相似三角形的判定3名师课件.ppt

,名师课件,27.2.1相似三角形的判定第三课时,1.全等三角形的判断方法：AAS,ASA,HL.,2.相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.,4.三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似.,3.三角形相似的判定方法1:三边成比例的两个三角形相似.,导入新知，类比探究,引入：小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，为了省事，李文决定只带其中一块去做模型.,小颖说：带第块去.小明说：带第块去.小华说：带第块去.,活动1,探究一：两角分别相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第块去.这是因为在第块中保留有原三角形的两角及夹边，果然，去配回的三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样.,这件事给我们的启示是：有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么，有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢？,感悟新知,观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的.,活动2,探究一：三边成比例的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,提出问题：如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？,延伸问题：作ABC与A1B1C1，使得A=A1，B=B1，这时它们的第三角满足C=C1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算，你有什么发现？,感悟新知,观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角（30与60，或45与45）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的.,活动2,探究一：三边成比例的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断.）,分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足C=C1，.,感悟新知,活动2,探究一：三边成比例的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似.,几何语言：如图，在ABC与A1B1C1中，AA1，BB1，ABCA1B1C1.,例题讲解，相似三角形判定3的应用,活动3,探究一：三边成比例的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例：如图，RtABC中，C=90，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，EDAB,垂足为D,求AD的长.,解：EDAB，EDA=90.又C=90，A=A，AEDABC.,点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似.利用相似求线段长是常用方法.,类比探究,活动1,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？,如图，在RtABC和RtABC中，C90，C90，求证：RtABCRtABC.,分析：要证RtABCRtABC，可设法证,类比探究,活动1,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,如图，在RtABC和RtABC中，C90，C90，求证：RtABCRtABC.,RtABCRtABC.,类比探究,活动1,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,归纳：直角三角形相似的判定定理：(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似,数学表达式：在RtABC和RtABC中，(1)CC90，AA，RtABCRtABC；(2)CC90，RtABCRtABC.(3)C90，C90，RtABCRtABC.,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例1：在RtABC和RtDEF中，CF90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9,解析：选项A：在RtABC中，C90，A55，B35，D35，BD，RtABCRtDEF（有一锐角相等的两个直角三角形相似）；,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例1：在RtABC和RtDEF中，CF90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9,解析：选项A：在RtABC中，C90，A55，B35，D35，BD，RtABCRtDEF（有一锐角相等的两个直角三角形相似）；,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例1：在RtABC和RtDEF中，CF90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9,解析：选项B：AC9，BC12，DF6，EF8，RtABCRtDEF（两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）；,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例1：在RtABC和RtDEF中，CF90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9,解析：选项C：在RtABC中，C90，AC3，BC4，AB5，AC：BC：AB3：4：5，在RtDEF中，F90，DF6，DE8，EF，EE：DF：DE：6：8=：3：4，故RtABC与RtDEF不相似；,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例1：在RtABC和RtDEF中，CF90，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是()AA55，D35BAC9，BC12，DF6，EF8CAC3，BC4，DF6，DE8DAB10，AC8，DE15，EF9,解析：选项D：在RtDEF中，F90，DE15，EF9，DF=，在RtABC中，C90，AB10，AC8，RtABCRtDEF（斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似）.故选C.,C,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。,射影定理：1直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,已知：如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高。（1）求证：ACDABCCBD（2）求证：；,证明:（1）A=A，ADC=ACB=90，ACDABC（两角对应相等，两三角形相似）同理CBDABC.ABCCBDACD.,此结论可以称为“母子相似定理”.,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,已知：如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高。（1）求证：ACDABCCBD（2）求证：；,以上三个结论称为“射影定理”.,证明（2）由CBDACD，得由ACDABC，得由CBDABC，得，,例题讲解，直角三角形相似的判定（HL）的应用,活动2,探究二：两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗？,重点、难点知识,例3.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点，求证：ADQQCP.,解：设PC的长为a，则BP3a，正方形ABCD的边长为4a，DQ2a，AD4a，QC2a，又DC90，ADQQCP.,点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似.,合作探究，归纳总结,活动1,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：相似三角形的基本图形有哪些？,如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）,合作探究，归纳总结,活动1,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：相似三角形的基本图形有哪些？,如图：其中1=2，则ADEABC称为“斜交型”的相似三角形（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）,合作探究，归纳总结,活动1,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：相似三角形的基本图形有哪些？,如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”、“三垂直型”）,合作探究，归纳总结,活动1,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：相似三角形的基本图形有哪些？