《平面及其方程》PPT课件

6.4平面及其方程,6.4.1平面方程,6.4.2两平面间的夹角,6.4.3点到平面的距离,一个平面的法向量有无穷多个,它们之间都是相互平行的,6.4.1平面方程,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量,设平面的一个法向量,且平面过点M0(x0,y0,z0).,下面建立平面有的方程,1平面的点法式方程,平面的点法式方程,平面上任一点M(x,y,z)的坐标都满足上面的方程,而当点M(x,y,z)不在平面上时,点M(x,y,z)的坐标不满足该方程,设M(x,y,z)是平面上的任一点,(6.15),例1设一平面过点M0(1,0,2)平面的法向量为,求此平面方程.,解根据平面的点法式方程，得所求平面方程为,即,2平面的一般方程,由平面的点法式方程,反之，三元一次方程,表示一平面。,这是因为：,以上两式相减,得平面的点法式方程,为平面的一般方程.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,此方程称,因此方程的,图形是法向量为,平面方程的几种特殊情况：,(1)D=0,平面通过坐标原点；,(2)A=0,平面平行于x轴；,(3)A=B=0,平面平行于xoy面或垂直于z轴；,(4)A=D=0,平面通过x轴.,解,所求平面方程为,化简得,例2,求过三点,的平面方程.,取,-6(x-1)-3(y-0)+3(z+1)=0,2x+3y-3z-3=0.,例3,一平面过两个点M1(1,-5,1)及M2(3,2,-2),且平行于y轴,求其方程.,解,由于所求平面与y轴平行,故其方程的形式,设为Ax+Cz+D=0,因为点M1和M2都在上,其坐标,应当满足的方程,将这两个点的坐标代入到这个方,方程中,得到,A+C+D=0,3A-2C+D=0,解这个方程组,得,将这个结果代入到平面方程中,得,3x+2z-5=0.,3平面的截距式方程,设平面为,将三点坐标代入得,将,代入所设方程得,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,6.4.2两平面间的夹角,设,由两向量夹角余弦公式有,特殊的：,/,例4,解由两平面夹角的余弦公式得,求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.,6.4.3点到平面的距离,设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面的距离.,在平面上任取P1(x1,y1,z1),则,于是得到点到平面距离公式,由于P1(x1,y1,z1)在平面上,故,Ax1+By1+Cz1+D=0,A(x1x0)+B(y1y0)+C(z1z0),=Ax1+By1+Cz1Ax0By0Cz0,=Ax0By0Cz0D,例5求点P0(-1,2,3)到平面x+2y-2z-6=0的距离.,解,由点到平面的距离公式得,=3,练习1,练习2求通过,x轴和点,的平面方程.,练习3,练习4,练习5,求平行于平面,而与三个坐,标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,取法向量,化简得,所求平面方程为,解,练习1,练习2求通过,轴和点,的平面方程.,解由于平面通过,轴，从而它的法线向量垂直,于是法线向量在,轴上的投影为零，,又由平面通过,轴，它必须通过原点，,因此可设这平面的方程为,代入所设方程并除以,得所求方程为,由平面过点(6,3,2)知,练习3,设平面为,由平面过原点知D=0,所求平面方程为,解,于是,练习4,设平面为,由所求平面与已知平面平行得,解,化简得,令,所求平面方程为,代入体积,于是,