形状以及流体的性质。在相对速率较大时，流体内开始形成湍流，阻力将与物体运动速率的平方成正比：f=-cv2若物体与流体的相对速度接近空气中的声速时，阻力将按fv3迅速增大。常见的正压力、支持力、拉力、张力、弹簧的恢复力、摩擦力、流体阻力等，从最基本的层次来看，都属于电磁相互作用。,.,五、牛顿定律的应用,应用牛顿运动定律解题时，通常要用分量式：如在直角坐标系中：在自然坐标系中：,.,1、恒力作用的情况这类情况中常有多个有关联的物体一起运动。解题步骤如下：分析各物体受力状况，选择隔离体，画受力图。分析各隔离体相对一惯性系运动的加速度，并建立坐标系。写出各隔离体运动方程分量式以及力和加速度之间的关系式。解方程组，并对计算结果作简短讨论。,.,.,.,.,建立坐标系x轴水平向左，y轴竖直向上。列出有关运动方程,求出：,.,例3一曲杆OA绕y轴以匀角速度转动，曲杆上套着一质量为m的小环，若要小环在任何位置上均可相对曲杆静止，问曲杆的几何形状？,解：小环在曲杆上也绕y轴作圆周运动，受重力mg和支持力N，设小环所在位置坐标为（x,y），切线倾角为，则有,相除得,.,或,积分得,说明曲杆的形状为一抛物线。,.,2、变力作用的情形,当一质点受到变力作用时，其加速度也是随时变化的，这时要列出质点运动微分方程并用积分的方法求解。,例4、质量为m的物体，从高空由静止开始下落，设它受到的空气阻力f=kv，k为常数，求物体下落的速度和路程随时间的变化。,解：取y轴竖直向下为正，设物体由原点开始下落到y处时，速度为v，受重力和阻力作用，其运动微分方程为：,.,分离变量并作定积分，有,其中,为下落的收尾速度。求出：,再次积分得,.,例5、设子弹射出枪口后作水平直线飞行，受到空气阻力f=kv2，若子弹出枪口时速率为v0，求：（1）子弹此后速率，（2）当v=0.5v0时，它飞行的距离。,解：（1）子弹在飞行过程中，水平方向上仅受空气阻力，因而运动微分方程为：,积分,得,.,积分,（2）运动方程改写成,.,22单位制和量纲,一、基本单位和导出单位物理量除了有一定大小外，还有单位。由于各物理量之间都由一定的物理规律相联系，所以它们的单位之间也就有一定的联系。选定少数几个物理量作为基本量，并人为地规定它们的单位，这样的单位叫做基本单位。其他的物理量都可以根据一定的关系从基本量导出，这些物理量叫导出量。导出量的单位都是基本单位的组合，叫导出单位。,.,二、国际单位制基本单位和由它们组成的导出单位构成一套单位制。如果选取不同的基本单位，就产生了不同的单位制。1980年11届国际计量大会通过的单位制叫国际单位制，简称SI。国际单位制的七个基本量及基本单位：长度L米(m)时间T秒(s)质量M千克(kg)电流安培(A)物质的量摩尔(mol)热力学温度开尔文(K)发光强度坎得拉(cd),.,在力学中仅用到L、T、M这三个基本量。,1967年第13届国际计量大会规定时间单位用铯-133原子的两个超精细能级跃迁所对应的辐射的频率为：=9192631770Hz1秒=上述跃迁谱线周期的9192631770倍并依此规定制作出了铯原子钟。,.,其它所有物理量均为导出量，其单位为导出单位如：速度V=S/t，单位：米/秒（m/s）加速度a=V/t，单位：米/秒2（m/s2）力F=ma，单位：千克米/秒2(kgm/s2）,1983年第17届国际计量大会定义长度单位用真空中的光速规定：c=299792458m/s因而米是光在真空中1299,792,458秒的时间间隔内所经路程的长度。,.,三、量纲,导出物理量对基本物理量的依赖关系可以用基本物理量及其幂次的乘积来表示，称为导出物理量的量纲。我们常用字母L、M和T分别表示长度、质量和时间三个基本量的量纲。其他的各物理量的量纲就可用这三个字母的某种组合来表示,如：速度的量纲是LT1，加速度的量纲是LT2力的量纲是MLT2,.,用量纲可以定出同一物理量不同单位之间的换算因子如：1牛顿=1千克米秒2=1000克100厘米秒2=105克厘米秒2=105达因1焦耳=1牛顿1米=1千克米2秒2=1000克10000厘米2秒2=107克厘米2秒2=107尔格,量纲法则：量纲服从的规律叫量纲法则。