第7章-有限脉冲响应数字滤波器的设计C.ppt

第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较,一、设计思想,7.2窗函数法设计数字滤波器,（1）在理想特性不连续点=c附近形成过渡带。过渡带的宽度近似等于WRg()主瓣宽度4/N。（2）通带内产生了波纹，最大的峰值在c2/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。通带与阻带中波纹的情况与窗函数的幅度谱有关，WRg()旁瓣幅度的大小直接影响Hg()波纹幅度的大小。,以上两点就是对hd(n)用矩形窗截断后，在频域的反映，称为吉布斯效应。这种效应直接影响滤波器的性能。,加窗影响：,表7.2.26种窗函数的基本参数,根据对过渡带及阻带衰减的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N。(2)构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)(3)计算hd(n),7.2.3用窗函数法设计FIR滤波器的步骤,(4)加窗得到设计结果：h(n)=hd(n)w(n)(5)由h(n)求出系统函数H(z),(1)fir1fir1用窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的工具箱函数，以实现线性相位FIR数字滤波器的标准窗函数法设计。这里的所谓“标准”，是指在设计低通、高通、带通和带阻FIR滤波器时，Hd(ej)分别表示相应的线性相位理想低通、高通、带通和带阻滤波器的频率响应函数。因而将所设计的滤波器的频率响应称为标准频率响应。,7.2.4窗函数法的MATLAB设计函数简介,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M,wc)返回6dB截止频率为wc的M阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR低通（wc为标量）滤波器系数向量hn，默认选用哈明窗。滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn的关系为h(n)=hn(n+1)n=0,1,2,M满足线性相位条件:h(n)=h(N1n)。wc为对归一化的数字频率，0wc1。当wc=wcl,wcu时，得到的是带通滤波器，其6dB通带为wclwcu。,调用格式及功能：,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M,wc,ftype)可设计高通和带阻FIR滤波器。当ftype=high时，设计高通FIR滤波器；当ftype=stop，且wc=wcl,wcu时，设计带阻FIR滤波器。应当注意，在设计高通和带阻FIR滤波器时，阶数M只能取偶数（h(n)长度N=M+1为奇数）。不过，当用户将M设置为奇数时，fir1会自动对M加1。hn=fir1(M,wc,window)，可以指定窗函数向量window。如果缺省window参数，则fir1默认为哈明窗。例如:,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir1(M,wc,bartlett(M+1)，使用Bartlett窗设计；hn=fir1(M,wc,blackman(M+1)，使用blackman窗设计；hn=fir1(M,wc,ftype,window)通过选择wc、ftype和window参数（含义同上），可以设计各种加窗滤波器。(2)fir2fir2为任意形状幅度特性的窗函数法设计函数，用fir2设计时，可以指定任意形状的Hd(ej)，它实质是一种频率采样法与窗函数法的综合设计函数。主要用于设计幅度特性形状特殊的滤波器（如数字微分器和多带滤波器等）。用help命令查阅其调用格式及调用参数的含义。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.2的设计程序ep721.m如下:ep721.m:例7.2.2用窗函数法设计线性相位高通FIR数字滤波器wp=pi/2;ws=pi/4;Bt=wp-ws;计算过渡带宽度N0=ceil(6.2*pi/Bt);根据表7.2.2汉宁窗计算所需h(n)长度N0，ceil(x)取大于等于x的最小整数N=N0+mod(N0+1,2);确保h(n)长度N是奇数wc=(wp+ws)/2/pi;计算理想高通滤波器通带截止频率(关于归一化)hn=fir1(N-1,wc,high,hanning(N);调用fir1计算高通FIR数字滤波器的h(n)略去绘图部分,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,运行程序得到h(n)的25个值:h(n)=0.00040.00060.00280.00710.00000.01850.02100.01650.06240.03550.10610.28980.62490.28980.10610.03550.06240.01650.02100.01850.00000.00710.00280.00060.0004高通FIR数字滤波器的h(n)及损耗函数如图7.2.9所示。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.2高通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.2.3】对模拟信号进行低通滤波处理，要求通带0f1.5kHz内衰减小于1dB，阻带2.5kHzf上衰减大于40dB。希望对模拟信号采样后用线性相位FIR数字滤波器实现上述滤波，采样频率Fs=10kHz。用窗函数法设计满足要求的FIR数字低通滤波器，求出h(n)，并画出损耗函数曲线。为了降低运算量，希望滤波器阶数尽量低。解（1）确定相应的数字滤波器指标:通带截止频率为,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,阻带截止频率为阻带最小衰减为s=40dB（2）用窗函数法设计FIR数字低通滤波器，为了降低阶数选择凯塞窗。