北师大版九下《二次函数》全章1精ppt课件

北师版九下（精品PPT）,第二章二次函数,1锐角三角函数（第1课时）,学习新知,赵州桥,又称大石桥、安济桥,是位于河北省赵县城南五里洨河上的一座石拱桥,是我国古代石拱桥的杰出代表,其设计者是隋代杰出的工匠李春,建造于公元605年.赵州桥的设计构思和工艺的精巧,在我国古桥中是首屈一指的,据世界桥梁的考证,像这样的敞肩拱桥,欧洲到19世纪中期才出现,比我国晚了一千二百多年,赵州桥的雕刻艺术,包括栏板、望柱和锁口石等,其上狮象龙兽形态逼真,琢工的精致秀丽,不愧为文物宝库中的艺术珍品.,问题请同学们观察赵州桥的桥拱的形状,它的形状可以近似地看成一种函数图象,这和我们之前所学的函数图象一样吗?,体会函数的模型思想,【引例】某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.,(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.,展示：(1)自变量:橙子树的棵数、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等;因变量:橙子的个数、橙子的质量等.(2)如果设果园增种x棵橙子树,那么果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.(3)果园橙子的总产量y与x之间的关系式为y=(x+100)(600-5x)=-5x2+100 x+60000.,【做一做】设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.,与存款有关的知识:1.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.2.利息=本金利率期数(时间).3.本息和=本金+利息.,观察y=100 x2+200 x+100与y=-5x2+100 x+60000的相同点.,解:y=100(x+1)2=100 x2+200 x+100.,问题1已知矩形的周长为40cm,它的面积可能是100cm2吗?可能是75cm2吗?还可能是多少?你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?,【想一想】,解:(1)设其中一边长为xcm,则=-x2+20 x=100,解得x1=x2=10.=-x2+20 x=75,解得x1=5,x2=15.这个矩形的面积与其一边长的关系为S=-x2+20 x.,问题2两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之积y的表达式吗?,解:y=x(20-x)=-x2+20 x.,二次函数的定义,【对比观察】观察三个式子的共同点:(1)y=-5x2+100 x+60000；(2)y=100 x2+200 x+100；（3）y=-x2+20 x.,二次函数的定义.一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的形式,则称y是x的二次函数.,知识拓展理解二次函数概念的注意事项:常数a0；自变量x的最高次数为2；等号的右边是整式；要确定二次函数的关系式,只要确定a,b,c的值就可以了.,二次函数的一般形式及自变量的取值范围,(一)二次函数的一般形式,1.二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a0,b0,c0).2.系数a0,但是b,c都可以为0.3.二次函数的几种不同表示形式:(1)y=ax2(a0,b=0,c=0).(2)y=ax2+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax2+bx(a0,b0,c=0).(4)一般形式:y=ax2+bx+c(a0,b0,c0).,(二)二次函数自变量的取值范围,自变量的取值范围是函数的一个有机组成部分,今后除了解决最值问题外,一般不刻意讨论自变量的取值范围.,检测反馈,1.(2014兰州中考)下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+,解析:A,y=3x-1是一次函数,故A错误;B,y=ax2+bx+c(a0)是二次函数,故B错误;C,s=2t2-2t+1是二次函数,故C正确;D,y=x2+不是二次函数,故D错误.故选C.,C,2.已知二次函数y=1-3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是()A.a=1,b=-3,c=5B.a=1,b=3,c=5C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=-3,c=1,解析:函数y=1-3x+5x2是二次函数,a=5,b=-3,c=1.故选D.,D,解析:当x=2时，y=22+32-5=4+6-5=10-5=5.故填5.,3.已知二次函数y=x2+3x-5，当x=2时，y=.,5,4.(2014安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.,解析:一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,二月份研发资金为a(1+x),三月份的研发资金y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.故填a(1+x)2.,a(1+x)2,第二章二次函数,2二次函数的图象与性质（第1课时）,学习新知,在你打篮球或观看篮球比赛时,你是否注意投篮时篮球的运行路线是什么样的?,这种运行路线所形成的图形在我们日常生活中无处不在,比如喷泉流经过的路线、一些拱形桥的桥拱的形状、导弹运行的路线等.,画二次函数y=x2的图象,(1)列表.,(2)在直角坐标系中描点.,(3)用光滑的曲线连接各点.,二次函数y=x2的性质,(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.,【议一议】对于二次函数y=x2的图象:,(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.,(2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?,(3)当x0时呢?,(4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?,二次函数y=x2的性质,向上,y轴(或直线x=0),原点(0,0),当x0时,y随x的增大而增大,当x=0时,y有最小值,最小值是0,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,y=-x2,【做一做】二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象.它与二次函数y=x2的图象有什么关系?,指出二次函数y=-x2的正确图象,并指出其他图象的错误.,不正确，连线不平滑.,不正确，图象不对称.,不正确，图象不完整.,正确.,画二次函数图象的注意事项:(1)列表时,选取的自变量的值,应以O为中心,左边取-1,-2,-3,右边对应取1,2,3(取互为相反数的一对数),不要一边多,一边少,不对称.(2)描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能把点的位置描错.(3)按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接.(4)图象是延伸的,不要画成有明确的端点.,二次函数y=-x2的性质,向下,y轴(或直线x=0),原点(0,0),当x0时,y随x的增大而减小,当x=0时,y有最大值,最小值是0,知识拓展二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象的关系:(1)二次函数y=x2的图象与二次函数y=-x2的图象关于x轴对称.(2)如果把两个图象看成一个图形,这个图形是中心对称图形,对称中心是坐标原点.,检测反馈,1.下列说法正确的是()A.二次函数y=x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大B.