数列的概念与简单表示法(理)

6.1数列的概念与简单表示法,第六章数列,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.数列的定义按照排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的.,知识梳理,一定顺序,项,2.数列的分类,有限,无限,an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1).(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.,5.数列an中，ann211n(nN)，则此数列最大项的值是.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,30,nN，当n5或n6时，an取最大值30.,6.已知数列an的前n项和Snn21，则an.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，,题型分类深度剖析,解析,答案,题型一由数列的前几项求数列的通项公式,自主演练,解析注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.,解析,答案,由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN处理.(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法.,典例(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1(nN)，则其通项公式为.,题型二由an与Sn的关系求通项公式,师生共研,答案,解析,解析当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式.,答案,解析,(2)n1,两式相减，整理得an2an1，,a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.,已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，anSnSn1.(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.,跟踪训练(1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an.,答案,解析,2n1,解析由题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，所以an2n1.,(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an.,答案,解析,解析当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1时，不满足上式.,典例根据下列条件，确定数列an的通项公式.,题型三由数列的递推关系求通项公式,师生共研,解答,an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1,又a12适合上式，故an2lnn(nN).,(2)a11，an12nan；,解答,(3)a11，an13an2.,解答,解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，故an23n11(nN).,答案,解析,已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1m时，构造等差数列.(2)当出现anxan1y时，构造等比数列.(3)当出现anan1f(n)时，用累加法求解.(4)当出现f(n)时，用累乘法求解.,跟踪训练(1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an1(nN)，则数列an的通项公式an.,答案,解析,32n12,解析由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13为首项，2为公比的等比数列，an1an32n1，当n2时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，an32n12(当n1时，也满足).,(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an.,答案,解析,命题点1数列的单调性典例已知an，那么数列an是A.递减数列B.递增数列C.常数列D.不确定,题型四数列的性质,多维探究,答案,解析,命题点2数列的周期性典例数列an满足an1，a82，则a1.,答案,解析,周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.,命题点3数列的最值,答案,解析,(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断.结合相应函数的图像直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.,答案,解析,an为周期数列且T4，,答案,解析,(2)(2017安徽名校联考)已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为Sn，则S2016等于A.504B.588C.588D.504,典例(1)数列an的通项公式是an(n1)则此数列的最大项是第项.(2)若ann2kn4且对于nN，都有an1an成立，则实数k的取值范围是.,思想方法指导,答案,解析,解决数列问题的函数思想,思想方法,9或10,(3，),思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.,当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1anan知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN，k3.,课时作业,1.(2017湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又an0，所以a64.故选B.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,数列an具有周期性，且T6，a2018a33662a23.,5.(2018长春模拟)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知数列an的前n项和Snn22n1(nN)，则an.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析当n2时，anSnSn12n1，当n1时，a1S14211，,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4或5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又nN，所以n4或n5，,10.(2017太原模拟)已知数列an满足a11，anan1nanan1(nN)，则an.,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足(1)求a1，a2，a3，a4的值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,同理，a33，a44.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故ann.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为a10，所以a11.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求数列an的通项公式.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因为an10，所以3an1Sn1Sn2，所以3an2Sn2Sn12，得3an23an1an2an1，即an22an1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以数列an的通项公式为an2n1，nN.,A.4201521B.4201421C.4201321D.420132,技能提升练,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,40274025(40261)(40261)4026214201321.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设数列为an，则,所以当n3时，an1an；当n4时，an1a5a6，故a4最大，所以k4.,15.在数列an中，a11，a22，若an22an1an2，则an等于,拓展冲刺练,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由题意得(an2an1)(an1an)2，因此数列an1an是以1为首项，2为公差的等差数列，an1an12(n1)2n1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)113(2n3)1(n1)21n22n2，又a1112212，因此ann22n2(nN)，故选C.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析因为