量纲分析是一种常用的定性、半定量分析方法。,.,量纲也可用来校核等式只有量纲相同的量才能相加、相减、用等号相联系。在复杂的方程中，每一项必然具有相同的量纲，因此校核各项的量纲，就可以明确等式是否正确。,上式中每一项都具有长度的量纲L，因而等式成立。,.,.,24动量定理、动量守恒定律,一、质点的动量定理,.,2、质点动量定理,分量表示,.,.,.,棒对球的平均冲力,此力为垒球本身重量的倍数F/(mg)=845/(0.149.8)=616,设I与x轴夹角为，给出,.,二、质点系动量定理,相加得,.,或：,在一段时间内，作用在质点系上外力矢量和的冲量等于这段时间内系统动量的增量。质点系动量定理。注意：只有外力才会改变系统的动量，内力只会改变系统内各质点的动量而不会改变整个系统的动量。,.,三、质点系动量守恒定律,当作用在质点系上的外力矢量和等零时，系统动量守恒。动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。无论在宏观运动的经典力学、微观粒子运动的量子力学及高速运动的相对论中都适用。,.,在应用动量守恒定律时，要注意以下几点：动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。系统的动量守恒，但系统内每个质点的动量可能发生变化。在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，由于系统内部相互作用力远大于合外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似成立。动量守恒可在某一方向上成立:,.,同乘以dt，有,积分得：,又由图知,.,例8一辆停在直轨道上质量为M的平板车上站着两个人，当他们从车上沿同方向跳下后，车获得了一定的速度。设两个人的质量均为m，跳下时相对于车的水平分速度均为u。试比较两人同时跳下和两人依次跳下两种情况下，车所获得的速度的大小。解:人和车系统的动量的水平分量守恒。当两人同时跳下车时，设车后退的速率为v1有,对两人依次跳下的情况，第一人跳下时，以v2表示车的速度，则动量守恒给出：,.,.,26功、动能定理,一、恒力的功,90，A0；90，A0；90，A0,r,.,二、变力的功：,注意：1、功是过程量，与路径有关。2、功是标量，但有正负。3、合力的功为各分力的功的代数和。,.,在不同坐标系中元功的分解：,在自然坐标系中：,在直角坐标系中,.,三、功率力在单位时间内所作的功。,即功率等于力与质点速度的标积。,.,四几种常见的力所做的功,.,.,3、弹性力的功：质量为m的物体在弹性力f=kx的作用下由x1运动到x2处，则弹性力做功,注意:弹性力的功也仅与物体的始末位置有关，与物体所经过的路径无关。,.,五、动能、动能定理,1、质点的动能,定义：质量为m，运动速率为v的质点具有动能：,设一质量为m的质点在合力的作用下沿某曲线运动，采用自然坐标系有：,2、质点的动能定理,.,作用在质点上的合力对质点做的功等于质点动能的增量质点动能定理。,积分得,即,.,解：物体运动时切线方向上仅有摩擦力，因而,.,得出物体转动一周后的速率：,再由动能定理得出物体转动一周，摩擦力做功：,.,3、质点系动能定理,一质点系由多个质点组成，作用在各质点上的力有外力和内力，当质点发生位移时，它们都对质点作功，使质点动能变化。有：,.,质点系一对内力的功,两质点间的一对内力所做功之和等于一个质点受的力与二质点间的相对位移的点乘。并与参照系无关,.,解：取车和木箱为系统，其水平方向上外力为车轮与地面间的摩擦力，内力为木箱与车之间的一对内摩擦力。由动能定理有：,.,另一方面，若仅取木箱为质点，它相对地面向前滑了Lx的距离，由动能定理有：,由上两式求出：,.,27功能原理机械能守恒定律,一、保守力的功,1保守力,前求出的重力的功：弹性力的功：万有引力的功：,都只与质点的始末位置有关，与质点经过的路径无关。