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文档简介

.,常微分方程应用举例,.,列微分方程的常用方法,(1)利用物理定律列方程,(2)利用导数的几何意义列方程,(3)利用微元分析法列方程,.,例1,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,因此t,t+dt内，流出体积为,.,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,可分离变量,以下求解见268页,等量关系：流出体积量体积减少量,现求体积减少量,.,例2试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光,解,点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光,由光的反射定律,.,于是有,根据导数的几何意义,得到微分方程,一阶齐次,变形为,以下求解见272页,.,例3.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,.,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,.,解,受力分析,例4.
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