《物理光学》章 光的电磁理论及课后习题答案

.,光的电磁波性质平面电磁波,第一章光的电磁理论,预备知识:1、普通物理：电磁学2、工程数学：矢量运算、场论基础,.,麦克斯韦(Maxwell)在法拉第(Faraday)、安培(Anper)等人研究电磁场工作的基础上：于1864年总结出了一组描述电磁场变化规律的方程组，从而建立了经典电磁理论。Maxwell方程两种等效的表达形式：积分形式适用于解释物理现象；微分形式适用于理论推导。,1.1光的电磁波性质,一、麦克斯韦方程组,.,一）积分形式的Maxwell方程D:电感应强度(电位移矢量)B:磁感应强度E:电场强度H:磁场强度,、分别称为介电系数(或电容率)，磁导率,.,高斯定理电和磁,1）E高斯(Gauss)定理：通过任意封闭曲面的电感通量等于曲面内所包含自由电荷的代数和。,2）B高斯定律：通过任意封闭曲面的磁感通量为零，说明穿入与穿出任一封闭曲面的磁通量永远相等，即磁场没有起止点，磁力线是闭合曲线。,.,法拉第电磁感应定律,随时间变化的磁场会产生感生电动势,.,A）交变的磁场产生涡旋电场；法拉第(Farady)电磁感应定律：变化电场中，沿任一封闭路径的感应电动势e等于路径所包面积上的磁感通量的变化率，感应电动势：单位正电荷沿闭合回路移动一周时涡旋电场所作的功，,.,安培环流定则,随时间变化的电场会产生涡旋磁场,磁场强度H沿任意闭合回路的环流等于穿过闭合回路所围曲面的全电流之和,.,B）变化的电场也能够产生磁场：传导电流意味着电荷的流动，而位移电流却意味着电场的变化，但是两者在产生磁场方面是等效的电场中任一截面的位移电流强度等于通过该截面的电通量的时间变化率。,.,交变电磁场的普遍规律：（.1）这四个方程通常称为积分形式的麦克斯韦方程组。,.,二)微分形式的Maxwell方程1、矢量运算与场论基础：矢量运算：点积（内积）：叉积（外积）：,axb,.,梯度：标量场f(x,y,z)在某点M(x,y,z)的梯度是一个矢量，它以f(x,y,z)在该点的偏导数，为其在“x,y,z”座标轴上的投影，记作：微分算符(也称为哈密顿算符)，定义为：,.,散度：矢量函数(M)在坐标轴上的投影为P、Q、R，它的散度是一个标量函数，定义为微分算符与矢量F的数量积,记作：旋度:矢量函数(M)在坐标轴上的投影为P、Q、R，它的旋度是一个矢量函数，定义为微分算符与矢量F的矢量积，即:,.,矢量分析基本公式:矢量积分定理：高斯定理:是空间区域上三重积分与其边界上曲面积分之间关系的定理。斯托克斯：定理是关于曲面积分与其边界曲线积分之间关系的定理。,.,2、微分形式Maxwell方程对方程组的第一式，如果闭合曲面积分域内包含的电荷是连续分布的：,.,方程组第三四式：,.,*微分形式的Maxwell方程：(1.2),二、物质方程：1、一般特性：、:电磁场基本物理量，代表介质中总的宏观电磁场；、：与介质特性相关的辅助场量；,.,式中：、分别称为介电系数(或电容率)，磁导率和电导率。线性光学：、与光强无关；在透明、无损介质中=0；非铁磁性材料：r=12、非线性：光强很强：非线性光学,(1.31.5),*物质方程,.,三、电磁场的波动性,*波动方程：两个结论：第一，任何随时间变化的磁场在周围空间产生电场，这种电场具有涡旋性，电场的方向由左手定则决定；第二，任何随时间变化的电场在周围空间产生磁场，磁场是涡旋的，磁场的方向出右手定则决定。电场和磁场相互激发形成电磁场,.,从Maxwell方程到波动方程，证明电磁场的波动性在无限大均匀介质中，常数，常数，并且不存在自由电荷和传导电流(0，j0)。第三式的旋度代入四式，,.,同样：电场和磁场以波动形式在空间传播，传播速度为v；解的形式取决于边界条件。电磁波在传播介质中的绝对折射率真空光速/介质光速：式中r，r分别为相对介电系数和相对磁导率。除了铁磁物质之外，对于大多数物质，r=l，因而上式变为,四、电磁波,.,1889年，赫兹在实验中得到了波长为60厘米的电磁波，观察了电磁波在金属镜面上的反射，折射，以及干涉现象。赫兹的实验不仅以无可质疑的事实证实了电磁波的存在，而且也证明了电磁波具有光波的性质。