这种力称为保守力。,.,若质点沿任意一闭合路径绕一圈，则保守内力做功为零：,另一类力作功与物体所走过的路径有关，称为非保守力，常见的摩擦力、物体间相互作用的拉力、推力、正压力、支持力等都属于非保守力。,2保守力场,如果质点在某个空间内任何位置，都受到一个大小和方向完全确定的保守力的作用，称这部分空间中存在着保守力场。如在地球表面附近空间中存在着的重力场就是保守力场。类似地还可以定义万有引力场和弹性力场，它们也都是保守力场。,.,二、势能,.,.,曲线斜率为保守力的大小。从曲线可见零势能点的选取，可分析系统的平衡条件及能量的转化。,.,小结：(1)只要有保守力，就可引入相应的势能。非保守力所做的功与路径有关，不能引入势能概念。(2)势能是属于保守力相互作用系统的。(3)势能仅有相对意义，所以必须指出零势能点。质点在某一点的势能等于质点由所在点移动到零势能点的过程中保守力所做的功。,.,三、系统的功能原理,将质点系内力的功分为：其中,则可将质点系动能定理改写成：,.,四、机械能守恒定律,.,五、能量守恒定律,封闭系统：不受外界作用的系统。一个封闭系统内经历任何变化时，能量可以从一个物体转移到另一个物体，从一种形式转变成另一种形式，但该系统的所有能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。封闭系统内有非保守内力做功时，系统机械能不守恒，有部分机械能转变成其它的形式，因而系统内非保守内力所做的功也就是系统机械能转变成其它形式能量的量度。,.,.,由功能原理有,运动过程中，m与M间一对摩擦内力做功之和为：,求出车长,.,例12质量为M的斜面放在光滑水平面上，斜面倾角为，另一质量为m的物体从斜面上高h处由静止开始下滑，求它滑到斜面底部时它们相对地面的速度和二者间的相对速度,解：设m滑到斜面底部时斜面向左的速率为v1，m沿斜面向下的相对速度为v2。物体与斜面这一系统在水平方向上不受外力，因而系统在水平方向上的动量守恒,又因为在m下滑的过程中仅有重力作功，系统机械能守恒,.,其中v2是m相对地面的速度，它应满足：,由以上三式可求出：,.,六、三种宇宙速度1、第一宇宙速度：在地面上发射一物体，使它能在地面附近绕地球作圆周运动。有：,2、第二宇宙速度：从地面上发射物体，使它能脱离地球引力作用。设物体离地球无限远后速度0，有,.,3、第三宇宙速度：在地球上发射物体，并使之能脱离太阳系的发射速度。注意：物体首先要脱离地球引力，然后才脱离太阳引力。因而其动能可分为：,.,.,物体应具有的总能量：,所需发射速度：,.,28对心碰撞,若两物体间的相互作用仅维持了很短的时间，就称为碰撞。两小球在碰撞过程中经历了挤压（动能形变势能）和恢复（形变势能动能）两个阶段。,两个质量分别为m1、m2的小球，碰前速度分别为v10、v20，方向在两球的球心连线上，则二者碰撞后的速度v1、v2也一定沿球心连线方向，称为对心碰撞（正碰）。,.,非弹性碰撞的恢复系数,可得出：,碰撞过程中系统不受外力，动量守恒：,.,完全弹性碰撞：e=1,碰撞前、后系统动能相等：,可求出,系统总动能的损失：,.,完全非弹性碰撞：e=0，碰后两物体不分开。,正碰讨论,.,解：子弹射入砂袋过程，二者动量守恒：,砂袋摆角最大时与小车有共同的水平速率v，且系统在水平方向上不受外力，动量守恒：,.,砂袋上摆过程中仅有重力做功，机械能守恒：,求出,.,.,例15一皮球从距地面h的高度处自由下落，与地面相撞，恢复系数为e。皮球经多次反弹后停下，求皮球所经过的总路程。,解：皮球第一次碰地后的反弹速率和反弹高度各为：,第二次碰后则为,第i次碰后则为,.,因而皮球在停下前走过的总路程为：,得,.,29质心质心运动定律,一、质心,质点系的质心代表质点系质量分布的平均位置。设质点系中各质点的质量用mi表示，空间坐标用(xi，yi，zi)表示，则在直角坐标系中，质心位置坐标的表达式为：,质心的位矢：(m为总质量),.,对质量连续分布的物体，其质心坐标为：,几点说明：（1）坐标系的