二次函数y=-x2图象上的点,其纵坐标的值随着x值的增大而增大C.二次函数y=x2与y=-x2的图象开口方向不同，其对称轴都是y轴,y值都随着x值的增大而增大D.当x0时，y=-x2中y随x的增大而减小,解析:二次函数y=x2的函数图象在对称轴左右两边的增减性是不一样的,所以A，B，C均不正确.故选D.,D,2.已知点A(2，a)，B(b，9)在抛物线y=x2上，则a=，b=.,解析:分别把x=2和y=9代入y=x2，解得a=4，b=3.,4,3,3.通过列表、描点、连线的方法画函数y=-x2的图象.,解:列表:,描点,连线,如图所示.,第二章二次函数,2二次函数的图象与性质（第2课时）,学习新知,观察下面的二次函数表达式:(1)y=x2；(2)y=-x2；(3)y=-2x2；(4)y=3x2；(5)y=x2.,观察思考,它们有什么共同点和不同点?(3)(4)(5)与我们学习过的(1)(2)又有什么不同点?,二次函数y=ax2的图象与性质,探究活动一:画二次函数y=2x2的图象,(1)完成下表:,(2)在课本图2-4中画出y=2x2的图象.,y=2x2,(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状?它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,y=x2,y=2x2,3.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的不同点:两个函数图象的开口大小不同,y=2x2的图象在y=x2的图象的内侧,开口较小,它的函数值的增长速度较快.,1.二次函数y=2x2的图象是抛物线.,2.二次函数y=2x2的图象与二次函数y=x2的图象的相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小；在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.,【想一想】在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2的图象,会是什么样?,探究活动二:画出y=x2的图象,【想一想】在课本图2-4中画出y=x2的图象.,y=x2,y=2x2,y=x2,【问题】它与二次函数y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同?,小结:1.相同点:(1)开口方向相同,都向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)都有最低点,即原点.函数都有最小值.,2.不同点：y=x2的图象在y=2x2和y=x2的图象的外侧，开口较大.y=x2中函数值的增长速度较慢.,强调：二次函数y=ax2(a0)中,二次项系数a的作用:(1)a确定了抛物线的开口方向:a0时,开口向上；a0时:(1)开口向上.(2)对称轴都是y轴(或直线x=0).(3)顶点都是原点,坐标为(0,0).(4)在y轴左侧,y值随x值的增大而减小;在y轴右侧,y值随x值的增大而增大.(5)当x=0时,y最小=0.2.当a0时,向上移动|c|个单位长度;当c0时,y随x的增大而增大的是()A.y=-x+1B.y=x2-1C.y=D.y=-x2+1,解析:A,y=-x+1,一次函数,k0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而增大,而在对称轴左侧(x0,在每个象限里,y随x的增大而减小,错误;D,y=-x2+1(x0),故图象在对称轴右侧,y随着x的增大而减小,而在对称轴左侧(x2.,3.如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向下,那么a的取值范围是.,解析:抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象形状、大小、顶点坐标都一样,只是开口方向相反,所以它们关于x轴对称.故填x.,4.抛物线y=4x2与抛物线y=-4x2的图象关于轴对称.,x,x,a2,5.在同一个直角坐标系中作出y=x2,y=x2-1的图象,比较它们的异同,并找出它们的关系.,解:列表:,描点、连线,图象如图所示.,由图象可知两个函数图象的开口大小、方向和对称轴相同，只有顶点的位置不同.,第二章二次函数,2二次函数的图象与性质（第3课时）,学习新知,如图所示,小明同学在做一游戏,他制作了一张画有一条拋物线的透明胶片,且拋物线上有一点P,他首先把透明胶片放在了平面直角坐标系中的左图的位置,他得到了此时点P的坐标为(2,4).然后他将此透明胶片向上、向右移动后,他得拋物线的顶点坐标为(7,2),你能帮助他求出此时点P的坐标吗?,二次函数y=a(x-h)2的图象与性质,画二次函数y=2(x-1)2的图象.,(1)完成下表:,(2)在课本图2-5中画出y=2(x-1)2的图象.,y=2(x-1)2,【议一议】二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?,y=2(x-1)2,小结:二次函数y=2(x-1)2的图象也是抛物线.,1.相同点:(1)开口方向相同,开口大小相同.(2)在对称轴的左侧,都是y值随x值的增大而减小;在对称轴的右侧,都是y值随x值的增大而增大.(3)都有最低点,即函数都有最小值.,2.不同点:(1)对称轴:y=2x2的图象的对称轴是y轴(或直线x=0),y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1.(2)顶点坐标:y=2x2图象的顶点坐标是(0,0),y=2(x-1)2图象的顶点坐标是(1,0).(3)最值:y=2x2,当x=0时,y最小=0,而y=2(x-1)2,当x=1时,y最小=0.,3.图象之间的关系:二次函数y=2(x-1)2的图象是由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度得到的.,二次函数y=a(x-h)2的图象与y=ax2的图象的关系.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,【想一想】由二次函数y=2x2的图象,你能得到二次函数y=2x2-,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-的图象吗?你是怎样得到的?与同伴进行交流.,(1)将二次函数y=2x2的图象向下平移个单位长度,就得到二次函数y=2x2-的图象.,结论交流,(2)将二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度,就得到二次函数y=2(x+3)2的图象.,（3)将二次函数y=2x2的图象先向下平移个单位长度,再向左平移3个单位长度(或先向左平移3个单位长度,再向下平移个单位长度),就得到二次函数y=2(x+3)2-的图象.,图示,总结:一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质:,(h,k),(h,k),直线x=h,直线x=h,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,当x=h时,y最小=k,当x=h时,y最大=k,知识拓展1.二次函数图象之间的平移规律:“左右平移在括号,上下平移在末梢,左加右减须牢记,上加下减错不了”.简记为“上加下减,左加右减”.2.二次函数的关系式:y=a(x-h)2+k被称之为“顶点式”.,检测反馈,1.(2015沈阳中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象可能是(),解析:二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象的顶点坐标为(h,0),它的顶点坐标在x轴上.故选D.,D,解析:将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,平移后的抛物线的解析式为y=(x-2)2+3.故选B.,2.(2015河池中考)将抛物线y=x2向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度后,所得抛物线的解析式为()A.y=(x+2)2+3B.y=(x-2)2+3C.y=(x+2)2-3D.y=(x-2)2-3,B,解析:抛物线y=3(x-2)2+5,顶点坐标为(2,5).