Hamilton力学的辛算法ppt课件

.,1,Hamilton力学的辛算法和分子动力学模拟,陈敏伯中国科学院上海有机化学有机所计算化学课题组2006年10月,.,2,内容,冯康对世界科学的重大贡献Euclid空间辛空间Hamilton力学的辛结构正则变换的辛结构辛算法应用实例,.,3,Schrdinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基石。”Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程作正确的数值计算。一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即都是辛（正则）变换。一切解Hamilton方程“正确”的离散算法都应当是辛变换的。（冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系统辛几何算法”）Lax：“他的声望是国际性的。”丘成桐：“中国在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”(1998年3月11日中国科学报),.,4,“冯氏大定理”,同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上是等价的；但在计算上是不等价的。冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性，将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有高保真性的算法。在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计算和分子动力学计算中得到广泛的应用。,.,5,冯康（19201993）的学术成就,1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术界承认冯康独立发展了有限元方法。（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾打算将申请撤回。）前国际数学会理事长J.L.Lions教授1981年说：“中国学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。（1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自然科学一等奖。）石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”,.,6,数学地位,.,7,外微分辛几何,辛几何的基础是外微分形式。外微分形式是如下概念推广到高维的产物：1、作功在场中沿某一路径所作的功；2、流量单位时间内流体穿过某曲面的量3、面积或体积平行四边形面积或平行六面体体积。外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等辛构造就是非简并的闭2-形式。,.,8,Euclid空间,对称性：线性：（k为任意实数）（c是V中的任意向量）非简并性：，当且仅当时才,符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。,然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。,.,9,辛空间（SimplecticSpace）,反对称性：双线性：非简并性：若向量a对于W中的任意向量b均有，则,具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间”。这种内积称为“辛内积”。,.,10,辛空间,度量：作功、面积（或体积）、流量等辛内积：2维：a、b平行四边形面积2n维：,单位辛矩阵：,.,11,单位辛矩阵的性质,若A为对称阵，且，则,证明：,.,12,Euclid空间和辛空间的对应关系,.,13,Hamilton力学的辛结构,.,14,正则变换的辛结构,正则变量从变换到记为：,即：,M,辛变换：,.,15,正则变换M的性质,.,16,无穷小辛阵,定义：若，则该2n阶矩阵称为“无穷小辛阵”设为对称阵，当且仅当时，为无穷小辛阵。（证明略）若为无穷小辛阵，则为辛阵。若为无穷小辛阵，又若非奇异，则为辛阵,.,17,辛阵,2、当且仅当和，则、都为辛阵,3、是辛阵,4、当且仅当，则是辛阵,5、当且仅当和，则是辛阵,1、是辛阵的充要条件：,.,18,线性Hamilton体系的辛差分格式,线性Hamilton体系Hamilton函数是的二次型,且,其中,为无穷小辛阵,为辛阵,积分,.,19,.,20,中点Euler法的辛格式,h为时间步长,因为为无穷小辛阵，且非奇异即，故步进算符为辛阵，故为辛格式。