描述函数法PPT课件

.,1,7-2描述函数法,一、描述函数的基本概念,非线性系统的结构图如图所示。图中(s)为线性部分的传递函数，N为非线性元件。,(1)设非线性环节N的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。,设输入为：,非线性环节的输出为：,利用富氏级数展开，有,式中：Y0是输出信号中的直流分量；,Bk和Ck是输出信号中各次谐波分量的幅值，在一般情况下是输入信号幅值A和频率的函数。,（1）,（2）,（3）,.,2,(2)设非线性环节的输出是对称奇函数，则式(3)中的偶次项等于零，上式可简化成：,（4）,上式表明，非线性环节的输出量含有高次谐波。,(3)设系统的线性部分具有低通滤波器特性。于是对整个系统来说，高次谐波可以忽略。这样式(4)可进一步简化为,式中，或写成根据富氏级数的系数项公式，有,（6）,（8）,（7）,.,3,式(6)可写成矢量形式:,输入正弦函数也写成矢量形式，有令,（9）,（10）,将上式写成复数的形式，有,式中,（11）,（12）,式(11)为该非线性环节的描述函数,.,4,描述函数的定义,非线性环节在正弦函数输入下，输出中的一次谐波(基波)分量和输入正弦波的矢量比(写成复数的形式)来描述该非线性的特征，这个比值称为该非线性环节的描述函数。,这相当于用一个等效的线性环节代替了原来的非线性环节，而等效线性环节的幅相特性函数N(A)，是输入函数x(t)Asint幅值A的函数，等效的结构图如图所示。,由于描述函数是非线性元件的等效传递特性，它是在只考虑基波分量之后得到的结果，所以这种近似处理方法又称为“谐波线性化法”。当非线性元件用描述函数表示后，就可以用线性理论中的频率法来研究非线性系统的基本特性。,.,5,二、典型非线性特性的描述函数,1、饱和非线性的描述函数,饱和非线性如图所示。,.,6,饱和特性数学表达式为：,由于y(t)为单值奇对称函数，故有，,，,其描述函数为,可见，饱和非线性的描述函数虚部为零，只有一个实部。基准描述函数,（）,.,7,实际上，在确定自振荡频率和幅值A时，常用基准描述函数的负倒数，对于饱和非线性，它的基准描述函数的负倒数为，把它画在复平面上，是一条起自(-1，j)点，随着的增长，沿负实轴向左延伸的直线,如下图所示。,.,8,2、死区非线性的描述函数,当输入为正弦函数x(t)Asint时，死区非线性及其输入输出波形如图所示。,.,9,死区非线性的数学表达式为,y(t)为单值奇对称函数，故有,所以其描述函数为,死区非线性的基准描述函数为,，,式中,.,10,从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。它是一条在实轴上沿着变化的直线，起自，随着增长，以1为终点。,.,11,3、回环（间隙）非线性的描述函数,当输入为正弦函数x(t)Asint时，回环（间隙）非线性具有非单值特性，回环非线性曲线及其输入-输出波形如图所示。,.,12,为奇对称，但非单值,回环（间隙）非线性的数学表达式为：,所以其描述函数为,.,13,回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。,.,14,继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。,4、继电器特性的描述函数,.,15,继电器特性的数学表达式为：,其中：，,同理可得：,.,16,令，则上述两式可改写为,由此可得继电器特性的基准描述函数为,.,17,当m取不同值时，继电器特性的基准描述函数负倒数曲线如图所示。,.,18,三、典型非线性环节串联时的描述函数,例1:求如图所示非线性环节的等效形式,两非线性环节串联时，第二个非线性环节不符合谐波线性化的条件，故不存在描述函数，求取串联环节的传递函数时应求取其等效非线性特性的描述函数。,：,令,即,解:,由图可知,.,19,例2:求如图所示非线性环节的等效形式,解:,由图可知,所以有,其中,.,20,四、非线性控制系统的描述函数分析,1、控制系统的稳定性分析,很多非线性系统通过适当地简化，都可化为由线性部分和非线性部分串联而成的系统。假设非线性元件和系统满足描述函数的条件，则非线性部分可以用描述函数N(A)表示，线性部分可以用传递函数G(s)或频率特性G(j)表示。因N(A)是经过谐波线性化后的等效线性环节，可以作为一个具有实数或复数增益的放大环节来处理，于是非线性系统可以看成是一个等效的线性系统，并可以应用线性理论中的频率判据来判断闭环系统的稳定性。,.,21,特征方程为,非线性特性的基准描述函数负倒数,如图所示系统，闭环系统的频率特性为,或,式中,非线性元件线性部分的放大系数;,.,22,用描述函数法分析非线性系统稳定性的准则是:,假设线性部分是最小相位系统，则如果线包围线，表明系统有正特征根，不稳定；如果不包围线，则系统稳定；如果两线相交，如图所示，则表明系统可能产生不衰减的简谐振荡，简称自振荡。式就是用来确定两线交点的方程，也称之为非线性系统产生自振荡的条件。,.,23,由于稳定参考点P2位于曲线之外，所以系统是稳定的，收敛的，它的振幅会逐渐衰减回到值。又设扰动作用使振幅减小为，亦即稳定参考点由P移到P1，而P1点被曲线包围，系统不稳定，它的振幅会随时间增大回到值。由上面分析可知，P点具有收敛的特性。,要判断系统能否产生自振荡，还要判断交点具有收敛的还是发散的特性。,研究上图的交点P。假设有一扰动，使振幅由增大为,即稳定参考线上P点移到P2点，,同理可以证明Q点具有发散的特性。,.,24,2、典型非线性特性对系统的稳定性的影响,例1:具有饱和非线性的控制系统如图所示，试判断系统是否有自振荡状态？若有自振荡，其振幅和频率是多少？,解：查表可知饱和非线性特性的描述函数为中：Kn2，a1。又知饱和非线性的基准描述函数负倒数曲线是位于实轴上-1-的直线，系统线性部分的频率特性为,.,25,在复平面上画出曲线，如图所示。由图可见，与曲线交于(-2，j0)点。根据自振荡的判别方法该点具有收敛的特性，即系统存在自振荡，振荡的频率可令的虚部等于零,求得，即1-0.020，求得7.07rad/s。根据两条曲线在交点处的幅值相等，即,求得与交点对应的振幅A2.5。,.,26,例2：设含理想继电器特性的系统方框图如图所式。试确定其自持振荡的振幅和角频率。,.,27,由,.,28,描述函数法只是用于研究非线性系统的自振荡工作状态，它的应用具有以下条件限制：（1）系统的线性部分具有低通滤波器特性；（2）非线性元件具有对称奇函数特性。在判断系统