复数性质及其在数学上的应用毕业论文.doc

【标题】复数性质及其在数学上的应用 【作者】齐 耀 秋 【关键词】数学复数应用 【指导老师】王 进 【专业】数学与应用数学 【正文】引言复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。2复数概念及性质2.1复数概念形如的数叫做复数。复数的表示形式有：代数形式；三角形式；指数形式。几何形式：用向量表示复数；用点表示复数。向量的长度称为复数的模，记为：，即。向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。复数与互为共轭复数。2.2复数性质设,于是有：；纯虚数或零；。；。；。；。棣莫弗公式：。3复数性质在数学中的应用3.1利用复数性质解决代数问题3.1.1用复数性质求极值例设，求函数的最小值分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。解：设，因为而，所以因此函数的最小值为。由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。例设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系首先，所以，解这个关于的方程，得：所以，因此，所以，等号成立当且仅当，即时取得此时，AOB取得最大面积，为。本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。3.1.2用复数性质证明不等式例设a、b、x、y都是实数，求证：分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。如果考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。证明：设，则，则，则，则又因为所以 由模的性质可知所以例设a为任意实数，求证：证明：因为设，根据（等号仅当同向时成立）因，故有3.1.3用复数性质证明等式例：求证:分析：由于，可以用数学归纳法证明以上等式，但由等式联想棣莫弗公式和二项式定理，使证明更简明。证明：设则由复数相等的定义可得：这道题关键是由等式左边联想棣莫弗公式，等式右边结合二项式定理，才使证明简明扼要。3.1.4用复数性质解决数列问题例已知实数列，的各项均不为零，且，为已知常数，求数列，的通项公式。解：构造复数（）则所以是以为首项，为公比的等比数列所以故此题运用棣莫弗公式：，使运算量大大减少，优化了过程，提高了效率，可谓匠心独运，对能力提高大有帮助。3.2利用复数性质证明几何问题3.2.1复数性质在求轨迹中的应用例已知平行四边形的两个顶点A(0，0)，B(3，-5)，点P内分对角线AC为 21。当D点在以Q（3，2）为圆心，3为半径的圆周上运动时，求P点的轨迹。分析：如图,按常规方法，找出P点与D点的坐标关系后，利用D点的轨迹求解，其运算繁杂。若将直角坐标平面视为复平面，则解决起来会十分简便。解：由题知点A、B、Q对应的复数分别为：，设点P对应的复数为，根据题意有：且所以又因为所以所以故所求的P点的轨迹为以点（4，2）为圆心，半径为2的圆。正确理解复数的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键。例为顶点依次顺时针方向排列的等腰直角三角形，其中A为定点，B是定圆上的动点，C为直角顶点，求C点的轨迹。解：如图建立坐标系（确定复平面）设定圆的半径为r，A、C对应的复数为又因为所以因此，即故C点的轨迹是以（a,a）为圆心，以为半径的圆。一个复数对应于复平面上的一个点,如果复数的实部与虚部是一对实数变量,则所对应的点就成为复平面上的动点。如果复数变量按某种条件变化,则复平面上的动点就构成具有某种特性的点集或轨迹,因此通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单、清晰。3.2.2复数性质在解决两条直线垂直问题中的应用例椭圆和直线（）交于P、Q两点，求直线OP和OQ相互垂直的条件。解：设P、Q两点在X轴上的坐标分别为，因P、Q在直线上，利用复数表示有，若要，知必须应为纯虚数。据其实部为零，有 即：（1）再由得（2）所以代入（1）得（3）因（2）要有两个不同的实根，须判别式即（4）以上条件（3）（4）即为所求的条件。3.3利用复数性质解决三角问题3.3.1用复数性质证明三角恒等式例求证：分析：将，分别看成是复数，的一个辐角，问题已转变为求四个复数辐角和，则利用即可。证明：设，则，所以又因为所以又因为所以即利用复数证明角相等，要注意讨论角的范围。3.3.2用复数性质求三角函数值例已知，求的值解：构造复数：，则有因为所以根据两个复数相乘，积的辐角等于各复数辐角之和，得4总结：复数是高中数学中涉及面广,知识跨度大的内容,它具有综合代数、三角、几何为一体的特点,应用十分广泛。并且对数学的发展起到了探索和导向的作用。本文介绍了复数概念及其性质，并通过复数性质在代数、几何、三角三个方面的应用对课题进行了阐述。从文中所举例子可见，对于数学中的某些问题，通过使用复数相关性质可以使问题得以巧妙解决。其中利用复数性质求函数极值、数列通项公式、轨迹方程、三角函数值，证明不等式、证明等式、三角恒等式、证明两条直