第二讲常微分方程

常微分方程建模（动态模型）,数学建模的一般步骤,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精练、简化，提出若干符合客观实际的假设。3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，即建立模型。4.模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等）。5.模型的分析与检验。,常微分方程的主要特点是利用微元分析法，建立瞬时变化率的表达式，然后根据所给条件确定解曲线。因此，对变化率的假设与推导是建立常微分方程模型的关键。,微分方程解的存在唯一性定理：,关于初值问题,微分方程的解,一阶微分方程：可分离变量,齐次方程,线性方程等.,二阶微分方程:,诸如的线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与对应的齐次方程的通解的和.,微分方程的稳定性理论:,一、一阶方程的平衡点及稳定性(自治系统),判断方法：,1.求解原方程用定义判断2.当原方程不易求解时将f(x)在x0作Taylor展开，只取一次项，即方程（1）近似为,二、二阶微分方程的平衡点及稳定性,二阶微分方程一般可化为两个一阶方程表示,的根x1=x10,x2=x20称为（3）的平衡点。,若有,则平衡点是稳定的，否则不稳定。,线性常系数方程,原点是其唯一的平衡点，其稳定性由（4）的特征方程的根决定,若p0,q0则平衡点稳定若p0,q0则平衡点不稳定,微分方程的稳定性理论将平衡点分为节点、焦点、鞍点、中心等类型，这完全取决于p,q的值。,对于一般的非线性方程（3），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性。而对于任意高阶的微分方程都可以化为一阶微分方程组来处理。,模型一：交通管理中的黄灯问题,问题的提出：十字路口亮红灯之前要亮一段时间的黄灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么，黄灯应当亮多久才比较合适？,问题的分析：,I.根据法定速度v求出停车线的位置II根据停车线位置和v确定黄灯该亮多久,模型假设及构造求解：,假设驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t1（据统计数据可假设为1秒），刹车后需行驶一段距离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为f,汽车质量m,刹车制动力为fmg。,由牛顿第二定律，有,刹车时间,刹车距离,从而停车线到路口的距离为,等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。,黄灯时间的计算,记街道的宽度为D,平均车身长度为H，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+H,因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应为,模型二：国民经济的增长,问题的提出：,消费资金国民收入主要用于投入再生产的积累资金共设施开支,讨论国民收入与这三者之间的关系,模型假设：,1）记Y(t)t时刻的生产水平（国民收入平）C(t)t时刻的消费水平G用于公共设施的开支水平I(t)t时刻用于投资再生产的投资水平,2）设消费水平与生产水平成正比C=kY,0k1,3）记D(t)为t时刻的需求水平，则D(t)=kY+I+G（1）,设生产水平的改变与需求水平和生产水平的差成比例，即,（2）,4）设投资水平的变化率与生产水平的变化率和现有投资水平的差成比例,模型构造与求解：,由（1）（3）代入整理得,（4）化简为,验算知G/S为（5）的一个特解，下面对（5）的通解进行讨论,1.当时，（5）的通解为,若中至少有一个为正，则即生产水平随时间的增加而增加。,若，则，即生产水平将衰减到G/S,2.当时，（5）的通解为,3.当时，（5）的通解为,其中h,w为常量,由Y(t)的图形可知，此时的生产水平将随着时间的增长而出现振荡,即振幅不断下降。,即振幅随着时间的增大而增大。,分析：由图可知，Y(t)在直线Y=4G上下振荡，并且在t取某些值时，Y(t)取负值，这表明生产水平为负。此时，政府部门可通过采用一些措施来提高G的值，促进生产发展。,模型三：SARS传播问题,问题的提出：SARS（非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病，它的爆发和蔓延给部分国家和地区的经济发展和人民生活带来了很大影响，人们从中得到了许多重要的经验教训，认识到定量的去研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。那么，如何对SARS的传播建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型？,问题的分析：,SARS的传染过程为,易感人群病毒潜伏人群发病人群退出者（包括死亡者和治愈者）,疫情主要受日接触率的影响，在SARS传播过程中，卫生部门的控制防御措施起着较大的作用，已采取控制措施的时刻作为分割点，将传播过程分为控前和控后两个阶段.,控前阶段，SARS按自然规律传播，可视为常量，且疫情初期人们防范意识弱，加上自身的传播特点，在个别地区出现了“超级传染事件”（SSE）。到了中后期，随着人们防范意识的增强，SSE发生的概率减小。