根据真空中的介电常数和磁导率得出真空中的光速：2.99794x108m/s实验结果计算出电磁波在真空中的速度为:3.1074x108ms，测量的光速为：3.14858x108ms。,.,无线电、光、射线本质一样，只是波长不同。,可见光：390nm780nm,.,1.2平面电磁波,一、波动方程的平面波解假设平面波沿直角座标系x、y、z的z方向传播，电磁场与x、y无关，电磁场只是z和t的函数。这样，电磁场的波动方程：,.,令：=z-vt,=z+vt代入上式得：f1和f2为z和t的两个任意矢量函数。f1表示沿z正向传播的波，f2表示以同一速度沿z负方向传播的波。因为我们讨论则是由辐射源(光源)向外的波的传播问题，所以只取第一项：该波的最简单形式-简谐波,.,若波源是谐振动沿波传播方向任取一点PP点振动的方程,.,二、平面波简谐波：余弦(或正弦)函数作为波动方程的特解式中：1）A和A分别是电振动和磁振动的振幅。2）位相：余弦项的宗量，它决定平面波在传播轴上各点的振动的状态。3）简谐波波长:任意时刻位相相差2两点间距4）等相面（波面）：某时刻场中位相相同的点波前,.,波阵面=等相面是一个平面故称平面波5）时间角频率：6）波矢量沿等相面法线方向，亦为能量传播方向其大小(通常称波数),T为时间周期为空间周期,空间角频率K,时间角频率,.,平面电磁波各种波函数：,平面电磁波具有时间周期性和空间周期性时间无限延续，空间无限延伸的波动,.,平面波传播速度随介质而异；时间频率与介质无关；而空间频率波长随介质而异,平面电磁波的时间周期性和空间周期性,.,最显著的特点是：时间周期性和空间周期性：1、单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸的波动。2、从光与物质的作用来看，磁场远比电场为弱。所以通常把电矢量E称为光矢量，把E的振动称为光振动。,平面简谐波=单色波,.,三、一般坐标系下的波函数1、沿空间方向k传播的平面波函数：设k的方向余弦（在x,y,z上的投影）为cos,cos,cos,那么：,x,y,.,2、设k的方向余弦为cos,cos,cos,那么在x,y,z上的空间周期：空间周期（k）：不同考察方向有不同空间周期:在r方向上的空间周期：3、空间频率：,.,例：单色平面波频率为：6x1014Hz，真空中沿xy面内传播；某时刻波场的相位差2的等相位线如图，已知x方向等相位线间隔1m，求：1、传播方向空间频率；2、x，y方向空间频率值；3、传播方向与x，y方向夹角。解：1、2、3、,.,四、复数形式的波动公式欧拉公式：运算结果取实部；优点：1、时间和空间因子分离；2、简化运算适用于线性系统,.,五、平面简谐波的复振幅波函数=空间位相时间位相复振幅：场振动的振幅和位相随空间的变化。时间位相：场振幅随时间变化。由于在空间各处随时间的变化规律相同所以可以在讨论时省略。,波函数互为共轭复数,.,六、平面电磁波的性质,1、电磁波是横波2、相互垂直3、同相,.,一、球面波1、波函数：点光源，发出以0点为中心的球面，即波阵面是球面，这种波称为球面波。球面波阵面上各点的位相相同。通解：单色光波:P点的位相：P点的振动矢量：,1.3球面波和柱面波,.,单位时间内通过任一球面(波面)的能量相同-能量守恒。2、球面波的复振幅球面简谐波复数形式的波函数：复振幅定义为：振幅和空间位相因子：,.,球面波的振幅不再是常量，与离开波源的距离r成反比球面波的等相面是r的常量的球面,球面简谐波复数形式的波函数,.,二、柱面波：柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波阵面具有柱面的形状。柱面波的波动公式可以写为：复振幅：,.,1.4.1光源热光源、气体放电、激光光是电磁波，光源发光是物体辐射电磁波的过程。物体微观上可认为由大量分子、原子、电子所组成，可看成电荷体系，大部分物体发光属于原子发光类型。普通光源：自发辐射，普遍光源的发光是物质各个原子或分子发光的总效果。,1.4光源和光辐射,.,1.4.4实际光波由于原子的剧烈运动，彼此间不断地碰撞，因而原子发光是断续的。