数学分析第2章2.3-2.4

数学分析电子教案,重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy,第二章极限与连续,第一节数列极限和无穷大量第二节函数极限第三节连续函数第四节无穷小量与无穷大量的阶,第三节连续函数,一、连续的定义二、连续函数性质与运算三、初等函数的连续性四、间断点及其分类五、闭区间上连续函数的基本性质六、函数的整体连续性一致连续,1.函数在一点的连续性,函数的增量,一、连续的定义,连续的定义,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义;2.极限存在,2.单侧连续,例2,解,右连续但不左连续,3.区间上的连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3,证,例4证明,证,只须证明,二、连续函数性质与运算,1.局部有界性,2.局部保号性,4.不等式性质,3.局部保序性,5、反函数连续性定理,严格单调的连续函数必有同严格单调的连续反函数,7.复合函数的连续性,6.四则运算性质,定理,证,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,例4,解,例5,解,同理可得,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,例6,例7,解,解,四、间断点及其分类,1.概念,1)跳跃间断点,例8,解,2.分类,2)可去间断点,例9,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例9中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3)第二类间断点,例10,解,例11,解,例12讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形,解,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.,判断下列间断点类型:,例13,解,定义:,例如,五、闭区间上连续函数的基本性质,1.最值性定理,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,定义,2.介值性定理,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.,例14,证,由零点定理,例15,证,由零点定理,例16,证,由零点定理知,总之,注,方程f(x)=0的根,函数f(x)的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,20间接法（辅助函数法）：先作辅助函数，再利用零点定理,辅助函数的作法,（1）将结论中的(或x0或c)改写成x,（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求,1.由函数连续性的差异谈起,函数的连续性是逐点定义的：,函数在不同点连续性的差异见图示,六、函数的一致连续性,2.函数的一致连续性,定义：(一致连续性uniformcontinuity),用肯定语气叙述在I上非一致连续,例17证明上一致连续.,证,因此在上一致连续.,例18证明,证(1),恒有,但在上非一致连续.,证(2),两点列满足：,这说明在上一致连续.,非一致连续.,但是,是函数全局、整体性质。,函数的连续性与一致连续性的差异与联系:,连续是逐点定义的,因而是函数的局部,一致连续(如例4),但反之不对.(如例18),f在I上一致连续,性质,它在I内闭,而一致连续是对整个区间I而言，,然而闭区间上的连续函数一定是一致连续的。（见下述定理）,3.闭区间上连续函数的一致连续性,上有界,在有限区间I上一致连续,它在I,思考题,假设有一个登山者头天上午8点从山脚开始上山，晚上6点到达山顶，第二天上午8点从山顶沿原路下山，下午6点到达山脚。问该登山者在上、下山过程中，会同时经过同一地点吗？为什么？,思考题解答,会.,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,不可比.,不存在.,第四节无穷小量与无穷大量的阶,x2比3x要快得多;,sinx和x大致相同;,定义1.,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称是关于的k阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记作,例如,当,时,又如，,故,时,是关于x的二阶无穷小,且,例1.证明:当,时,证:,定理1.,证:,即,即,例如,故,定理2.设,且,存在,则,证:,例如,利用等价代换可简化某些极限的运算.,例2.求,解:,原式,例3.求,解:,原式,课堂练习,解：原式,1.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,二、无穷小与无穷大和极限的关系,是,时无穷小.,2.无穷小与无穷大的关系,即：无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.,证(2),注关于无