根据式（7.2.16）计算凯塞窗的控制参数为,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,指标要求过渡带宽度Bt=sp=0.2，根据式（7.2.17）计算滤波器阶数为取满足要求的最小整数M=23。所以h(n)长度为N=M+1=24。如果用汉宁窗，h(n)长度为N=40。理想低通滤波器的通带截止频率c=(s+p)/2=0.4，所以得到:式中，w(n)是长度为24（=3.395）的凯塞窗函数。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,实现本例设计的MATLAB程序为ep722.m。ep722.m:例7.2.3用凯塞窗函数设计线性相位低通FIR数字滤波器fp=1500;fs=2500;rs=40;wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Bt=ws-wp;%计算过渡带宽度alph=0.5842*(rs-21)0.4+0.07886*(rs-21);%根据(7.2.16)式计算kaiser窗的控制参数N=ceil(rs-8)/2.285/Bt);%根据(7.2.17)式计算kaiser窗所需阶数N,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,wc=(wp+ws)/2/pi;%计算理想高通滤波器通带截止频率(关于归一化）hn=fir1(N,wc,kaiser(N+1,alph);%调用kaiser计算低通FIRDF的h(n)以下绘图部分省去运行程序得到h(n)的24个值:h(n)=0.00390.00410.00620.01470.00000.02860.02420.03320.07550.00000.19660.37240.37240.19660.00000.07550.03320.02420.02860.00000.01470.00620.00410.0039,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.3低通FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.2.4】窗函数法设计一个线性相位FIR带阻滤波器。要求通带下截止频率lp=0.2，阻带下截止频率ls=0.35，阻通带上截止频率us=0.65，通带上截止频率up=0.8，通带最大衰减p=1dB，阻带最小衰减s=60dB。解本例直接调用fir1函数设计。因为阻带最小衰减s=60dB，所以选择布莱克曼窗，再根据过渡带宽度选择滤波器长度N，布莱克曼窗的过渡带宽度Bt=12/N，所以,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,解之得N=80。调用参数,设计程序为ep723.m，参数计算也由程序完成。ep723.m:例7.2.4用窗函数法设计线性相位带阻FIR数字滤波器wlp=0.2*pi;wls=0.35*pi;wus=0.65*pi;wup=0.8*pi;%设计指标参数赋值B=wls-wlp;%过渡带宽度N=ceil(12*pi/B);%计算阶数N,ceil(x)为大于等于x的最小整数,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,wp=(wls+wlp)/2/pi,(wus+wup)/2/pi;%设置理想带通截止频率hn=fir1(N,wp,stop,blackman(N+1);%带阻滤波器要求h(n)长度为奇数，所以取N+1省略绘图部分程序运行结果:N=81由于h(n)数据量太大，因而仅给出h(n)的波形及损耗函数曲线，如图7.2.11所示。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.2.4带阻FIR数字滤波器的h(n)波形及损耗函数曲线,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,一、设计思想,7.3频率采样法设计FIR滤波器,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,1）FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=h(Nn1)，其频响函数应满足的条件是：,（7.3.5）,（7.3.6）,二、设计线性相位滤波器时对Hd(k)的约束条件,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,在=02区间上N个等间隔的采样频点为将=k代入（7.3.5）（7.3.8）式中，并写成k的函数：,k=0，1，2，N1,（7.3.9）,（7.3.10）,Hd(k)的约束条件：,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,设用理想低通作为希望逼近的滤波器Hd(ej)，截止频率为c，采样点数为N，Hg(k)和(k)用下列公式计算：,（7.3.13）,式中kc是通带内最后一个采样点的序号，kc值取不大于cN/(2)的最大整数。另外，对于高通和带阻滤波器，这里N只能取奇数。,N为偶数时，,N为奇数时，,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,2）FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=-h(Nn1)，其频响函数应满足的条件是：,N=奇数,N=偶数,Hd(k)的约束条件：,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,3逼近误差及其改进措施如果待逼近的滤波器为Hd(ej)，对应的单位脉冲响应为hd(n)，则由频率域采样定理知道，在频域02范围等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)应是hd(n)以N为周期的周期延拓的主值区序列，即如果Hd(ej)有间断点，那么相应的单位脉冲响应hd(n)应是无限长的。