导数与微分的定义

,第二章,导数与微分,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,第一节,1.导数和微分的定义,一、导数的定义,四、导数的几何意义,三、函数的可导性与连续性的关系,二、单侧导数,五、微分,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则到的平均速度为,而在时刻的瞬时速度为,自由落体运动,2.曲线的切线斜率,曲线,在M点处的切线,割线MN的极限位置MT,(当时),割线MN的斜率,切线MT的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,若上述极限不存在,在点不可导.,若,也称,在,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在I内可导.,的导数为无穷大.,由定义求导数的步骤,一些基本初等函数的导数,常数函数的导数幂函数的导数正（余）弦函数的导数对数函数的导数指数函数的导数,常数函数的导数,解,注：,例2.,正弦函数的导数,解,所以,同理可得,例1.,例3.求函数,解:,幂函数的导数,的导数,更一般地,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,（以后将证明）,对数函数的导数,解,例4.,指数函数的导数,解,例5.,（见1-4函数连续性的例3）,在点,的某个右邻域内,五、单侧导数,若极限,则称此极限值为,在处的右导数,记作,即,(左),(左),例如,在x=0处有,定义2.设函数,有定义,存在,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,若函数,与,都存在,则称,在开区间内可导,在闭区间上可导.,可导的充分必要条件,是,且,四、函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点x处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点x连续.,即,注意:函数在点x连续未必可导.,证,例2:,分段函数在分段点的可导性,解,例6.,7.设,问a取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在x=0连续.,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与x轴平行,称为驻点;,若,切线与x轴垂直.,切线方程:,法线方程:,切线,法线,解：,切线方程：,法线方程：,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为x,面积为A,则,面积的增量为,关于x的线性主部,故,当x在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点的增量可表示为,(A为不依赖于x的常数),则称函数,而称为,记作,即,定理:,可微的充要条件是,则,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点可微,则,故,在点的可导,且,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,定理:函数,在点可微的充要条件是,在点处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点的可导,则,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,基本初等函数的微分公式(见P66表),又如,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,思考与练习,1.函数在某点处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,