第十四章静不定问题分析

.,1,上一讲回顾,考虑剪切变形梁应变能,压杆临界载荷的能量法公式,冲击应力分析的工程方法,依据：能量守恒,动载荷、位移与应力,自由落体冲击的动荷系数,.,2,第14章静不定问题分析,本章以能量法为基础，进一步研究分析静不定问题的原理与方法研究对象：涉及静不定刚架、静不定曲杆等较为复杂的杆系结构；涵盖平面与空间承载情况分析方法：主要是力法，简略介绍位移法,.,3,目录,1引言2用力法分析静不定问题3对称与反对称静不定问题分析4平面刚架空间受力分析5连续梁与三弯矩方程式6位移法概念,.,4,1引言,静不定问题类型静不定度判断,.,5,仅在结构外部存在多余约束外力静不定结构,仅在结构内部存在多余约束内力静不定结构,在结构内外部均存在多余约束混合型静不定结构,几度静不定？,静不定问题类型,.,6,静不定度的判断（外力静不定）,外1度,外3度（平面）,外6度（空间）,约束力分量个数：,2,1,3,3,6,.,7,静不定度的判断（内力静不定，桁架）,内1度,内2度,.,8,静不定度的判断（内力静不定，刚架）,内6度（外3自由度）,单闭口的平面刚架或曲杆，3度内静不定,内3度,.,9,6度内力静不定,外3自由度,5度内力静不定,加一中间铰减少一度静不定,4度内力静不定,加一根二力杆增加一度静不定,静不定度的判断（内力静不定，刚架）,.,10,静不定度的判断（混合静不定）,1（内）1（外）2度,3（内）3（外）6度,圆环在水平方向有一自由度,梁：外3,环：内3,梁环接触：1,3+3+1=7度,.,11,静不定度的判断（梁杆结构）,(a):内2度,(b):1度,(c):2度,.,12,力法要点外静不定问题分析内静不定问题分析,2用力法分析静不定问题,.,13,力法要点,以多余未知力为基本未知量，进行求解,协调方程,赘余反力数=协调条件数,求解,物理方程：,平衡方程,利用能量法建立用载荷与多余未知力表示的补充方程，有助于分析更一般的静不定问题。,.,14,判断静不定度与问题所属类型选择与解除多余约束，并用多余力代替其作用，得相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，建立用多余未知力与载荷表示的变形补充方程由补充方程确定多余未知力通过相当系统，计算原结构的应力与位移等,力法求解步骤,.,15,外静不定问题分析,例：分析图示小曲率杆的支反力与内力，EI为常数。,1.问题分析,几度静不定问题？,试画两个相当系统，列变形协调条件，哪个解题更方便？,.,16,2.位移计算,配置单位载荷系统，设置极坐标系,.,17,3.多余力计算,4.支反力与内力分析,.,18,作业13-613-714-114-2a,.,19,外静不定问题分析（续）内静不定问题分析,2用力法分析静不定问题（续）,.,20,外静不定问题分析(续),题1：已知外力偶M0，求B端约束反力和水平位移。,1.问题分析,静不定度,相当系统,变形协调条件,.,21,2.多余力计算,配置单位载荷系统，设置极坐标系,变形协调条件,=0,.,22,3.计算B端水平位移的单位载荷系统,配置哪个单位载荷系统可求得正确答案？,配置哪个单位载荷系统计算量最小？,.,23,三个单位载荷系统均可求得正确答案解析,.,24,4.计算B端水平位移（1）,方法1,B端的水平位移为,.,25,4.计算B端水平位移（2）,方法2,结果相同！,.,26,例2：求B端反力,1.问题分析,静不定度,相当系统,变形协调条件,2度,.,27,单位载荷系统,例2：求B端反力（续）,变形协调条件,相当系统,.,28,内力静不定问题分析,分析桁架内力与qCD，各杆EA同,1.问题分析,几度静不定问题？,相当系统？,.,29,变形协调条件,2.