这样，由于时域混叠及截断，使h(n)与hd(n)有偏差。所以，频域的采样点数N愈大，时域混叠愈小，设计出的滤波器频响特性愈逼近Hd(ej)。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,频域采样定理表明，频率域等间隔采样H(k)，经过IDFT得到h(n)，得到H(ej)=FTh(n)的内插表示形式：,在采样点上实际频率响应严格等于理想频率响应采样点之间实际频响由各采样点加权内插函数延伸而成，因而有误差，误差大小和理想频率响应的曲线形状有关,改进：在理想频率响应的不连续的边缘点加上一些过渡的采样点,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.1频域幅度采样序列Hg(k)及其内插波形Hg(),Hdg()特性愈平滑的区域，误差愈小；特性曲线间断点处，误差最大。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,表现形式为间断点变成倾斜下降的过渡带曲线，过渡带宽度近似为2/N。通带和阻带内产生震荡波纹，且间断点附近振荡幅度最大，使阻带衰减减小，往往不能满足技术要求。当然，增加N可以使过渡带变窄，但是通带最大衰减和阻带最小衰减随N的增大并无明显改善。且N太大，会增加滤波器的阶数，即增加了运算量和成本。N=15和N=75两种情况下的幅度内插波形Hg()如图7.3.2所示，图中的空心圆和实心圆点分别表示N=15和N=75时的频域幅度采样。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.2N=15和N=75的幅度内插波形Hg(),第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,在窗函数设计法中，通过加大过渡带宽度换取阻带衰减的增加。频率采样法同样满足这一规律。提高阻带衰减的具体方法：在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带，这样，虽然加大了过渡带，但阻带中相邻内插函数的旁瓣正负对消，明显增大了阻带衰减。过渡带采样点的个数与阻带最小衰减s的关系以及使阻带最小衰减s最大化的每个过渡带采样值求解都要用优化算法解决。其基本思想是将过渡带采样值设为自由量，用一种优化算法（如线性规划算法）改变它们，最终使阻带最小衰减s最大。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,将过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减s的经验数据列于表7.3.1中，我们可以根据给定的阻带最小衰减s选择过渡带采样点的个数m。,表7.3.1过渡带采样点的个数m与滤波器阻带最小衰减s的经验数据,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,四频率采样法设计步骤（1）根据阻带最小衰减s选择过渡带采样点的个数m。（2）确定过渡带宽度Bt，估算频域采样点数（即滤波器长度）N。如果增加m个过渡带采样点，则过渡带宽度近似变成(m+1)2/N。当N确定时，m越大，过渡带越宽。如果给定过渡带宽度Bt，则要求(m+1)2/NBt，滤波器长度N必须满足如下估算公式:,（7.3.15）,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,（3）构造一个希望逼近的频率响应函数:设计标准型片断常数特性的FIR数字滤波器时，一般构造幅度特性函数Hdg()为相应的理想频响特性，且满足表7.1.1要求的对称性。（4）按照（7.3.1）式进行频域采样:,（7.3.16）,（7.3.17）,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,并加入过渡带采样。过渡带采样值可以设置为经验值，或用累试法确定，也可以采用优化算法估算。（5）对H(k)进行N点IDFT，得到第一类线性相位FIR数字滤波器的单位脉冲响应：,（7.3.18）,（6）检验设计结果。如果阻带最小衰减未达到指标要求，则要改变过渡带采样值，直到满足指标要求为止。如果滤波器边界频率未达到指标要求，则要微调Hdg()的边界频率。上述设计过程中的计算相当繁琐，所以通常借助计算机设计。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,【例7.3.1】用频率采样法设计第一类线性相位低通FIR数字滤波器，要求通带截止频率p=/3，阻带最小衰减大于40dB，过渡带宽度Bt/16。解查表7.3.1，s=40dB时，过渡带采样点数m=1。根据m=1和Bt/16估算滤波器长度:N(m+1)2/Bt=64留一点富余量，取N=65。构造Hd(ej)=Hdg()ej(N1)/2为理想低通特性，其幅度响应函数Hdg()如图7.3.3(a)中实线所示。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.3一个过渡点的设计结果(T=0.38),第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,设计由以下程序ep731.m完成：ep732.m:用频率采样法设计FIR低通滤波器T=input(T=)输入过渡带采样值TBt=pi/16;wp=pi/3;过渡带宽度为pi/16，通带截止频率为pi/3m=1;N=ceil(m+1)*2*pi/Bt)+1;按式（7.3.15）估算采样点数NNp=fix(wp/(2*pi/N);Np+1为通带0,wp上采样点数Ns=N2*Np1;Ns为阻带wp,2*piwp上采样点数,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,Hk=ones(1,Np+1),zeros(1,Ns),ones(1,Np);N为奇数，幅度采样向量偶对称A(k)=A(Nk)Hk(Np+2)=T;Ak(NNp)=T;加一个过渡采样thetak=pi*(N1)*(0:N1)/N;相位采样向量(k)=(N1)k/N,0kN1Hdk=Hk.