故填(2,5).,3.(2014长沙中考)抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.,(2,5),4.在二次函数y=-2(x-3)2+1中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是.,解析:a=-20,二次函数图象开口向下,又对称轴是直线x=3,当x3时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大而增大.故填x0,b0,y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.,B,解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.,3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.,10,4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.,解析:水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,y=-x2+4x=-(x-2)2+4,顶点坐标为(2,4),水喷出的最大高度为4m.故填4.,4,5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.,解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2（x2-3x+）+=-2，开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.,(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).,第二章二次函数,3确定二次函数的表达式（第1课时）,学习新知,生活中有很多类似抛物线形状的建筑物,如果你是设计师,你能设计出这些建筑物吗?,初步探究确定二次函数表达式所需要的条件,如图所示,这是一名学生推铅球时,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的图象,你能求出其表达式吗?,解:(4,3)是抛物线的顶点坐标,设二次函数表达式为y=a(x-4)2+3,把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a=,因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y=-(x-4)2+3.,总结:(1)形如y=ax2的二次函数,因为只有一个系数a是未知的,所以只需要知道图象上一个点的坐标即可.(2)形如y=a(x-h)2和y=ax2+k的二次函数,有两个系数是未知的,所以需要知道图象上两个点的坐标即可.(3)形如y=a(x-h)2+k的二次函数,如果已知二次函数的顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.,二次函数表达式的确定方法,解析由于函数图象经过点(2,3)和(-1,-3),所以直接把两个点的坐标代入y=ax2+c,得到关于a和c的二元一次方程组,解方程组得出a,c的值即可.,例1已知二次函数y=ax2+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3),求这个二次函数的表达式.,解:将点(2,3)和(-1,-3)的坐标分别代入表达式y=ax2+c,得,解这个方程组,得,所以,所求二次函数表达式为y=2x2-5.,用待定系数法求二次函数表达式,【做一做】已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式.,思考下面的问题:1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?3.二次函数表达式y=ax2+bx+c中除了系数c之外,还有几个未知系数?,解:因为二次函数图象与y轴交点的纵坐标为1,所以c=1.,设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(2,5)和(-2,13)代入y=ax2+bx+1,得,解得,所以所求二次函数的表达式为y=2x2-2x+1.,归纳确定二次函数表达式所需要的条件,【想一想】在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式?,总结:1.二次函数y=ax2+bx+c可化成:y=a(x-h)2+k,顶点坐标是(h,k),如果已知顶点坐标,那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.确定表达式的步骤和方法:可以利用待定系数法设表达式为顶点式:y=a(x-h)2+k,再把另一个点的坐标代入,求出a的值,就可以确定所求二次函数的表达式.,2.已知二次函数y=ax2+bx+c中一项系数,再知道图象上的任意两个点的坐标,也可以确定二次函数的表达式.确定表达式的步骤和方法:把两个点的坐标代入表达式,得到二元一次方程组,解这个方程组,得到两个未知系数的值,就可以确定所求二次函数的表达式.,检测反馈,解析:抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2,把(2,1)代入得1=a(2-1)2-2,解得a=3,y=3(x-1)2-2=3x2-6x+1.故选B.,1.某抛物线的顶点坐标为(1,-2),且经过(2,1),则抛物线的解析式为()A.y=3x2-6x-5B.y=3x2-6x+1C.y=3x2+6x+1D.y=3x2+6x+5,B,2.二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是()A.y=2x2-4xB.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2D.y=-2x2+4x,解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为(1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将(2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.,D,解析:设二次函数的解析式为y=a(x-3)(x-4),而a=1,所以二次函数的解析式y=(x-3)(x-4)=x2-7x+12.故填y=x2-7x+12.,3.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式是.,y=x2-7x+12,4.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为.,解析:抛物线过(0,-3),c=-3,设二次函数的表达式为y=ax2+bx-3,把(-1,0),(3,0)分别代入二次函数表达式y=ax2+bx-3中,得解这个方程组,得这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3.故填y=x2-2x-3.,y=x2-2x-3,5.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是A(2,1),且经过点B(1,0),求此抛物线的解析式.,解析:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将点B(1,0)代入解析式即可求出a的值,从而得到二次函数解析式.,解:设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1,将B(1,0)代入y=a(x-2)2+1,得a=-1,所以二次函数解析式为y=-(x-2)2+1,展开得y=-x2+4x-3.,第二章二次函数,3确定二次函数的表达式（第2课时）,学习新知,某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?,思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?,用待定系数法求二次函数的表达式(1),【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.,解:抛物线经过(0,4),c=4.