在最好的条件下(如稀薄气体发光)，约为10-9秒的数量极。1、原子发出的光波是由一段段有限长的称为波列的光波组成的；2、实际光源发出的光波其光矢量的振动方向具有一切可能的振动方向。如果没有一个振动方向较之其他方向更占优势，这样的光为自然光。,.,同一原子先后发出的光及同一瞬间不同原子发出的光的频率、振动方向、初相位、发光的时间均是随机的。,结论：一般而言热光源及普通光源发出的光为非相干光。且同一光源上不同点发出的光也是非相干光。,.,理想的单色光具有恒定单一波长的简谐波，它是无限伸展的。实际原子的发光是一个有限长的波列,所以不是严格的余弦函数,只能说是准单色光，即在某个中心频率（波长）附近有一定频率（波长）范围的光。,.,例:普通单色光：10-2100A激光：10-810-5A,衡量单色性好坏的物理量是谱线宽度,.,1.4.3、辐射能在电磁学里，电、磁场的能量密度为：1、辐射强度矢量或坡印亭矢量：单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的电磁能量，方向是能量的流动方向：,.,在物理光学中，通常把辐射强度的平均值称为光强度，以I表示。,.,例光功率为100W的灯泡，在距离为10m处的波的强度时多少？,解：,.,1.5电磁场的边值关系*1.6光在介界面上的反射和折射反射、折射定理菲涅耳公式反射折射产生的偏振,第一章光的电磁理论,.,电磁场的边界关系光波在介质的分界面上电磁场量之间的关系称为电磁场的边界条件。1、法向分量通过分界面时磁感强度的法线分量是连续的。若没有自由电荷，电感强度的法线分量也是连续的。,1.5电磁场的边值关系,.,磁感强度：假想在分界面上作出一个扁平的小圆柱体。,.,2、切向分量电矢量E和H的切向分量是连续的。矩形面积ABCD，令其四边分别平行和垂直分界面。,.,在两种介质的分界面上电磁场量是不连续的，但在没有面电荷和面电流的情况下B和D的法向分量以及H和E的切向分量则是连续的。,.,光在电介质分界面上的反射和折射，实质上是用介质的介电系数、磁导率和电导率表示大量分子的平均作用。1、证明k1、k2、k1共面。以E1、E1、和E2分别表示入射波、反射波和折射波的电矢量分量，它们的波动公式应为:,1.6.1反射定律和折射定律,1.6光在两介质分界面上的反射和折射,.,对任何时刻t都成立，故有入射波、反射波和折射波的频率相同：说明时间频率是固有特性，不随媒质改变。,.,对整个界面上的位置矢量r都成立，所以：所以（k1-k1）(k1-k2)与界面垂直，与法线平行，k1、k2、k1共面，同在入射面内。,.,2、反射定律：设在介质1和2中的位相速度v1和v2。因为：所以：,.,3、折射定律：设在介质1和2中的位相速度v1和v2。因为：所以：或-折射定律，或称斯涅耳(snell)定律。,.,*1.6.2、菲涅耳公式关于反射波和折射波与入射波振幅和位相比值的关系式。把入射光分解为垂直于入射面的分量E1s(正向指向读者）和平行于入射面分量E1p,.,1、s波的反射和透射系数根据边值关系：,所以：,.,代入E的表达式，各指数项相等并利用折射定律：,.,垂直分量的透射系数:以上是电矢量垂直入射面s波的菲涅尔公式。,由此得出反射波和入射波的振幅之比(垂直分量的反射系数)：,.,2、p波的反射和透射系数反射系数和透射系数。在正入射或入射角很小时：菲涅尔公式有简单形式：,.,n1n2,.,2）光从光密介质入射到光疏介质（n0.3m时，采用米氏定律。,衰减系数,散射系数,.,1.瑞利散射：散射光强与入射光波长的四次方成反比，即为光源中强度按波长的分布函数应用：红光散射弱、穿透力强,.,2.米氏散射:()的经验公式表示为：V为能见度（km），为传输波长（nm）。q与能见度有关，较传统的观点认为它们之间的关系如下：,.,.,3.非线性散射-拉曼散射是研究分子结构的一种很重要的方法在非弹性碰撞过程中，光子和分子有能量交换，光子转移一部分能量给分子或者从分子中吸收一部分能量，从而使其频率发生改变散射光谱中，除有与入射光频率0相同的谱线外，还有频率为01,02,.