,.,21,可分、线性Hamilton体系的中点Euler公式,“可分、线性Hamilton体系”,.,22,Euler中点法,演绎见后页,.,23,演绎细节：,.,24,前面我们已经证明了是辛阵，所以上面算法是辛格式。,.,25,基于Pad逼近的辛格式,线性Hamilton体系相流有理Pad逼近：,称为“l+m阶对ex的Pad逼近”,即,可分体系：,.,26,用以下构造的差分格式都是辛格式,*：“(1,1)逼近”，就是Euler中点格式。,.,27,可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式,差分,.,28,当且仅当和时,和都为辛阵。,当且仅当，则是辛阵。现在是，所以也是辛阵。故为辛格式。,.,29,演绎细节：,.,30,可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式,差分,h：时间步长,.,31,验证：,验证完毕,.,32,实例1谐振子的相空间轨迹,(a)Runge-Kutta法3000步，步长0.4。人为耗散，轨道收缩,(b)Adams法步长0.2。人为反耗散，轨道发散,(c)蛙跳法*步，步长0.1。初、中、末各取三段1000步的结果完全吻合,.,33,实例2非谐振子的相空间轨迹,（a）与（b）为同一个蛙跳法模拟的分段取样结果,(c)二阶辛算法1000步.初、中、末三段结果完全吻合,最初1000步轨道失真,第900010000步轨道继续失真,*：蛙跳法即二步中心差分法，它对于非线性方程不是辛算法,.,34,实例3Huygens振子,(a)Runge-Kutta法步长0.10000005；9x105步。趋于左吸引子,(b)Runge-Kutta法步长0.10000004；9x105步。趋于右吸引子,(c)二阶辛算法4条轨道，每条各108步；步长0.1每条轨道的初、中、末各取三段500步的结果完全吻合。具有超长期跟踪能力,位于双纽线之外的任意初始相点趋于左右两个假吸引子的几率相同。,.,35,实例4椭球面上的测地线,(a)Runge-Kutta法轨道不趋稠密,步长0.05658，104步频率比：,(b)辛算法轨道趋于趋稠密,无理数,.,36,实例5椭球面上的测地线,步长0.033427，105步周期：25频率比：11/16,有理数,(a)Runge-Kutta法轨道不封闭,(b)辛算法轨道封闭,.,37,实例6Kepler轨道,当频率比为有理数时，应当形成封闭轨道,步长0.01605，2.5x105步频率比：11/20,有理数,(a)Runge-Kutta法轨道不封闭,(b)辛算法轨道封闭,.,38,实例7Li2分子的经典轨迹法,设原子位置折合质量广义位置广义动量动能势能取Morse势Hamiltian量,.,39,Li2分子的经典轨迹的正则方程,Li2分子态的参数：，-1。设初态为：步长0.005。,.,40,1.振幅、周期,(a)辛算法：长达106步时还保持振幅恒定，周期性恒定。,(b)Runge-Kutta法：5000步之后振幅变小、周期变短,.,41,2.相空间轨迹,(a)辛算法：长达106步时还保持总能量恒定、相空间轨迹稳定、。,(b)Runge-Kutta法：104步之后总能量急剧下降；相空间轨迹沿q方向收缩，5104步时已经面目全非。,.,42,实例说明：,8种实例：简谐振子、Duffing振子（非线性振子）Huygens振子、Cassini振子、二维多晶格与准晶格定常流、Lissajous图形、椭球面测地线流、Kepler运动。说明了在整体性、结构性和长期跟踪能力上辛算法的优越性。一切传统非辛算法，无论精度高低均无例外地全然失效。一切辛算法无论精度高低均无例外地过关，均具有长期稳健的跟踪能力。显示了压倒性的优越性。,.,43,Hamilton体系的守恒律,辛算法保持了Hamilton体系具有的两个守恒律：1、相空间体积的不变性Liouville-Poincar守恒律2、运动不变量：如能量、动量、角动量的守恒辛算法能够在数值计算中保持辛变换的结构，于是就会得到高的稳定性。辛算法的差分方法被认为是目前最稳定、高效的计算方法。最适合用于经典力学体系。辛算法不含人为耗散性，先天性地免于一切非哈污染，是“干净”的算法。,.,44,传统算法除了极个别例外，均为非辛算法。大都是为了渐近稳定体系设计的，都含有耗散机制以保证计算稳定性。Hamilton体系不具有渐近稳定性，所以传统算法都不可避免地带进人为耗散性、虚假吸引子及其它种种非哈体系本身具有的寄生效应。,.,45,Refs,1余扬政，冯承天，物理学中的几何方法，高等教育出版社，施普林格出版社，1998年。2Arnold,V.I.,MathematicalMethodsofClassicalMechanics,Springer-Verlag,Heidelberg,1978;中译本：齐民友译，经典力学的数学方法（第