微积分下册第一章两次课课件

1.2、空间直角坐标系1.4、平面及其方程1.5、空间直线及其方程1.6、曲面及其方程1.7、空间曲线及其方程1.8、二次曲面,第1章空间解析几何,1.2、空间直角坐标系,1.空间直角坐标系(1)在空间任选一点O称为坐标原点,(3)在三个坐标轴上选定长度单位.,(2)在O点处作三条两两互相垂直的轴Ox,Oy,Oz称为坐标轴，,三个坐标轴Ox,Oy,Oz的次序和方向，规定为按右手法则排列，即右手握住z轴，四个手指从x轴的方向转到y轴方向时，拇指就指向z轴的正方向.,三个坐标轴Ox,Oy,Oz两两决定三个互相垂直的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面.即xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面.,三个坐标平面将空间分为八个部分,称其每个部分为卦限,它们分别是：含x轴,y轴和z轴正向的卦限称为第卦限,然后逆着z轴正向看时,按逆时针顺序依次为,卦限，以及第,卦限.,2.点的坐标,设M为空间的任意一点,过点M作垂直于三个坐标轴的平面，与x轴、y轴、z轴的垂足分别为P,Q,R.在坐标轴上对应的坐标分别是x,y,z.这样空间内任一点就确定了惟一的一组有序的数组x,y,z,用(x,y,z)表示.,反之,任给出一组有序数组x,y,z它们分别在x轴,y轴和z轴上对应点P,Q,R.过三点分别作垂直于三个坐标轴的平面相交于点M.因此,通过空间直角坐标系,建立了空间点M与有序数组x,y,z之间的1-1对应的关系.有序数组x,y,z就称为点M的坐标,x为点M的横坐标,y为点M的纵坐标,z为点M的竖坐标,记为M(x,y,z).,x轴上点的坐标为(x,0,0)，,y轴上点的坐标为(0,y,0)，,z轴上点的坐标为(0,0,z)，,oxy面上点的坐标为(x,y,0)，,oyz面上点的坐标为(0,y,z)，,ozx面上点的坐标为(x,0,z)，,特殊点的坐标,3.空间两点间的距离,设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点.过点M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.,上式称为M1,M2两点间的距离公式.,由勾股定理可得,例1:在y轴上求一点M,使其到两点M1(2,0,1)与M2(1,1,3)的距离相等.,解由于点M在y轴上,设其坐标为(0,y,0),由题意有等式即,解此方程得y=3，,因此所求点为M(0,3,0).,例2:在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点.,解设其坐标为M(0,0,z),解此方程得,因此所求点为,1.4、平面及其方程,例3求与两定点,等距离的动点的轨迹方程.,解由题意有,由两点间的距离公式，得,两边平方，化简得三元一次方程,由几何学知，动点的轨迹是线段的垂直平分面，因此上述三元一次方程是平面方程.此结论对空间一般平面也成立.,空间平面的一般方程为三元一次方程,其中A、B、C、D均为常数，且不全为零.,对于平面当A、B、C、D均不为零时，平面图形用连接平面与三个坐标轴的交点的三角形表示.,（1）若，则平面过坐标原点,（2）若，则平面平行于Oz轴,（3）若，则平面过Oz轴,（4）若，则平面平行于yOz平面,例4.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程,解,设平面方程为,平面过点(4,-3,-1)，所以有,代人所设方程,例5.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),Q(0,0,c)三点，求平面的方程（其中a,b,c不等于0）,解,设平面方程为,P,Q,R坐标都满足方程,所求平面方程为,1.5、空间直线及其方程,空间两平面相交为直线.因此，可以把空间直线看作是两平面的交线.,方程组,所表示的曲线方程称为空间直线的一般方程.,1.6、曲面及其方程,一.曲面方程的概念,定义若曲面上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,而不在曲面上的点的坐标都不满足方程,则称该方程为曲面的方程.而曲面就称为该方程的图形.,而不在球面上的点的坐标都不满足方程,所以该方程为球面方程.特殊地,球心在原点,半径为R的球面方程为,球心在M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程.,设M(x,y,z)为球面上任意一点,则M在球面上的充要条件为即,二.几个常见的曲面方程,1.球面方程.,例6.下列方程表示怎样的曲面？,2.柱面方程,柱面的概念动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面称为柱面.动直线L称为柱面的母线,定曲线C称为柱面的准线.,（1）以xOy坐标面上曲线C:f(x,y)=0为准线,母线平行于z轴的柱面方程为,柱面方程f(x,y)=0特点是方程中不含有变量z.,（2）以yOz坐标面上曲线C:g(y,z)=0为准线,母线平行于x轴的柱面方程为,（3）以zOx坐标面上曲线C:h(x,z)=0为准线,母线平行于y轴的柱面方程为,在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.,常用的柱面方程及图形,（1）圆柱面,（2）抛物柱面,平面曲线C绕同一平面上定直线L旋转所形成的曲面称为旋转曲面.定直线L称为旋转轴.,3.旋转曲面的方程,设yoz平面上曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转形成旋转曲面.则旋转曲面方程为,C,设yoz坐标面上的直线z=ay(a0),绕z轴旋转,确定旋转曲面方程.因为将直线z=ay绕z轴旋转,故z保持不变,将y换成,则得,此曲面称为圆锥面.,即,例圆锥面方程,1.7、空间曲线及其方程,空间两平面相交为直线.因此，可以把空间直线看作是两平面的交线.相应地，可以把空间曲线看作是两曲面的交线.,所表示的曲线方程称为空,方程组,特殊地，直线方程,间曲线的一般方程.,一、空间曲线的一般方程,z=3是平行于xy坐标面的平面，,因而它们的交线是在平面z=3上的圆.,解因为x2+y2+z2=25是球心在原点,半径为5的球面.,表示什么曲线?,例1方程组,过曲线C上的每一点作xOy坐标面的垂线,这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过曲线C的柱面,称其为曲线C关于xOy坐标面的的投影柱面.这个柱面与xOy面的交线称为曲线在面上的投影曲线,简称投影.,消去变量z，所得方程为投影柱面方程.,设空间曲线C的方程为,xOy坐标面上的投影曲线方程,二空间曲线在坐标面的投影,例2求曲线在xoy坐标面上的投影曲线的方程.,解方程,就是关于xoy坐标面的投影柱面方程，因而曲线在xy坐标面上的投影曲线是圆.,定义三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.,讨论二次曲面形状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线（即截痕）的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法称为截痕法.,1.8二次曲面,（1）椭球面,由方程得,即曲面介于平面,之间,曲面与三个坐标面的交线为：,椭球面与平行坐标平面的交线为椭圆，且椭圆截面的大小随