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得,解方程组,得,这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.,解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得,这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.,用待定系数法求二次函数的表达式(2),例2已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.,解析由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.,解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得,解这个方程组,得,所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.,因为y=2x2-3x+5=,所以二次函数图象的对称轴为直线x=，,二次函数的表达式的求法的综合运用,一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.,解法1:二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.,解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.,二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.,解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得,二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.,检测反馈,1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.y=2x2+x-5,解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a0),当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,解方程组,得二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.,A,2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2)B.C.(-1,5)D.,解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.,A,3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为.,解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.,y=2x2-3x+5,4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.,解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2该抛物线的顶点坐标为.,第二章二次函数,4二次函数的应用（第1课时）,学习新知,同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多?,思考下面的问题:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌?,探究几何图形的最大面积问题,如图所示,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?,思考下面的问题:1.EBC和EAF有什么关系?2.如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?3.如何表示矩形ABCD的面积?4.若矩形的面积为ym2,如何确定矩形ABCD面积的最大值?,解:(1)AB=x,CD=AB=x.BCAD,EBCEAF.,又AB=x,BE=40-x,(2)由矩形面积公式,得y=ABAD=,所以当x=20时,y的值最大,最大值是300.即当AB边长为20m时,矩形ABCD的面积最大,是300m2.,【议一议】在上面的问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?你是怎样知道的?,解:如图所示,过点G作GNEF于点N,交AD于点M.,再由等积法求斜边上的高,得GEGF=EFGN,即3040=50GN,GN=24.,设矩形的一边AD=xm,由GADGEF,某建筑物的窗户如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m2),探究窗户透光最大面积问题,因此当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多，此时，窗户的面积约为4.02m2.,检测反馈,1.已知二次函数y=3x2-12x+13,则函数值y的最小值是()A.3B.2C.1D.-1,解析:二次函数y=3x2-12x+13可化为y=3(x-2)2+1,当x=2时,二次函数y=3x2-12x+13有最小值,为1.故选C.,C,2.用长为8m的铝合金制成的形状为矩形的窗框,则窗框的透光面积最大为()A.m2B.m2C.m2D.4m2,解析:设矩形的一边长为xm,则另一边长为(4-x)m,矩形的面积S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因为a=-10,所以当x=2时,S有最大值,最大值为4.故选D.,D,3.周长为16cm的矩形的最大面积为cm2.,解析:设矩形的一边长为xcm,所以另一边长为(8-x)cm,其面积为S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2.故填16.,16,4.如图所示,一边靠墙(墙足够长),用120m篱笆围成两间相等的矩形鸡舍,要使鸡舍的总面积最大,则每间鸡舍的长与宽分别是m,m.,解析:由题意,得2x+3y=120,所以y=40-x,鸡舍的总面积S=2x=-(x-30)2+1200,所以当x=30时,鸡舍的总面积最大,此时y=20.,30,20,5.一块三角形废料如图所示,C=90,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少?,解:C=90,AC=8,BC=6,AB=10.四边形CDEF是矩形,EFAC,BEFBAC,设AE=x,则BE=10-x,同理可得DE=x.矩形CDEF的面积S=DEEF=x(10-x)=(x-5)2+12(0x10),当x=5时,S有最大值,为12.即当AE为5时,所剪出的矩形CDEF面积最大,最大面积为12.,第二章二次函数,4二次函数的应用（第2课时）,学习新知,请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000 x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?,求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000 x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000 x-10000=-(x2-2000 x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.,问题思考,我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?,利用二次函数解决最大利润问题,服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?,思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?,解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得,=(70000-5000 x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.