,如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形,合作探究，归纳总结,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：怎么利用这些基本图形解题呢？,几种基本图形的具体应用：,若DEBC（A型和X型），则ADEABC,合作探究，归纳总结,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：怎么利用这些基本图形解题呢？,几种基本图形的具体应用：,射影定理：若CD为RtABC斜边上的高（双直角图形），则RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB,合作探究，归纳总结,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：怎么利用这些基本图形解题呢？,几种基本图形的具体应用：,满足：、AC2=ADAB，、ACD=B，、ACB=ADC，都可判定ADCACB,合作探究，归纳总结,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,思考：怎么利用这些基本图形解题呢？,几种基本图形的具体应用：,当或ADAB=ACAE时，ADEACB,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,（1）平行线型,例1.如图，在ABC中，BE平分ABC交AC于点E，过点E作EDBC交AB于点D.(1)求证：AEBCBDAC；(2)如果SADE3，SBDE2，DE6，求BC的长,分析：要证AEBCBDAC，需证又由EDBC，有ADEABC，可得，因此只需证DEBD即可.,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,解：(1)证明：EDBC，ADEABC.BE平分ABC，DBEEBC.EDBC，DEBEBC.DBEDEB.DEBD.，即AEBCBDAC.,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,(2)设hADE表示ADE中DE边上的高，hBDE表示BDE中DE边上的高，hABC表示ABC中BC边上的高SADE3，SBDE2，.ADEABC，.DE6，BC10.,点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法。,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,（2）斜交型,例2.如图，点D，E分别为ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且，试问ADE与ABC相似吗？请说明理由,分析：由，及夹角相等，易得BOECOD，DOECOB，再设法证ADEABC即可。,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,解：相似理由如下：因为，BOECOD，DOECOB，所以BOECOD，DOECOB.所以EBODCO，DEOCBO.因为ADEDCODEO，ABCEBOCBO.所以ADEABC.又因为AA，所以ADEABC.,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,（3）垂直型,例3.如图，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：,分析：由“垂直型”相似，可得ABCDBA，有，需证，应证DBFADF.,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,证明：BAC90，ADBC于点D，BACADB90.又CBAABD，ABCDBA.，BADC.ADBC于点D，E为AC的中点，DEEC.BDFCDEC.BDFBAD.又FF，DBFADF.,点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”。有时还可用“等积替换法”。,例题讲解，巧用“基本图形”探索相似条件,活动2,探究三：如何利用相似三角形的基本图形证题？,（4）旋转型,例4.如图，已知DABEAC，ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2).,证明：(1)DABEAC，DAEBAC.又ADEABC，ADEABC.(2)ADEABC，.DABEAC，ADBAEC.,点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧1构造平行线法,例1.如图，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AEED2AFFB.,分析：图中无三角形相似，应作辅助线构造三角形相似,作平行线是常用之法.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧1构造平行线法,例1.如图，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和点E.求证：AE：ED2AF：FB.,证明：如图，过点B作BNCF交AD的延长线于点N.，ECDNBD.又CDEBDN，EDCNDB.BDCD，EDDNEN.AE：ED2AF：FB.,点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧2“三点定型”找三角形相似法,例2.如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.,分析：要证AM2MDME，即证.横看知，需证AME与DMA相似.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,例2.如图，在ABC中，BAC90，M为BC的中点，DMBC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDME.,证明：DMBC，BAC90，BBEM90，DDEA90.BEMDEA，BD.又M为BC的中点，BAC90，BMAM.BBAM.BAMD.又AMEDMA.AMEDMA.AM2MDME.,点拨：由比例式找三角形相似，可运用“三点定型法”找相似三角形，口诀是：横看、竖看定相似。,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧3构造相似三角形法,例3.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BPCPBMCN.,分析：要证BPCPBMCN，即证，由横看知，需证BPMCNP，因此应连接PM、PN，构造出BPM和CNP.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,证明：如图，连接PM，PN.MN是AP的垂直平分线，MAMP，NANP.12，34.又ABC是等边三角形，BC1360.2460.56120.又67180C120.57.BPMCNP.，即BPCPBMCN.,点拨：通过要证的比例式，用“三点定型法”找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在，就应通过作辅助线构造出来.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧4等比过渡法,例4.如图，CE是RtABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BGAP于点G，交CE于点D.求证：CE2DEPE.,分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE2AEBE,要证CE2DEPE，就需证DEPEAEBE,就需证DEBAEP.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,证明：BGAP，PEAB，AEPBEDAGB90.PPAB90，PABABG90.PABG.AEPDEB.，即AEBEPEDE.又CEAB，CEABEC90，CABACE90.又ACB90，CABCBE90.ACECBE.AECCEB.，即CE2AEBE.CE2DEPE.,点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，就可以采用“等比过渡法”证明.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧5等积代换法,例5.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.,分析：要证，可证AEABAFAC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AEABAD2，AFAC=AD2，故得证.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧5等积代换法,例5.如图，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F.求证：.,证明：ADBC，DEAB，ADBAED90.又BADDAE，ADEABD，得AD2AEAB，同理可得AD2AFAC，AEABAFAC，.,点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到，可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技巧？,技巧6等线段代换法,例6.已知：如图，AD平分BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2PBPC.,分析：由EP垂直平分AD，可连接AP，有PA=PD.要证PD2PBPC，可证PA2PBPC，需证PACPBA.,合作探究，证比例式或等积式的技巧,活动2,探究四：证比例式或等积式有哪些技