的强度较弱的谱线。,.,第一章重点,平面波、球面波的性质和数学表达坡印亭矢量和光强，二者之间的关系菲涅尔方程及菲涅尔公式的物理意义、图形特点反射率和透射率布儒斯特角、全内反射,.,1.1一个平面电磁波可以表示为求（1）该电磁波的频率、波长、振幅和原点初相位为多少？（2）波的传播和电矢量的振动取哪个方向？（3）与电场相联系的磁场B的表达式。,解：（1）所以电磁波的频率波长振幅A=2V/m原点初相位（2）波的传播方向沿Z方向传播，电矢量沿y方向振动。（3）由知，磁场沿-x方向振动，且所以,.,1.2一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为，试求：（1）光的频率；（2）波长；（3）玻璃的折射率。,解：所以（1）光的频率（2）波长（3）玻璃的折射率n=c/v=1/0.65=1.53,.,1.5在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，其厚度h=0.01mm，折射率n=1.5，若光波的波长=500nm，试计算插入玻璃片前后光束光程和位相的变化。,解：光程变化=nh-h=(n-1)h=510-6m平面电磁波在介质中传播的的波函数为位相的变化为,.,1.6地球表面每平方米接收到来自太阳光的能量约为133kw，若把太阳光看作是波长600nm的单色光，试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度。,.,1.7在离无线电反射机10km远的处飞行的一架飞机，收到功率密度为10W/m2的信号。试计算：（1）在飞机上来自此信号的电场强度大小；（2）相应的磁场强度大小；（3）发射机的总功率。,解:已知P0=10W/m2r=10km(1)由得此信号的电场强度大小为（2）由知相应的磁场强度大小为2.910-10T（3）发射机的总功率P=P04r21.26104W,.,1.8沿空间K方向传播的平面波可以表示为试求K方向的单位矢量K0,解：由平面波的波函数可知Kx=kcos=2Ky=kcos=3Kz=kcos=4k2=22+32+42=29所以k方向的单位矢量,.,1.16证明(1)rs=-rs(2)rp=-rp(3)tsts=Ts(4)tptp=Tp,.,1.19证明光波以布儒斯特角入射到两介质界面时，tp=1/n,其中n=n2/n1,证明：,光波以布儒斯特角入射到两介质界面时,.,1.21光束垂直入射到45直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强度为I0,问从棱镜透出光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。,解：光束垂直入射透射率为T1=n2/(n+1)20.96因为sinc=1/1.52c45所以光束在直角棱镜的斜面上发生全反射R2=1全反光束经直角棱镜的直角边垂直透射出其透射率T3=T1I=I0T1R2T30.92I0,.,1.27一直圆柱形光纤，光纤纤芯的折射率为n1,包层的折射率为n2,并且n1n2.（1）证明：（2）若n1=1.62,n2=1.52,求最大孔径角。,解:(1)证明：n1sinc=n2sinu=n1sin(/2-c)=n1cosc(2)n1=1.62,n2=1.52代入式子,.,1.28弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为n1和n2(n1n2)，光纤芯的直径为D，曲率半径为R。证明入射光的最大孔径角2u满足关系式:,.,1、试对于平行平面电磁波沿x方向传播的情形，证明电矢量和磁矢量相互垂直。沿x方向传播的平面波可以写为：,.,2、平面简谐波沿x方向传播，波长为，初位相为0=0，求：1、x方向的位相；2、y方向的位相；3、r方向的位相。解：,.,3、平面简谐电磁波在真空中沿正x方向传播，频率4x1014Hz(兰光)，电场振幅为1414v/m。如果该电磁波的振动面与xy平面成45度角，试写出E和