SSE的特点在于在较短时间内可使传染者数目快速增加，故可将SSE对疫情的影响看作一个脉冲的瞬时行为，使用脉冲微分方程描述。且控后阶段逐渐减小，疫情减缓。,问题的假设与符号说明：,模型假设：1）由于SARS的传染期不是很长，故不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率2）平均潜伏期为6天3）处于潜伏期的病人不具有传染性,符号说明：,t0从最初发现SARS病例到卫生部门采取预防措施的时间间隔N疫区总人口数S(t)健康人数占总人数的比例I(t)感染人数占总人数的比例,E(t)潜伏期的人数占总人数的比例Q(t)退出者的人数占总人数的比例f(t)疫情指标g(t)预防措施的力度h(t)人们的警惕性指标w(t)防范意识b(t)实际的新增确诊人数日接触率，即表示每个病人平均每天接触的人数,模型的建立：,1.各类人群的转化过程,将人群分为易感人群S，病毒潜伏人群E，发病人群I，退出人群Q四类。(1)易感人群S与潜伏人群E间的转化易感者和发病者有效接触后成为病毒潜伏者,(2)病毒潜伏人群E与发病人群I之间的转化病毒潜伏人群的变化等予易感人群转入的数量减去转为发病人群的数量,其中表示潜伏期日发病率,(3)发病人群I与退出者Q间的转化,单位时间内退出者的变化等于发病人群的减少,其中表示日退出率,2.控前阶段的自然传播模型,(2)超级传染事件（SSE）的处理,定义脉冲函数：,函数:,(1)参数确定：这一阶段如前已述保持不变,由问题的分析，将SSE对疫情的影响看作是一个瞬时脉冲行为，则有,其中m为所加函数的个数，在实际表现为SSE的个数，为第i个函数的强度。,(3)控前阶段的传播模型,3.控后阶段的传播模型,符号说明中各指标的确定过程不详述，此处仅给出表达式,综上，控后阶段的传播模型为,模型的求解和结果分析,可以从诸如采取严格隔离措施早晚的影响、采取措施的力度对疫情的影响、人们警惕性程度对疫情的影响等方面来分析。,常微分方程稳定性方法建模（平衡与稳定状态模型）,问题的提出：渔业资源是一种再生资源，要适度开发，应当在持续稳产的前提下追求产量或最优经济效益，下面要讨论在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。,一、产量模型,模型假设：记时刻t渔场鱼量为x(t),关于x(t)的自然增长和人工捕捞作假设,1.在无捕捞条件下x(t)的增长服从logistic规律，即,（1）,r固有增长率N环境容许的最大鱼量f(x)单位时间的增长量,模型构造与分析：,记F(x)=f(x)-h(x)则有捕捞情况下渔场鱼量满足方程,由微分方程稳定性理论，令F(x)=0,求得两个平衡点,从而,若Er，则结果相反。,只要捕捞适度（Er）时，鱼量将减至x1=0,从而谈不上获得持续产量。,下面讨论当渔场鱼量稳定在x0的前提下，如何控制捕捞强度E使得持续产量最大的问题，用图解法,由图易知当y=Ex和y=f(x)在抛物线顶点p*相交时，h达到最大hm,此时平衡点为x0*=N/2单位时间的最大持续产量为hm=rN/4进而可得E*=r/2,综上，得到产量模型的结论是当捕捞强度控制在E*或者说渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时，可以获得最大的持续产量。,二、效益模型,模型假设：,设鱼的销售单价为P单位捕捞强度的费用为C则单位时间的收入T=Ph(x)=PEx单位时间的支出S=CE,模型构造与分析：,单位时间的利润为R=T-S=PEx-CE,在稳定条件x=x0,R(E)=T(E)-S(E)=PNE(1-E/r)-CE,令RE(E)=0,得出使R(E)达到最大的捕捞强度为,进而可得最大利润下的渔场稳定量及单位时间的持续产量,与产量模型中的各指标相比较可得出,在最大效益原则下i）捕捞强度E和持续产量均有所减少，稳定鱼量x0有所增加.ii）减少和增加的比例随捕捞成本C的增大而变大，随销售价格P的增长而变小。,三、捕捞过度模型,令R(E)=0,得其解,当E0,盲目经营者会加大捕捞强度当EC/N,且有成本越低，售价越高，Es越大，进而得到盲目捕捞下渔场稳定鱼量为Xs=C/P,Xs完全由成本、价格比决定，随着价格的上升和成本的下降，Xs将迅速减少，出现捕捞过度，比较可得Es=2ER即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强度大一倍。,Leslie模型：,以上所讲的捕鱼模型都是简化了的模型，在实际捕鱼中，则需考虑到鱼的年龄、产卵、孵化等因素。Leslie模型能普遍适用于动物种群的增长问题，如人口增长问题等。,为简化讨论，只考虑两性种群中的雌性。,1.年龄分段,设在某种群中，任一雌性最大可达年龄为L年，从而把种群雌性分为n个年龄类，每类跨越的年龄均为L/n年。,年龄类年龄区间1(0,L/n2(L/n,2L/n.n(n-1)L/n,L,2.观察时间离散化,隔若干时间观察一次种群，且观察的时间间隔的长度和年龄分类区间的长度一致，即,t0=0,t1=L/n,.,tk=kL/n,记在时刻tk观察时第i类的数目是xi(k),i=1,2,n，则在没有死亡者时，有xi+1(k+1)=xi(k),即tk+1时刻观察到的第i+1类种群的数目应等于tk时刻观察到的第I类种群的数目。,记Xk=(x1k,x2k,xnk)T为在时刻tk的年龄分布向量，X0表示初始年龄分布。,3.状态的转移,由于出生、死亡和成熟（进入下一阶段），观察的n类的数目将不断变化,记ai第i类中一个雌性生雌性的平均数i=1,2,nbi第i类中一个雌性能活着并变成第i+1类