内力计算,配置单位载荷系统,.,30,3.转角计算,只需利用3、4、5杆内力,注意：通过相当系统求位移！,配置单位载荷系统,.,31,思考：求BD杆的转角，正确的单位载荷系统是_,答：C、D,.,32,例：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力。,解：,判断静不定度：,外力静定,内力静不定度：,8-25+3=1,1、去除多余约束，建立相当系统,2、建立补充方程(找变形协调条件),.,33,利用单位载荷法建立补充方程,.,34,思考：若求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态,内力计算,.,35,求解思路讨论：,A点在与F垂直方向位移,例:A点位移与F方向相同，求角,解：配置单位载荷系统,.,36,.,37,3对称与反对称静不定问题分析,对称结构与对称、反对称载荷对称、反对称问题的内力特点对称静不定结构受力分析反对称静不定结构受力分析结构对称、载荷不对称问题,.,38,对称结构与对称、反对称载荷,.,39,对称问题的内力与变形特点,利用对称性，可直接确定某（些）多余未知力，简化计算，但并不降低静不定度。,利用对称变形条件可以唯一确定对称内力,变形特征：,内力特征：,DC=0,qC=0,FSC=0,.,40,利用反对称变形条件fC=0，可以唯一确定反对称内力FSC,在结构对称点C，对称加载情形，可直接确定一个内力，反对称加载情形，可直接确定两个内力。,变形特征：,内力特征：,FNC=0,MC=0,fC=0,反对称问题的内力与变形特点,.,41,例：已知圆环EI，求B、D与A、C相对位移,分析：静不定度：,相当系统：,3,可直接确定内力数：,2,变形协调条件：,或,.,42,解：利用对称性，取结构四分之一研究,(1)配置单位载荷系统，计算MB,.,43,（2）计算,（i）利用整圆环,.,44,讨论：通过原结构还是通过相当系统求？,（ii）利用圆环,（2）计算,.,45,（3）计算,讨论：计算是利用图a、b还是图c、d所示相当结构与单位载荷系统？,.,46,变形特征（变形协调条件）,内力特征,未知力,反对称问题,反对称轴AB,分析：,例：小曲率圆环，已知R、EI，求A截面内力,.,47,解：变形协调条件,配置单位载荷系统,.,48,一类双反对称轴问题可仅用平衡条件求解,例：对称还是反对称问题？,双反对称轴问题,双对称轴问题,.,49,结构对称、载荷不对称的问题,F,结论:结构对称、载荷不对称的平面结构问题可分解为一个对称与一个反对称问题。,能否利用对称条件？,载荷分解为对称与反对称,.,50,例：右图问题是对称问题还是反对称问题？,对称问题,反对称问题,.,51,例：试利用对称与反对称性质分析下述问题,.,52,4平面刚架空间受力分析,平面刚架空间受力及其特点平面静不定刚架空间受力分析,.,53,平面刚架-轴线位于同一平面的刚架,面内加载-外载荷位于刚架轴线平面内（已研究）,面外加载-外载荷位于垂直于刚架轴线平面,平面刚架两种特殊受力加载情形,平面刚架空间受力及其特点,.,54,面外加载时变形与受力的特点,内力轴线平面内的内力分量（轴力FN、面内剪力FSz与面内弯矩My）忽略不计,反力作用在轴线平面内的支反力与支反力偶矩忽略不计,位移小变形时,横截面形心在轴线平面内的位移（轴线的面内变形）忽略不计,思考：如何处理空间一般载荷问题?,.,55,面内、面外内力分量及一般载荷分解,结论：作用于平面结构的载荷总可分解为面内与面外载荷，分别引起面内与面外内力，可以解耦计算。,面外内力与面外约束力分量,.,56,讨论：对比面外与面内载荷的对称问题,面内受力：,面外受力特征：,变形特征：,平面刚架面外载荷的对称问题,.,57,例：已知EI，GIP，求C点内力MCx及铅垂位移,分析：待求未知量MCz,变形条件：qCxz=0,.,58,1).