数学原理与模型分析

数学的起源与发展数学：数（量）与（图）形由自然现象及生产实践中产生数字与图形自然数、整数、有理数、无理数、复数的定义阿拉伯数学：河谷文明；埃及数学；亚洲数学：中国数学、印度数学中国数学：周髀算经、九章算术、算经十书,九章算术：分数运算、比例、代数的解多元一次方程组、正负数、面积体积的计算、刘徽的割圆术（极限的思想）祖冲之的圆周率、杨辉三角（宋朝详解九章算术）,希腊：演绎数学从实验转向推理数学研究转向数学的内部：抽象代数；拓扑几何；泛函分析1900年Hilbert提出23个数学难题：哥德巴赫猜想偶数表示成两个奇素数之和庞加莱猜想2006年6月初，中科院外籍院士、哈佛大学教授丘成桐透露了一条爆炸性新闻：百年数学难题庞加莱猜想被彻底破解，中山大学教授朱熹平、清华大学兼职教授曹怀东完成“封顶”之作。,庞加莱猜想是一个困惑数学界百年之久的难题。1904年，法国数学家亨利庞加莱提出一个拓扑学上的猜想：在一个封闭三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间一定是一个圆球。我们不妨想象：假如我们将一根橡皮带伸展在苹果表面，然后就可以在既不扯断橡皮带，也不脱离苹果表面的情况下，使它慢慢移动并收缩为一个点；假如将同样的橡皮带伸展在油炸圈饼表面，只要不扯断橡皮带或者不脱离油炸圈饼表面，根本没有办法将它缩成一点。因此，我们说苹果表面是“单连通的”，而油炸圈饼表面不是。,庞加莱猜想是数学史上最伟大的问题之一，是拓扑和几何的主流。庞加莱猜想的研究对广义相对论和宇宙、黑洞的研究以及实际的工程学应用等都可能有着深远的影响，其证明方法跨越拓扑学、几何学和微分方程等数学学科，它的重要性和难度都是相当高的。100多年来，庞加莱猜想这个数学游戏吸引了许多杰出的数学家。这一猜想无疑是数学研究中的王冠之一，先后有三位美国数学家仅仅因为部分解决庞加莱猜想即获得菲尔兹奖。2000年，位于美国麻省的克莱数学研究所列出7项“千禧年数学难题”，并为每个难题的破解设立百万美元巨奖，庞加莱猜想即是7大难题之一。庞加莱猜想在数学上的地位，由此可见一斑。,数学的三次危机,希腊：毕达哥拉斯学派,信条：万物皆数其成员费洛罗斯曾宣称：人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物,毕氏学派所说的数指的是整数每个数都赋予了特定的属性，最神圣的数是10利用数的理论解释天体运动发现了音乐定律：如果振动弦的长度可表示成简单的整数比，这时发出的将是和音,第二次危机：无限性,雅典时期希腊伊利亚学派的之诺提出了四个著名的悖论：1.两分法：运动不存在2.阿基里斯永远追不上一只乌龟3.飞箭：飞着的箭是静止的4.运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成,第二次危机,第三次危机,例子：所有集合本身是一个集合，但是，所有人的集合不是一个人,事实：一个集合或者是它本身的成员，或者不是它本身的成员,罗素悖论,如果不是其成员，则N是N的成员，而不是M的成员，于是N又是它本身的成员。,我们以M表示是它们本身的成员的所有集合的集合，而以N表示不是它们本身成员的所有集合的集合。现在问：集合N是否是它本身的成员。,如果是，则N是M的成员而不是N的成员；,罗素悖论的通俗例子,某村的一个理发师宣称：他只给所有不给自己刮脸的人刮脸。,问题：理发师是否给自己刮脸？,若刮，则违背了自己的原则；,若不刮，那按照其原则，他就应该为自己刮脸。,解决办法：提出公理系统,目前公认的ZF公理系统，不会自相矛盾。但是，第三次数学危机从整体看来还没有解决到令人满意的程度。,数学的回归数学建模渗透到一些非传统领域：社会学、经济学、生态学、体育学、战争数学的分析稳定性分析等数学引发的其他学科计算机学科、自动控制,系统建模,数学建模(模型)概述,利用数学方法解决实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模型，然后才能在此模型的基础上对实际问题进行理论求解、分析的研究。,数学模型概念一般地说，模型是我们所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中我们关心和需要的主要特性。1.作战时主体作战地形模型；2.在采煤开矿或打井时，描述本地区的地质结构的地形图；3.出差到外地时的交通图。,数学模型是运用数学的语言或工具，对部分现实世界的信息（现象、数据等等）加以翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求解以及推断，给出数学上的分析、预报、决策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世界之中。,一个简单的数学模型实例,一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里（见下图），交通警察立即赶到了事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车失灵，他还一口咬定，进入弯道其车速为每小时英里（这是该路的速度上限，约合每秒.