当x=12时,y最大=20000.厂家批发价是12元时可以获利最多.,例2某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?,解析此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10 x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.,解:设每间房的日租金提高10 x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10 x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.,x0,且120-6x0,0x20.当x=2时,y最大=19440,这时每间客房的日租金为160+102=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.,利用二次函数图象解决实际问题,【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100 x+60000.,问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.,问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?,结论1:当x10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.,结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.,1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元,解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,y=-(x-12)2+3100.-10,当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.,B,2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元,解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10 x)=-20 x2+100 x+1000=-20+1125.x取整数,当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.,C,检测反馈,解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10 x)-90(500-10 x)=-10 x2+400 x+5000=-10(x2-40 x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.,3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.,120元,解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.20x30,x为整数,当x=25时,w有最大值,为25.故填25.,4.(2014沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20x30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.,25,(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10 x+120)=-10(x-9)2+90,a=-100,当x=9时,w有最大值.当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.,5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10 x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?,解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得yk(1-5%)(5+0.7)k.k0,95%y5.7,y6.水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.,第二章二次函数,5二次函数与一元二次方程（第1课时）,学习新知,小兰同学画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图所示,你能利用图象求出关于x的方程x2+ax+b=0的解吗?,分析:如图所示,函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点坐标分别是(-1,0),(4,0),关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.,【问题】二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程x2+ax+b=0的根的个数之间有什么关系?图象与x轴的交点的横坐标与方程的根又有什么关系?,二次函数与一元二次方程的关系,我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛起,小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示.那么:(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?,问题1回答下面的问题:1.由图象可得h0=,v0=.2.由h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,可得h与t的关系式为.,h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0=40,h0=0代入上式即可求出h与t的关系式,所以h=-5t2+40t.,问题2怎样求出小球落地所需要的时间?,观察图象可得:小球经过8s后落地.,解:令h=0,得-5t2+40t=0,即t2-8t=0,t(t-8)=0.解得t1=0,t2=8.,t=0是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.小球经过8s后落地.,【议一议】二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象分别如图所示.,(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个实数根?用判别式验证一下.一元二次方程x2-2x+2=0有实数根吗?,(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,二次函数与一元二次方程之间的关系:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.,知识拓展,二次函数与一元二次方程之间的关系:,当y=0时,二次函数的解析式y=ax2+bx+c就是一元二次方程ax2+bx+c=0,而一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,在二次函数与一元二次方程的关系中,判别式=b2-4ac起着极为重要的作用.,【想一想】在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何