求,解：根据对称性，取左半部分分析,配置单位载荷系统,变形协调条件,.,59,2).求铅垂位移,对二分之一结构配置单位载荷系统，为求得实际位移，单位载荷取_,.,60,2).求铅垂位移,由单位载荷法,.,61,平面刚架面外载荷的反对称问题,讨论：对比面外与面内载荷的反对称问题,面内受力：,面外受力特征：,变形特征：,.,62,分析：面内内力,未知力（偶）,变形协调条件,面外内力,(反对称),例：已知EI，GIP，求C点内力与面外转角,.,63,解:列载荷与单位载荷系统的内力方程,.,64,由单位载荷法计算C点位移：,.,65,由单位载荷法计算C点转角：,.,66,解得：,变形协调条件,.,67,小结,（1）平面刚架C端空间约束力可分解为面内与面外两组，其中_和_分别是面内力和面外力。,（2）求解时，面内力和面外力_。,.,68,（3）图示静不定平面刚架对称面内受力问题有3个未知力分量，根据对称条件可确定_个未知力。,（4）图示静不定平面刚架对称面外受力问题有3个未知力分量，根据对称条件可确定_未知力。,.,69,（5）图示静不定平面刚架反对称面内受力问题有3个未知力分量，根据反对称条件可确定_个未知力。,（6）图示静不定平面刚架反对称面外受力问题有3个未知力分量，根据反对称条件可确定_未知力。,.,70,5连续梁与三弯矩方程式,连续梁的概念,具有3个或更多支座的梁称为连续梁,下图连续梁为几度静不定？,工程实例,计算简图,.,71,连续梁的计算,如何简化计算？,问题：中间支座反力为多余力，该处挠度为零条件建立补充方程，方程包含所有未知力，计算量大。,.,72,三弯矩方程,将中间支座处换成梁中铰链约束，变形协调条件,.,73,图的面积,图形心坐标,回顾图乘法,.,74,三弯矩方程（续1）,由图乘法,设左跨载荷弯矩图面积,形心距左支座,在支座i加单位力偶,左跨弯矩Mi-1与Mi引起的转角,总转角,.,75,三弯矩方程（续2）,左跨总转角,右跨总转角,代入变形协调条件,等截面梁,.,76,例：试用三弯矩方程式求支座反力和支座1处梁的弯矩。,解：1）求支座1处梁的弯矩,解出：,.,77,解：2）求支座反力,由左段梁AC平衡,由右段梁AC平衡,.,78,6位移法概念,位移法简介,分析图示结构各杆轴力,已知ai,Ei,Ai(i=1,n),1.问题分析,n-1度静不定,n大时力法求解不便,q确定后,Dli与FNi亦确定,.,79,分析图示结构各杆轴力,已知ai,Ei,Ai(i=1,n),2.以q为基本未知量求解,三方面,用q表示Dli与FNi,3.要点,由平衡方程确定q,.,80,位移法总结,选择确定结构变形状态的位移为基本未知量,由已确定的位移，求各构件的变形与内力,建立用所选位移表示的平衡方程，并由此求出该位移,利用变形几何关系与物理关系，用所选位移表示构件的变形与内力,位移法同样可用于求解静定问题,以位移作为基本未知量进行求解的方法位移法,位移法求解静不定问题的方法与步骤,.,81,例题,求图示桁架各杆的轴力，EiAi，li与qi均为已知,1.问题分析,变形Dli可用位移u与v表示轴力FNi也可用位移u与v表示由平衡条件确定u与v,力法解n-2个未知量；位移法解2个基本未知量,.,82,2.位移法求解,联立求解u,vDliFNi,.,83,作业14-314-7a14-8a,d14-914-10,.,84,正方形桁架杆，各杆EI,O点固结。,面内中心对称问题,（2）对称性质：,（1）几度静不定？,.,85,正方形桁架杆，各杆EI,O点固结。,（3）内力计算,思考:是否要直接应用变形协调条件？,解：由中心对称条件