米）。警察验车时证实该车的制动器在事故发生时确实失灵，然而，司机所说的车速是否真实可信呢？,汽车的最终位置,刹车痕迹,连接刹车痕迹的初始点和终点，用x表示沿连线汽车横向所走出的距离，用y表示竖直的距离，如下图,经过测量还发现，该车并没有偏离它所行驶的转弯路线，也就是说，它的车头一直指向切线方向。可以假设，该车的重心是沿一个半径为r的圆做圆周运动。假设磨擦力作用在该车速度的法线方向上，并设汽车的速度v是一个常数。显然，磨擦力提供了向心力，设磨擦系数为,则,其中m为汽车质量.由上式易得,假设已知弦的长度为c，弓形的高度为h，其图如下所示，由勾股定理知,由前面的表中代入近似数据c=33.27,h=3.55后，得r=40.75米根据实际路面与汽车轮胎的情况，可以测量出磨擦系数，经过实际测试得到g=8.175米秒将此结果代入我们上面利用第二定律所得到的式子中，得v18.25米秒,但是，我们不得不考虑计算半径r及测试时的误差。如果误差允许在以内，无疑，此计算结果对司机是相当有利的。,建立模型的方法1.机理分析2.统计分析3.机理分析与统计分析相结合,步骤.建模准备要了解问题的实际背景、明确建立模型的目地，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。,、模型假设根据实际对象的特性和建立模型的目地，对问题进行必要的简化。要善于辨别问题的主要和次要方面，抓住主要因素，抛弃次要因素，尽量将问题均匀化、线性化。,.建立模型根据所做的假设，运用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式之间的关系，列出表格，画出图形或确定其它数学结构。,、模型求解对上述建立的数学模型进行数学上的求解，包括解方程、画出图形、证明定理以及逻辑运算等等，会用到传统的和近代的数学方法，特别是有关计算机技术。,、模型分析对上边求得的模型结果进行数学上的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态；有时则根据所得的结果给出数学上的预测；有时我们则给出数学上的最优决策或控制。,、模型检验这一步是把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性与实用性。如果检验的结果不符合或部分不符合实际情况，那么，我们必须回到建模之初，修改、补充假设，重新建模，即按上面步骤做到模型检验这一步；如果检验结果与实际情况相符，则可进行最后的工作模型应用。,模型的分类1.按照变量的情况：分为离散型和连续型模型，也可分为确定型模型和随机模型；2.按照时间变化对模型的影响，可分为静态模型和动态模型；,3.按照研究方法和对象的特征，有初等模型、优化模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等；,4.按照研究对象的实际领域，有人口模型、交通模型、体育模型、生理模型、生态模型、经济模型、社会模型等；5.按照对研究对象的了解程度，有所谓的白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。,市场稳定问题当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会加大生产量。一旦生产量“供过于求”，价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又一轮新的供不应求。问题是：如此循环，市场上的商品的数量与价格是否会趋于稳定？,所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于商品价格p，则称函数q=f(p)为需求函数。,需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。,“供给”是指在一定条件下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，设供给函数q=(p)。供给函数一般为单调增加函数。又因为q=(p)单调增加，所以存在反函数p=-1(q)，往往我们也称此函数为供给函数。,需求曲线与供给曲线交于一点E(qm,pm)。当ppm时，(p)（），即“供过于求”，这种状况必然导致价格下跌，p减少。,从以上分析我们似乎可以看出：市场上的商品价格将围绕价格pm（称之为均衡价格）摆动。但实际情况并非如此简单？,例设某产品的供给函数(p)与需求函数f(p)皆为线性函数：(p)a(p-)+,f(p)=-b(p-)+其中a0,b0,两直线相交于点(,)。,将时间区间用等步长来划分，第n个节点处tn=n,为时间步长。