*exp(j*thetak);构造频域采样向量Hd(k)hn=real(ifft(Hdk);h(n)=IDFTH(k)Hw=fft(hn,1024);计算频率响应函数:DFTh(n),第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,wk=2*pi*0:1023/1024;Hgw=Hw.*exp(j*wk*(N1)/2);计算幅度响应函数Hg()计算通带最大衰减Rp和阻带最小衰减RsRp=max(20*log10(abs(Hgw)hgmin=min(real(Hgw);Rs=20*log10(abs(hgmin)以下绘图部分略去,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,运行程序，输入T=0.38，得到设计结果如图7.3.3所示，并输出通带最大衰减p=0.4767dB，阻带最小衰减s=43.4411dB。但是，如果过渡带采样值T=0.5和0.6，则得到阻带最小衰减s=29.6896dB和25.0690dB。由此可见，当过渡带采样点数给定时，过渡带采样值不同，则逼近误差不同。所以，对过渡带采样值进行优化设计才是有效的方法。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,hn=fir2(M,F,A,window(M+1)设计一个M阶线性相位FIR数字滤波器，返回长度为N=M+1的单位脉冲响应序列向量hn。window表示窗函数名，缺省时默认选用Hamming窗。可供选择的窗函数有Boxcar、Bartlett、Hann、Hamm、Blackman、Kaiser和Chebwin,当window=boxcar时，fir2就是纯粹的频率采样设计法。希望逼近的幅度特性由边界频率向量F和相应的幅度向量A确定，plot(F,A)画出的就是希望逼近的幅度特性曲线。,MATLAB信号处理工具箱函数fir2是一种频率采样法与窗函数法相结合的FIR数字滤波器设计函数。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,图7.3.4例7.3.1希望逼近的幅度特性（T=0.38）,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.3.2试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通FIR数字filter，其理想频率特性为：,已知，采样点N=33.,H(0)=1,N=33，所以为第一类线性相位滤波器,解：,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,截止频率,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,例7.3.3用频率采样法，设计情况FIR低通滤波器，采样点数N=21，,技术指标为：p=0.3,p=5dBs=0.4,s=40dB,解：根据指标画出理想低通滤波器的幅度特性及采样点,根据上图确定频率采样法的幅度约束条件,N=21时频率样本Hk,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,相位约束条件,对H(k)进行IDFT得到h(n),第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,计算振幅响应H()和幅度响应,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,从幅度响应曲线可见，N=21时，最小的阻带衰减为14dB，没有达到设计要求。,验证指标,根据设计出的h(n)计算其振幅响应H()和幅度响应,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,N=61时频率样本Hk,增大采样点数，能否使阻带衰减增大?,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,N=61时，最小的阻带衰减为18dB，仍不满足指标。,结论：频率采样法设计FIR滤波器，不能用增大采样点数的方法提高阻带的衰减。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,在Hd(ej)的间断点附近区间加入若干个过渡采样点，能否使H(ej)与Hd(ej)的误差减小？,例如：增加两个采样点T1=0.7和T2=0.2。,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,从幅度响应曲线可见，N=61时，最小的阻带衰减为45dB，达到设计要求。,结论：为改善滤波器的特性，可以在频响间断点附近插入一个或几个过渡采样点，适当增加采样点数提高阻带的衰减。,N=61，两个过渡点,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,窗函数设计法和频率采样法简单方便，易于实现。但它们存在以下缺点:滤波器边界频率不易精确控制。窗函数设计法总使通带和阻带波纹幅度相等，频率采样法只能依靠优化过渡带采样点的取值控制阻带波纹幅度，所以两种方法都不能分别控制通带和阻带波纹幅度。所设计的滤波器在阻带边界频率附近的衰减最小，距阻带边界频率越远，衰减越大。所以，如果在阻带边界频率附近的衰减刚好达到设计指标要求，则阻带中其他频段的衰减就有很大富余量。说明这两种设计法存在较大的资源浪费，或者说所设计滤波器的性能价格比低。利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器,第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计,从性能上，IIR滤波器系统函数的极点可位于单位圆内的任何地方，因此零点和极点相结合，可用较低的阶数获得