第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士)

.,第3章随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数,概率论,随机变量的数学期望,随机变量的方差,随机变量的矩与中位数,随机变量间的协方差与相关系数,随机变量偏度、峭度,随机变量条件期望与方差,随机变量生成函数与特征函数,随机变量的数学期望,MathematicalExpectation,以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。,一、引例,某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为,随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？,.,二、数学期望的定义,离散型随机变量,Def设离散型随机变量的概率分布为,连续型随机变量,Def设连续型随机变量的概率密度为,，若广义积分,随机变量数学期望所反应的意义,例3.1已知随机变量X的分布律为,求数学期望,解：由数学期望的定义,例3.2已知随机变量X的分布律为,求数学期望,解：由数学期望的定义,.,.,.,.,例3.7,若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.,的分布函数为,.,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(X,Y)为二维离散型随机变量,(X,Y)为二维连续型随机变量,.,例3.8设(X,Y)的联合密度为,解：,.,.,随机变量函数的数学期望,1.一元随机变量函数的情况,设,是随机变量X的函数，,离散型,连续型,.,2.二元随机变量函数的情况,离散型,连续型,.,例3.9,例3.10设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为,.,.,随机变量数学期望的性质,1.设C是常数，则E(C)=C；,2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；,3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；,4.设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；,请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立,证明：这里只证明行至3,4,.,利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。,.,例3.12设随机变量XB(n,p)，求二项分布的数学期望。,XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。,解：,.,随机变量的方差,Variance,随机变量方差的定义,设是一随机变量，如果存在，则称为的方差，记作或,方差的计算公式,均方差（标准差）,.,离散型,设离散型随机变量X的概率分布为,连续型,设连续型随机变量X的分布密度为f(x),方差的统计意义,随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。,例3.11已知随机变量X的分布律为,求方差,解：,.,.,.,.,.,方差的性质,1.设C是常数，则D(C)=0；,2.若a，b是常数，则,3.,证明:,例3.16,.,解：,.,随机变量的矩与中位数,随机变量的矩,原点矩与中心矩(OriginandCentralmoment),Def设X是随机变量，若,存在，,则称其为X的k阶原点矩，,若,存在，,则称其为X的k阶,中心矩，,中位数(Median),Def,显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差,.,随机变量的偏度与峭度,.,随机变量的条件数学期望与应用,一、条件数学期望的概念,Conditionalexpectation,1.Def设随机变量的条件分布存在，则条件数学期望定义如下,2.随机变量的条件数学期望的意义,.,条件下随机变量X的条件数学期望。,所以，,条件下随机变量X的条件数学期望。,注意：条件数学期望具有数学期望的所有性质,.,二、条件数学期望的数学期望（重期望）,为重期望，即,定理（重期望公式）,设,为二维随机向量，且,存在，则有,证明：只对连续性情况证明,.,重期望公式的应用,这公式提供了一个在大范围求平均的一种思想方法，即所谓的两次平均法,.,例3.18一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门与一个经3小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门与一个经5小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与一个经7小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安全区。,显然有,由重期望计算式,解的,解得,.,例3.19设电力公司每月可供给某工厂的电量,（单位：万千瓦），该厂每月实际需要电量,（单位：万千瓦）。如果工厂从电力公司得到足够的电力则每万千瓦电力可创造30万元的利润，如工厂从电力公司得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，但每万千瓦电力可创造10万元的利润，求该工厂每月的平均利润.,解：设该工厂每月的利润为,，则有,.,重期望公式知该工厂的约平均利润为,.,随机变量的条件方差与性质,.,.,随机变量间的的协方差与相关系数,CovarianceandCorrelationcoefficient,随机变量间协方差与相关系数,Def,协方差的定义,相关系数的定义,Def,.,随机变量间协方差的计算,离散型,连续型,注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协,方差有单位，而相关系数无单位。,.,例3.20,解：边际分布如表,.,例3.21,解：边际概率密度为,.,随机变量间协方差与相关系数的性质,性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,.,证明:,随机变量间线性无关的概念,Def,.,例3.22,解：,这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,.,随机变量的概率生成函数,.,.,.,.,.,.,随机变量的特征函数,一、随机变量特征函数的定义与计算,特征函数的计算,设离散型随机变量的概率分布为,则随机变量的特征函数为,设连续型随机变量的概率密度为,则随机变量的特征函数为,.,例3