设pm为tn时刻的价格，则由市场上供求平衡的需要，有（pn）（pn-1）利用上面这两个式子，可得到b(pn-)+=a(pn-1-)+将上面的式子经过递推运算，可得到,由上式很容易看出，当a，而当ab时，数列pn发散到无穷大,从上例我们可以得到启示：市场价格的稳定似乎与供求函数的斜率比有关系。,曲线表示需求函数，曲线表示供应曲线，表示切线斜率。当|KD|KS|，商品量q与价格将按照的方向趋向于点。,如果|KD|KS|，不难发现，市场经济将按照的方向远离点，,稳定条件的解释：切线斜率表示什么？表示商品价格随商品量的变化而变化的程度。|KD|KS|：表明消费者对这种商品价格的敏感度比经营者要高，商品稍少一点，人们便蜂拥抢购，致使价格有大的变化，引起价格的不稳定现象。,如何控制不稳定现象？1.控制物价，此时有KD，这时|KD|KS|总成立，2.控制商品数量：|KS|，从而使得|KD|KS|也总成立，市场经济便趋向于稳定。,建模有时需要有跳出问题的思维,围棋模型棋盘19道的确立围棋的棋盘由古时的每边11道增至现在的每边19道，其间历经数千年。这种进化的过程也显示着人们的认识逐渐接近真理。现在的棋盘经受了二千多年的考验，其边数设置必有其合理性，这里的关键就在于要保证先手和后手的无差异。,古人在不贴子的情形下仍可“公平”对弈，说明先下的一方占的便宜不会太大。可以推测，围棋内部一定存在着两种抗衡的力量，使先手即使先落子也无法取得多少优势。这也是形成围棋那样富于变化的原因。这两种力量既可以对抗，又可以随时转换。,边部和中腹是围棋中的两种对抗的势力。应保证两种势力所具有的价值相同，从而使二者能够真正地进行抗衡。这是必要的，否则，无论偏重哪一方，围棋都会成为单一争夺边部或中腹的乏味游戏，而且使先手棋获益颇大。,问题最终化为：怎样设计方形棋盘（即每边选取多少道）使三线围成的边部与四线围成的中腹具有相同的地位或最小的差异？,目效率,定义对于一块成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目数，得到的商值称为此棋块的目效率，记为E。,宏观的问题可能需要微观解决,地中海鲨鱼问题20世纪20年代中期，意大利生物学家UmbertoDAncona偶然注意到第一次世界大战期间在原南斯拉夫的里耶卡港，人们捕获的鱼类中，鲨鱼等软骨鱼的百分比大量增加，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降,见下表。显然，战争使捕鱼量下降，食用鱼应该增加，鲨鱼等软骨鱼也随之增加，但为何其比例大幅度增加呢？,跑步时如何节省能量,问题的提出：怎样跑步能使我们消耗的能量最少？,Howtosaveyourenergyinrunning,Theproblem：howcanwesaveourenergyinrunning?,模型假设：(1)跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿或两条腿同时落地。,TheAssumption：Tosolvetheaboveproblem,wesuppose(1)Theruningtimeconsistsoftwoparts：Oneisfortwolegsbothlefttheland;andtheotherisfortwooronelegontheland.,Theconclusionscanbeappliedtoanimals.,走路情形的数学建模,WalkingModel,遗传模型在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因中各继承一个基因，形成自己的基因对。,问题：某植物园中的中植物的基因型为、a、aa。人们计划用型植物与每种基因型植物相结合的方案培育出植物后代。经过若干年后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么样的情形？,InheritanceModelProblem:InsomearboretumthegenotypesofplantsareAA,Aaandaa.ThepeopleplantocultivatetheoffspringbytheplantwhosegenotypeisAAtomakegrafthybridizationwitheachgenotype.Wewouldliketoaskbyseveralyears,whatthegenotypedistributingoftheoffspringwouldbe?,令x(n)=(an,bn,cn)T为第n代植物的基因分布，x()=(a,b,c)T为初始分布。显然，我们有abc1先考虑第n代中的型。我们有,Letx(n)=(an,bn,cn)Tdenotethedistributingofthenthplantsgenotype.Also,denotetheinitialdistributingbyx()=(a,b,c)T.Apparently,wehaveabc1FirstweconsiderthecaseAAofthen-stgeneration.,an=an-1+bn-1/2+-1(n=1,2,)同理，