第三章第3节-单自由度系统的强迫振动.ppt

3.3系统对任意激励的响应卷积积分,求解系统任意激励响应的方法,该方法是用傅里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。实质上激励不再是周期性的。,该方法是将激励视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都可以用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振动。,傅里叶积分法,卷积积分法,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应单位脉冲,一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统响应，称为系统的脉冲响应。,宽度T0，高度1/T0的矩形脉冲，如图3.3-1(a)所示。这个矩形脉冲的面积为1。,为了得到单位脉冲，使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1。,图3.3-1,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应单位脉冲,在极限情况下，单位脉冲的数学定义为,这个脉冲发生在t=0处，如图3.3-1(b)所示。如果单位脉冲发生在t=a处，则它可由下式定义,(3.3-1),(3.3-2),注意，(t-a)是一个沿着时间轴的正向移动了a时间的单位脉冲。,图3.3-1,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应单位脉冲,数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实应用中实现。,在具体系统的脉冲试验中，若激励的持续时间同系统的固有周期(T=1/f)相比时非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。,函数的单位为s-1，在其它方面的情况，函数将有不同的量纲。,具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形脉冲)，都可用来作为一个脉冲，而且称为函数。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应脉冲响应,如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量，则对应的脉冲力可方便地写成,式中的单位为Ns。,单自由度阻尼系统对脉冲力的响应，系统振动微分方程为,假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止，即,(3.3-3),(3.3-4),(3.3-5),由于F(t)作用在t=0处，对于t0+，系统不再受脉冲力的作用，但其影响依然存在。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应脉冲响应,把求解单自由度阻尼系统对脉冲力F(t)的响应问题变换为系统对于零初始条件的响应问题，将变成t=0+处的初始条件引起的自由振动。,为了找出t=0+的初始条件，对方程(3.3-4)在区间0-t0+上积分两次，有,(3.3-6),因为,(3.3-7),则方程(3.3-6)中的左端第二项、第三项、右端项的积分值均为无限小量，可以略去不计。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应脉冲响应,根据式(3.3-6),考虑到x(0-)=0，则有,也就是说，在脉冲力作用的极短时间内，质量m还来不及发生位移。,对方程(3.3-4)在区间0-t0+上积分一次，有,(3.3-9),同理，得,(3.3-10),若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力使速度产生瞬时变化，可以认为在t=0时作用的脉冲力等效于初始速度,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应脉冲响应,方程(3.3-4)等价于初始速度引起的自由振动，即,(3.3-11),其解为,(3.3-12),令，则系统受单位脉冲力F(t)=(t)的作用，其响应称为脉冲响应。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,1脉冲响应脉冲响应,脉冲响应为,(3.3-13),3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分,利用脉冲响应，可以计算对任意激励函数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲，用脉冲序列近似地代替激励F(t)。,如图3.3-2所示，在任意时刻t=处，相应的时间增量为，由一个大小为F()的脉冲，相应的力可以用数学表示为,因为在t=处对脉冲响应为h(t-)，所以此脉冲的响应为其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积，即,图3.3-2,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分,(3.3-14),通过叠加，求出序列中每一脉冲引起的响应的总和为,令0，并取极限，上式表示为积分形式,(3.3-15),上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积分，它将响应表示成脉冲响应的叠加。,(3.3-16),代入h(t-)的表达式(3.3-13)，得到,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分,若在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始位移和初始速度为,则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即,(3.3-17),它表示单自由度有阻尼的弹簧质量系统对任意初始条件和任意激励的响应。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分,令t-=u，则-d=du，此外考虑(3.3-15)中的积分限界，当=0时，u=t，当=t时,u=0，将其代入式(3.3-15)，得到,上式为卷积积分的另一种表达形式。,式(3.3-15)中的和式(3.3-18)中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励F(t)和脉冲响应h(t)是对称的，即,(3.3-18),(3.3-19),卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。虽然Duhamel积分不便于笔算，但是用电子计算机就可容易地进行计算。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分例题（3.3-1）,例3.3-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：,试用卷积积分计算其响应。,解：在方程(3.3-16)中，令=0，d=n，则,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分例题（3.3-1）,因为当t0时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式,上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减；第二项是按固有频率n进行的自由振动，只要振动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。,应用卷积积分，则稳态振动与瞬态振动同时得出。,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分例题（3.3-2）,例3.3-2试确定单自由度无阻尼系统在零初始条件下对图3.3-3中激励函数的响应。,解：由图可得激励函数为,当0tt1时，时，由方程(3.3-17)得到,图3.3-3,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,2卷积积分例题（3.3-2）,当t1tt2时，有,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,3单位阶跃响应,如图3.3-4所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为,单位阶跃函数是无量纲的函数。显然，函数在t=a处有一突变，其值从0跳到1。,(3.3-20),如果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写成u(t)，其在数学上可以定义为,图3.3-4,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,3单位阶跃响应单位阶跃函数,当一个任意函数F(t)与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，F(t)u(t-a)相对于ta的部分则不受影响，即,(3.3-21),单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函数(t-a)之间存在着密切的积分关系，即,(3.3-22),反过来，则(t-a)可以视为u(t-a)对时间导数，即,(3.3-23),3.3系统对任意激励的响应卷积积分,3单位阶跃响应单位阶跃响应,当初始条件为零时，系统对在t=0处所作用的单位阶跃函数u(t)的响应，称为系统的单位阶跃响应，用g(t)表示。,将F()=u()代入卷积积分，可得单位阶跃响应，有,(3.3-24),考虑到,(3.3-25),3.3系统对任意激励的响应卷积积分,因而积分(3.3-24)可以改写成,令t-=，d=-d，并互换积分的限界后，积分(3.3-26)成为,(3.3-26),(3.3-27),3单位阶跃响应单位阶跃响应,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,3单位阶跃响应单位阶跃响应,这里用到,3.3系统对任意激励的响应卷积积分,3单位阶跃响应单位阶跃响应,式中单位阶跃函数u(t)将自动表明t0时g(t)=0。式(3.3-28)也可以变换为,方程(3.3-27)简化为,(3.3-28),(3.3-29),式中,(3.3-30),3.3系统对任意激励的响